CHAPITRE A^[ir. — LA FORME LïNÉO-QUADRATlQUE, ETC. Il
Les invariants proprement dits 4? 4, ^^^-^ j \t j 2^ j\ forment un système fondamental. C'est ainsi qne les invariants I et J de la forme biqiiad ra tique /^ sont donnés par
Si à la forme /on adjoint les variables {x), puis (jk), on aura encore facilement des systèmes fondamentaux d'invariants.
109. Considérons le cas particulièrement intéressant où la forme /est symétrique par rapport aux [x) et aux [y). On a alors
Lq <2i = O, Co — ^2 = 0, Cl— &2 = 0'
Les invariants k-) j'y^ j\ sont nuls identicjuement, et de plus
/-Dl,,./,+ i/i(.^^0^
réciproquement, si l'on a cette identité, ou bien si k est nul identiquement, la forme/ est symétricjue.
La forme canonique des n"^ 106 et 107 subsiste dans ce cas, avec c'^ = a!, . On obtient alors la relation
4 b'f -+- 2/1 6;2 -^^(Ll--. j'^ \ b\ -4- i'., ^ o,
et l'on en déduit d'abord
de plus on doit alors prendre comme équation canonisante
4X3+ 2/iX2-h- lu u^ \ H- ^3 = o;
on vérifiera enfin que dans ce cas, si )/, )/^, Y'' sont les racines de cette canonisante, de sorte que (a^^^), (a^-^), («^^^), {S''^) étant les racines de d^^ par exemple, on ait
et si de plus (&^^^), (^^-^), (^■^^), (^•^^) sont les racines correspon-
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Il6 LIVRE I. — LA GÉOMÉTRIE BINAIRE.
d ailles de go T on a
Ce dernier rapport anharmonique n'a donc aussi que six valeurs, comme le premier, et non vingt-quatre, comme il arrive dans le cas général où / n'est pas symétrique. An surplus, il n'est pas difficile, de même que dans les cas analogues, d'exprimer ce second rapport en fonction rationnelle du premier et des invariants de/. En effet, si l'on permute les racines )/, V, }/^^ d'une façon quelconque, les variables (p) et (o-) sont échangées par les mêmes transformations linéaires. En ne considérant que les (p), les fonctions
pf — pip2-^ 9h (pl+P2)(Pl— 2P2)(P2— -^pi), Plp2(Pl— P2)
restent invariables au signe près; il en est de même de leurs polaires par rapport aux (cr) et de (pcr), de sorte que la fonction
(pf — pip2-H Pl)['7lp2(?-Pl" p!>)-^ ^2pl(pl — ?-P2)] ^ (Pl-^P2)(P1— ^2p2)(p2— 2pi)(p(l)
par exemple, est complètement invariable et, par suite, s'exprime rationnellement en fonction des coefficients de /.
110. La forme / étant symétrique, soit (x) un élément : il lui correspond deux éléments (y) en vertu de /=o; l'un d'eux étant (x^^^), il lui correspond de même deux éléments (y) dont l'un est (œ) et l'autre (x^^^) ; de même, à (^(-^) correspondent, en vertu de/==o, (^^'^) et (^^^^) ^ et ainsi de suite. Ceci posé, chercbons les relations entre (x) et (x^-^)^ {x) et (^^^^), et ainsi de suite.
Ces relations sont doublement quadratiques et symétriques comme/, car à(.^) correspondent deux éléments (^^"^), et à (^^'^^), pris comme point de départ, correspondent deux éléments, dont l'un est (x) lui-même.
En appelant f,i le premier membre de la relation qui lie (x) et (x^'^^) et se servant des formes canoniques, on a d'abord
f.2 = Li B^-xi'^) g\ -+- 4 ( xx^"^^ Y ;
il était d'ailleurs facile de prévoir que pour (^.r^-^) = o on devait
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