I. — La forme linéo- quadratique

104. Dans ce Chapitre, nous allons étudier les deux formes les plus simples, après la forme bilinéaire, parmi celles qui contiennent deux séries de variables [x) et [y) : la forme doublement quadratique offre un intérêt tout particulier, comme nous le verrons parla suite.

Soit d'abord une forme linéo-quadratique

on peut envisager cette forme comme établissant une correspondance entre les éléments [x) el[y) de deux séries X et Y, telles qu'à chaque élément [x) corresponde un seul élément (jk), et à chaque élément (j'^ correspondent deux éléments (^), et l'on voit tout de suite que les divers couples d'éléments [x) qui correspondent aux divers éléments (j^) sont les couples d'une involution.

Si les séries X et Y constituent des espaces distincts, les invariants multiples de / sont seuls intéressants; ce sont : i*^ la forme / elle-même ; a"^ le résultant R des deux formes quadratiques aç^x\ -h 2^1 x^ X2 + a2xl et b^x^^ 4- 2 bi x^ X2 -h ^2*^2 ' ^° ^^ jacobien de ces deux formes, dont la signification géométrique est immédiate; 4" ^e discriminant de la forme /, considérée comme ne dépendant que des (^), et dont la signification est évidente aussi.

Au surplus, si le résultant R n'est pas nul, on peut ramener /à la forme canonique simple

a,{x'ly\ — x\''y,),

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no LIVRE I. — LA GEOMETRIE BINAIRE.

el l'on en peut déduire une relation simple entre rapports anharnioniques faciles à définir.

lOo. Supposons maintenant les séries X et Y coïncidantes, et rapportées aux mêmes coordonnées. Les invariants précédemment définis subsistent; ce sont avec/:

R = 4(<^oa2 — ciD^bob^ — ^f ) — (aob^-h a^bo — aai^i)^,

D =(aoa2— ^1)^1 -h(aob2 + <^2^^o — 2^1 ^i) ^1^9 + C ^0^2 — bl)xl,

ce dernier étant exprimé à l'aide des (x).

L'invariant simultané de J et D donne encore

H =(aobi — aibo){bob2~ bf)-h(aib2~ a^bijÇaoCi^— al) {aob^ — a2 6o)(ao62 4- ^2^0 — la^bi).

Si dans / on fait les (^y) égaux aux (^), on a

/j — aox\ + (2 ai -H 6o)^f .^2 +(«2-1- 261) :ri^| -h 62^x^1 , et, par suite, un nouvel invariant

le résultant de/ et g sera

K = ao(a2 — 6i)'^+ (2<^i H- b(i){bçi— a]){a2~ b^)^

-i-(a2-4- ibi)(bQ—aiy{a2—bi)-h b^ibo—a^y,

et le jacobien de J et gvsera

h — \i{aQbi — cil bç)){bi — a^) — {a^^b^ — a2bo){bQ — cii)]xi 4- [(«0^2 — a2 6o)(6i~ «2) — 'i(aj 62— a26i)(èo— cii)]^2-

Les invariants indépendants R, H, K, g^ h forment un système fondamental simple pour le sj^stème formé de/et des (x). Si l'on prend la forme canonique

possible si R ^ o, on aura

IV =^ - (a; ô; — a; ô;)S H' = — - «' ^2' — «2' ^0')'

K' = a; a'2' -+- ^? b'2-r-i a'i b'^- , g'=zb'(^x\ — a'^x'^^ Ji' — — (<^o^2 — a'^b'ç^){b'(^x\-\~ a'^x'^).