CHAPITRE Vin. — L\ FORME LINÉO-QUADRATIQUE, ETC. Il

on, sui^ la forme canonique,

Enfin considérons f et g^ comme des formes en (y), et for-

ons J '*(/", g-i)'-, on rejDroduit <:/, à^ près, en désignant par //,

an invariant proprement dit dont l'expression canonique est

et que des formules données plus bas permettent de calculer différemment.

107. Nous avons ainsi un système fondamental de sept invariants indépendants, en laissant la forme /de côté.

En fonction de ces invariants s'exprimeront facilement tous les autres. Nous remarquerons, à cet effet, que l'on a

' ' ^ ' ' - il

et, par suite,

On est ainsi amené à considérer une équation canonisante

1 6 X'' — 8 4 X'*- -f- i!,!^ — il — o,

dont les racines sont des invariants du second ordre et déterminent immédiatement les coefficients de la forme canonique, lorsque les nouvelles variables sont connues.

Calculons les invariants i et j des deux formes biquadratiques <:/, et cL, ; il est évident qu'ils sont les mêmes pour ces deux formes et, d'après les formes canoniques, on trouve sans peine

1 2 i -- 4 ^^1 — 3 4 , 2 T 67 = 8 il -h 54 il — 9 i'2 4 ■ De même, les invariants correspondants des deux formes biquadratiques gi et go sont i et y, déterminés par

12 i = i'I — 24 4 ^1 ) '^ I ^./ ~ — 2 1 6 1| -i - 36 Î2 il i\ — if .

La canonisante de d^ et d^ est

X\ — i\i~- ij -~ o, An. - I.- 8

Il4 LIVRE I. — LA GEOMETRIE RINAIRE.

et l'on a

]a canonisante de gi et g^ est

et Ton a

Les rapports anharmoniques des racines de dx et d^ sont donc

égaux entre eux et de la forme yr^ -y^i' ^^ appelant )/-, V^-, )/^^-

les trois racines de l'équation canonisante en X^ ^ et les rapports anharmoniques correspondants des racines de g\ et g-.

sont

108. Envisageons maintenant le cas où les séries X et Y sont coïncidantes et rapportées aax mêmes coordonnées. Les invariants précédemment définis subsistent, mais la forme canonique employée ne peut être considérée comme générale.

Si, dans y*, on fait les [y) égaux aux {x), on a

-h («2 -H f\bi -- Cç,)x\ ^1 H- i{bi-^ Ci)xix\ H- c^xl et, par suite,

^7—- — — (t^o ~ <^ij ^0^1-1 p ^2jKl

— a^ — 4^1-^ 5co , . , ,

H ^ ^^ j2 -^ ( Cl — 62 ) 3^272 •

Cette forme bilinéaire conduit aux nouveaux invariants

k =(^bo — aj )a7f -4- (co — «2)^1^2-^ (ci — ^2)^!; /i= ^2 — 261-+-C0, 72=^ 4(^0— ^^i)(ci— 62) — (a2— Co)'^: 6J'* (/f^, y, ) donne enfin l'invariant proprement dit

J3= 6ao(ci--<^2)-— 6(ai-f- bo)(co~ a^)^ Ci— b^) — 6(Z>2-H Ci)(co— a:2){bo~ ai) -{- 602(^0— «i)^-

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