CHAPITRE Vni. — L4 FORME LINÉO-QUADRATIQUE, ETC. IIQ

m. En général, les équations /=: o et //z ^= o ont quatre systèmes de solutions communes, qu'il est facile de définir a priori, en partant, comme nous l'avons déjà dit, pour (^) d'une racine de/i on de d\ .

Supposons d'abord en effet que (x) vérifie 6/^ = 0; à cette valeur de (x) correspondent des valeurs uniques pour (^^^^), (^(2))^ , ^ (.^(,z))^ . s()ient (a^o^), (a^^^), (a^^))^ . ^ (^^in))^ . , .

ces valeurs successives. Soit n impair, égal à in' — i, et choisissons, comme valeurs de(^) et(^^^'), [a^^^'^) et (a^'^'~^ ); on retrouve alors pour [x^^^^) la valeur (a^'^'~^^), et par suite [a^^'^) et (a^'^'"^^) sont un système de solutions communes pour/r= o et/,2= o. De plus, (a^'^'^) est racine de l'équation à laquelle se réduit y,^|.i =: o, si les (jk) deviennent égaux aux {x). Si coy^^j = o, il faut donc que [a^'^'^) soit racine de /i= o; si i^a"^ o? on voit, en partant de {a^^^) pour (^), que l'on doit retrouver (a^^^) pour (^^"+^^), et par suite (a^^^'^) est racine de d^^^ o.

Supposons maintenant que (x) vérifie f^zzzzO] à cette valeur (6^^^) de (^), correspond une seule valeur de (^^'^) différente de (^^^^), soit (6^^^); on en déduit successivement ensuite (b^^^), (Z>^'^^), , - . . Soit 71 pair, égal à 2 n^, et choisissons pour (x) et (^^'^) les valeurs (^b^^^'^) et [b^^'~^^); on retrouve alors pour (^^'^^) la valeur (Z>^'^'"^^), et par suite [b^^^'^) et (Z?^'^'~^^) sont un système de solutions communes pour/:==:o et//2=:=o. De plus, {b^'^'^) est racine de l'équation à laquelle se réduit fii^\ = o pour {xy) = o. Si o)/^^^ :=: o, il faut donc cjue i^b^'^'^) soit racine de /"^ == o ; si CL)/i=r o, on voit, en partant de (6^^^) pour (^), que l'on doit retrouver (ô^^^) pour [x^^'^^^)^ et par suite (6^'^'^) est racine de <i, = o.

Ces résultats concordent avec les précédents.

112. Revenons au cas d'une forme non symétrique, ou bien encore au cas où les espaces X et Y sont supposés différents.

Appelons {x) et {x^^^) les deux valeurs de [x) qui correspondent à une même valeur de [y) ; ces deux valeurs sont liées par une relation doublement quadratique symétrique, facile à calculer; avec les formules canoniques, on obtient

~'T~ 2 I ( ^ Q c a et .f C A J " o o 1" \(^ Q c 9 H Ct2^())j^i'^21 '^2''

-h [(aj) C2 — <^2 c'o)^^? H- i6a2 C2 b'^ x'^-'\{x'l^ ')2 = o.

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Ou peut alors résoudre un problème analogue à celui du n^ HO.

Si nous désignons J^, I2, I3 les invariants de cette nouvelle

forme, on aura, en fonction des invariants de la forme primitive,

h^-^ik, [o-^-^^l

I3 :- 1} - - 64 i\ -i- iG ^2 h

On remarquera aussi que la forme précédente est un carré parfait dès que 2*3 -~ o; dans ce cas, les seconds éléments de Y qui correspondent à (x) et (^^^^) coïncident : il J a homographie entre deux involutions.

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