CHAPITRE VIÏI. — L.\ FORME LINEO-QUADRATIQUE, ETC. i \y

retrouver g^. Il serait de même aisé de déterminer à l'avanee la forme à laquelle doit se réduire /"/z quand on y fait les [x^'^^) égaux aux {x)] il suffirait de partir, pour (^), d'une des racines de/i ou de d^ .

Appelons g la forme D^ d^, de sorte que, pour les formules canoniques, on a

et que l'on peut écrire, en remplaçant les (^^^^) par les (y),

Le discriminant de la forme /2, en général ,/,2, considérée comme forme quadratique par rapport aux {y)^ coïncide manifestement avec d\ ; donc, comme on peut écrire évidemment

les [x'^^^) étant, bien entendu, remplacés par les {y)-) en exprimant la condition qui précède, on trouve sans peine, à l'aide des formes canoniques, la relation

>>--'(l-iP-S)-»K§-

de sorte qu'il vient, en faisant

et changeant les notations.

/„=/H-co„/.-.i(i.-^-/i;

){xyy-\

pour la forme canonique, on a d'ailleurs

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Il8 LIVRE I. — LA GÉOMÉTRIE BINAIRE.

Pour /2 = 2, on a, d'après ce qui précède,

^271 yt 9. /;

Ceci posé, il est évident que si l'on élimine les (^) entre les équations //i(^, z)=^o^ f{y^ ^)=r:o, le résultant sera le produit de//^i par/;;j,,. Nous pouvons, d'après cela, trouver une loi de récurrence pour déterminer les CO/^.

Pour faire le calcul simplement, faisons les [y) égaux aux {x)\ il faut éliminer (^) entre /(x, 5) = 0 et/z(^, z) — o3/^p(^, ^)- = o,

en faisant p == ^ + -— — ^> et exprimer que le résultant est, à

un facteur près, le produit (/^ -J- iù,i-\ ch )(/i -f- cO/^+^ d^). Or, en se servant des formes canoniques, le résultant s'écrit comme forme quadratique de/^ et <i|

on a donc, par exemple,

Pour /z = 2, cette formule est inapplicable, car on doit prendre (jL)^ = o : elle détermine simplement (x>2 ; mais on a aussi

^fi ( w,i i H- a)/;-|i j = — 8

Quand co/^ est nul, /,i coïncide avec / et ^^'^^^^ avec (^), toujours. Ceci arrive pour /?. = 2, si 4 — 77 ? = 0 ; pour /z = 3, si ^ = o ; . . . . Si n==3, l'équation canonisante a une racine V qui est nulle; alors on a — = ( — )":' et le rapport anharmonique correspondant des racines de g^ est i : ces racines sont confondues deux à deux.

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