Soit la forme

y :rz(aor?7f -h 2a]^1^2+ <^2^i)jl+ '-^(^0^1 + 261^71^2+ ^2^1)^1X2

égalée à zéro, elle définit une correspondance entre les éléments (x) et (y) de deux séries X et Y, telle qu'à chaque élément de l'une des deux séries correspondent deux éléments de l'autre. Nous supposerons d'abord distincts les espaces X et Y, de sorte que les invariants multiples de / soient seuls à considérer.

Regardons successivement /comme ne dépendant c[ue des (y) ou des (x); nous obtenons d'abord comme invariants les deux discriminants

di = («0^1 H- 2<^1^1^2+ a^CcDiCo^l 4- 2Cj^i^2+ C2^l) — ^(^0^1 + 2 ^1^1 ^2 + ^2^1)^5

^2 = ( ^orl + 2 ^ori72 -H coyl ) ( asr f -H 2 ^>27i J2 + C2 j1 ) — (aijKf + 2 ^1/172 + ci7i y,

qui sont deux formes biquadratiques par rapport aux (x) et aux (y); si c/o=:o, l'équation /=: o, où les (x) sont inconnues, a une racine double définie par

(«0^1+ ^^1^2)7! -i- 2(^0^1+ ^1^2)7lJK2 + (<^0^1-i- ^1^2)7! = O, («1^1 -h «2^2)7!+ 2(^1^1 H- ^2^2)7172 + ( Cl ^1-f- ^2^2)7! = <^?

de sorte qu'en éliminant les (j), on a le nouvel invariant g^^ qui égalé à zéro définit les (^) doubles correspondant aux racines de d^ :

g-^— [(aoCi)cp\ -h (^0 02)^1 572 -+-(«1^2)^2]^

— 4 [(«0^1)^1 +('^0^2) ^1^2 + (^1^2)^2] [(^0Cl)^f-f-( ^0^2)^1 ^2 + (^1^2)^11,

OÙ (ctoCi) par exemple désigne le déterminant aoC\-— a^Co] des

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considérations toutes semblables conduisent à l'invariant analogue

— 4 [(ao bOrl + («0 Ci)jKi72 + (^0 ci)7|] [(ai 62) jf + (^i C2)jri72 + (^1 ^2)7!].

Imaginons que c/^ et 6/2 soient réduites à la forme canonique, ce qui exige, comme on le voit tout de suite, en restant dans le cas le plus général, et désignant toujours les éléments transformés par des lettres accentuées

cc'i= c\ = b'^ = b',^ = o; on a alors

/ = ( ^f^o ^? + ^^2 ^? )7? + 4 b\ x\ x[^ y \ jK 2 -^ ( c'o ^? + c; ^;2 ) jkV- , <:ZJ — a'o c'() ^1^- + ( «0 c'2 -f- «2 <^o ~ 4 ^? ) ^? ^2^ -^ ^^2 ^2 ^^'1 î ^/^ =. a'o a',y^^ + ( a'o c'2 + a', c, — 4 b\^ )y}y'} -H c', c'27'2* , g\ r=: 4 a'o c'o Z^'i^ ^H -f- [( a'o C2 — a\j. Co )2 — 4 6^2 (a'o C2 -f- a 2 c'o )] .^'^2 ^^2

^- 4 a 2 C2 b'^- x'^ , S\ = 4 a; a'2 ^?7i* + [( ^'0 ^2 ~ «2 ^i )' — 4 ^? (^^'0 C2 + ci\ c'o )]7?7'?

+ 4c'oC'272^

On voit que g\ et g[, sont aussi réduites à la forme canonique. Considérons le hessien /z, de d^ ; il appartient à un même faisceau avec di et ^^ ; sur la forme canonique, on a

et l'on obtient ainsi l'invariant proprement dit

i'^ = a[j C2 -4- «^2 c'q -f- !i ^'^2 , qui, en général, serait

f2 — aQC2-T~ ci-2Co -h ib\ — laiCi — ibç^b^. Cet invariant est obtenu plus rapidement comme invariant! : on a

^ 3 2 \dxi dx2 dxi dx^J \àyi dy^ dyi dy^J

les puissances et produit indiqués étant symboliques, et /^ étant identique à/.

Un autre invariant proprement dit est évidemment

ao «1 «2 bo 61 62

Co Cl 0-2

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