CHAPITRE Vir. — FORMES CANONIQUES, FORME CUBIQUE, ETC

variables (y)^ et considérons la polaire /z^^,, cjiie l'on trouve égale à ^r^; calculons aussi l'invariant de h' : sur la forme canonique, sa valeur est

et par suite, en général, Posons donc

le déterminant de la substitution ainsi définie pour passer des (x) aux (x') est

V est un invariant d'ordre 2 qui devient — 2a[, pour la forme canonique; donc d'abord

se servant ensuite des autres invariants comme nous avons déjà fait souvent, on a sans ambiguïté

Si l'on ne veut employer que V , on remarquera que

100. Enfin, décomposons directement f en facteurs linéaires. On a

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d'où

et l'on a ainsi d'abord, de trois façons différentes, la décomposition de/* en facteurs quadratiques.

h' — h' et h' — h" ^ par exemple, ont un facteur linéaire commun ; sans quoi K ^ h" et h^ — 11!" auraient les mêmes facteurs, ainsi que /?/ — k' et h' -\- H" ^ hypothèses absurdes; le facteur linéaire commun à 11! — K' et H — K" est la racine carrée de leur jacobien et est un facteur linéaire de/". On a d'ailleurs

de plus, d'après ce qui a été dit, J(A'^, K") doit être proportionnel à 11! et, en fait, sur la forme canonique, on trouve

les carrés des facteurs linéaires de /sont donc

et ces facteurs eux-mêmes peuvent s'écrire, diaprés ce qui a été dit

plus haut,

y -.y , r'-V „ V-1" ,„ /-y- Sxy^-^ ~T^r s^y'-^ — T=w ê'-'-y'^

Vêy^ v^V Vé^y4

les radicaux ayant des signes arbitraires. Si l'on fait

s/gy^

on a exactement

/'=. -1 — (A'-i-A''-hA'")(-A' + A'^-HA'")(A'— A'^-i-A'")(A'-f-A'^-A'").

^ 4aj4(i3 — '^IJ")

Cette formule de résolution de l'équation du quatrième degré devient illusoire quand /"a des racines multiples.

On peut la modifier de façon à lui enlever cet inconvénient et, en même temps, à la simplifier.

En remplaçant, en effet, )/, )/, 1!" par leurs valeurs tirées des