L'identité

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fournit les relations

2a(i^ai2)a(3).

a^^a^f^a'fK..a^^^ = aoj,.

Les premiers membres de ces relations sont les fonctions symétriques fondamentales des racines de f.

Toute fonction symétrique des racines, entière et homogène de même degré m par rapport aux divers couples (a^^^), peut s'exprimer en fonction entière des (a), ou, ce qui revient au même, des fonctions symétriques fondamentales.

Ceci se démontre d'abord sans peine pour les fonctions de la forme

qui sont homogènes et de degré m par rapport aux (a), isobariques et des poids m(p — i) et m par rapport aux indices i et 2, comme le montrent les formules connues de Newton pour le calcul des sommes des puissances semblables des racines d'une équation.

Considérons maintenant la fonction

où /??^ et /?Z2 sont deux entiers non négatifs de somme m; on a

S ( aV ^ a\^ K.. a[Pyn, ^ ^^^^ ^r,,,^ - a,„+„,, ,

le second membre devant être divisé par 2 si m = m2.

Le second membre est évidemment divisible para^^, puisque S ne peut pas devenir infinie; donc S est une fonction entière et homogène de degré m par rapport aux (a), isobarique et des poids m^-[- m{p — -2) etm + m^ par rapport aux indices i et 2, d'après les propriétés des a-;^^.

L'application répétée du même procédé conduit au théorème général; toute fonction symétrique telle que

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