I. - Les couples d'éléments communs à deux formes

113. Nous nous sommes bornés presque exclusivement, dans l'étude des formations invariantes des systèmes binaires, à la considération des formes à une seule série de variables, et c'est à ces formes que nous avons raltaclié l'étude des quelques formes à deux séries de variables que nous avons envisagées. Cependant, l'étude directe des formes à deux séries de variables présente un grand intérêt et des particularités importantes. Nous allons en traiter ([iielques points.

Considérons deux formes à deux séries de variables/-- axVy^-, g z=z cixFyT^ égalées à zéro, elles définissent un certain nombre de couples d'éléments (^) et (y), qui leur appartiennent simultanément; ce nombre est évidemment p^^ -h p^ y, comme on le voit en éliminant les (^) ou les (y) entre /^^o et gri=::Q, Il peut être avantageux, au lieu de faire cette élimination pour définir les couples communs à/ et à g^ de procéder d'une façon différente, de façon à obtenir simultanément les valeurs d'un même couple. A cet effet, considérons une forme bilinéaire quelconque

et cherchons la condition pour que cp contienne un couple commun à/et o ; nous tirerons de cp -- o

JK2 a.iiXi -r- «21^2 '

portant dans / et g et éliminant les {x), on a un résultant de àe^vé pq' -^ p' q + '^qq' par rapport aux (a), et qui, égalé à zéro, exprime la condition cherchée. Toutefois, ceci n'est vrai que si

l'on a S =^0, en faisant S ::::::= 7^ ^ a2 2 — 0^,2^21 ; et si l'on a S =r o, les équations entre lesquelles on a éliminé les (x) admettent l'une q fois, l'autre g' fois, le même facteur ai2^i +a22^2? donc, d'après un raisonnement qui nous a déjà servi, le résultant trouvé plus haut contient le facteur S^^'; si on l'en débarrasse, il reste une forme <Ê>, de de^ré pc/ ^ p' q ^ dont l'évanouissement est la condition cherchée, sans facteur étranger.

D'ailleurs, si (a^^^), (b^^^) est un couple commun à/" et g, il est clair que l'on peut écrire

donc <ï> est décomposable en pq' -{- p' q facteurs linéaires, et chacun de ces facteurs linéaires fournit immédiatement un couple tel que (a^^^), (b^^^). Les coefficients (cp) de <ï> sont des degrés p' ^~ q^ elp H- q respectivement par rapport aux (a) et aux (è).

Nous dirons que <E>= o est l'équation des couples communs kf et g. Remarquons que les (a) pourraient être considérés comme des variables de seconde espèce par rapport à l'ensemble [x), {y) ; mais nous n'insisterons pas sur ce point qu'il suffit d'indiquer.

114. Les fonctions symétriques fondamentales des couples communs kfel g sont les coefficients de <ï> ; si

où r ^=^pq^ -\- p q^ on a p

Toute fonction symétrique entière des (a^^^) et des (^^''^) homogène et des mêmes degrés par rapport aux divers couples (<2^^'^) comme par rapport aux divers couples (6^^') s'exprimera en fonction entière des coefficients (a) et (6). En raisonnant comme au n° 8, il suffit de démontrer ce théorème pour les fonctions telles que

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