Nous avons
On en déduit sans peine
^2= - JH//) == 2a2a3a7'2^3;
t^— — J2(/, q2)~^i'^2^3^^'i = 3 ai 0^2 «3 ^1372 373 (c'est l'invariant canonisant);
fz= 2J(/, ^2) =^ Saf(a2— 0:3)577
/?23 = 2J(/, /22) = 2af(a2 ^2^ — «3 Cu'f' ) ^7
-I- aj «2 a3 ^ j2 ^2^ x'^ ( ^2 — ^3 ) ( ^'3 — ^'1 ) (^'1 — ^2 ) '
^4= — J^(/, ^3) = aiasasSai^;*; A4 = — J ( /, ^3 ) = «1 ^2 a3 2ai ^jS (^2 — ^3)5 l^= -■ J*(/, ^4) = aia2a3Ec(2a3^;;
A-5= J(/, ^4) = QCia2a3 2a2a3^23^3^(^'2 — ^3);
^6= — J^i^s, ^3) = af a|a|2^'i2;
^'6= — J(/, 4) = aia2a3Saf («2— «3)^?;
^7== — JH/j ^'e) = aia2a32ai(a2— a3)(— a2 «3 + a3ai+ aia2)^'j; fi= Hf^ Çq) = af a|a|Sai^'i^(a7; — a?;);
4= - JK^'4, ^^4) = af ala|2:a2a3;
^8= — JCi^s, ^5) == af a|a|2ai(a2— a3)-2?i^ ; ^9= — J(i(3, ^e) = af a|a|(:272 — ^3)(^3 — ^'i)(^i — ^2); ^11= — J^(i^3, 5^8) = af a|a|Eai(a2— «3)^;;
^13= — -^ [J(^5, qs) + 44] = ajalalSai^i;
^*i8= —Hh, In) = afa|a|(a2— a3)(a3— ai)(ai— a2).
On a ainsi le système complet de la forme quinticjue et des (x) : il est composé de vingt-trois formes, liées par des relations qu'il serait facile de développer.
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103. Les invariants précédents peuvent être retrouvés de bien des façons : nous ne signalerons que quelques applications. Pour former le discriminant de /", il faut éliminer les [x') entre les équations
aix\^ =^ a.^x'^^ =: a^x'.^K,
et
d'où le résultant
ou sous forme rationnelle
li — I2h)
On pourra de môme exprimer, à l'aide des invariants fondamentaux, les invariants qui, égalés à zéro, expriment que la forme y a des racines multiples, de toutes les façons possibles.
On peut considérer a,, a2, a3 comme les racines de l'équation
et par suite, on a facilement
i6 z-'f 8 = — 4 32 i\ 2 — 72 il, 4 z:f 2 + ^ ^1 ^'12 + 4 ( 4 4 2 — ^1 T" •
telle est la relation qui existe entre les invariants proprement dits de/.
Le résultant de / et de l^ est i\^{i\ — S^'s); donc on pourra résoudre l'équation /= o algébriquement dès que l'un des facteurs de ce résultant sera nul.
Remarquons enfin que le procédé qui nous a servi pour étudier la forme quintique pourrait servir, convenablement généralisé, dans beaucoup d'autres cas.
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