CHAPITRE IX. — FORMES A DEUX SÉRIES DE VARIABLES

or, dans <ï>, faisons par exemple a22"-o, a2i=)^a,2; on obtient

n [( ail ci^i^ ^'P -H «12 ( «V^ ^'2 ^ -^ ^ ^2'^ ^1^ )] ;

on peut calculer alors, d'après le n" 8,

p en fonction entière des (0); le coefficient de -p "^t^'' \^^^ dans cette

fonction, sera la fonction cherchée, multipliée par ]l[a^l^y^ [b^l^Y^ ] mais n(6i^/') et 11(6^/^) sont déterminés directement comme fonctions entières des [a) et des (6). La fonction cherchée se présente ainsi comme fonction rationnelle des (cp); mais cette fonction ne pouvant devenir infinie est entière; de plus, elle est des degrés mp' -i- nq' et mp -\~ nq par rapport aux (a) et aux (6).

113* La forme / est définie au point de vue géométrique par la condition de contenir pq +/> + q couples (^), (jk), puisqu'elle dépend de (/^ + i ) (^ + i ) coefficients.

Supposons la forme/ donnée, et regardons les coefficients (Z?) de g comme variables; à chaque système de valeurs des (6) correspond un ensemble de pq^ -\- p^ q couples (^) et (jk) appartenant k/etkg : nous allons chercher si ces /?^^-r/>^^ couples peuvent être pris arbitrairement, appartenant kf.

Supposons d'abord p^p, q'=q\ pour définir les couples communs kf et g^ nous pouvons remplacer g par g -{- hf] h étant une forme quelconque aux variables (x) et (j ), des degrés p ~p et q^ — q\ par suite le système des pq' -V p' q couples communs kf et g dépend au plus de

paramètres; ce nombre est égal k pq' -\- p' q — {p — i)(^ — 0? de sorte que le système de couples considéré ne dépend que de ce nombre de paramètres au plus et que {p — i)(5r — i) au moins de ces couples sont déterminés par les autres. Il est facile de voir qu'il n'y en a pas davantage : en effet, les formes g qui contiennent/^^r'-f-^^^ — (p ij(g__j) couples appartenant kf dépendent linéairement de

{p' -^ ■i){q' -^ l)— pcf — p' q -^ {p - l){q— l)

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paramètres homogènes et ce nombre étant supérieur à

il en résulte que les formes g considérées ne sont pas tontes

composées comme fh; en d'autres termes, elles ne contiennent

pas toutes / en facteur : elles sont proprement dites dans leur

espèce.

Si maintenant on n'a pas à la fois /y~p, q'^ q-, alors on voit tout

de suite que parmi les pq' ~\-p' q couples communs à y et ^', il j

en a

pq'-'-p'q -p'q' — p'—q'

qui sont déterminés par les autres : ce nombre coïncide avec le ])récédent pour /? =/?^-f- k on q =^ q' -^ ^ .

116. Considérons une forme II des degrés/?'^ et q'^ assujettie à contenir les pq' -^ p' q couples communs à f et g^ et montrons d'abord que ces conditions sont distinctes dès que l'on a

Pour cela, il suffit de faire voir que l'on peut trouver une forme h des degrés ^ H-/)' — i, q ^ q^ — i, contenant tous les couples communs à / et ^^ sauf un; supposons donc que celui-ci corresponde à x^ = o, jKo = o, de sorte que l'on puisse écrire

fs elf2 étant des formes des degrés p— i ^ q el p, q — i , et g^ , g2 étant des formes des degrés p' — i ^ q^ et p, q' — i ; alors il est clair que la forme/^^'2 — f2g^\ des degrés/? -i-p' — i elq ~i- q^ — 1 contient tous les couples communs à / et g^ sauf celui que nous avons mis à part.

Ceci posé, supposons que la forme h des degrés p^^ et q'\ au moins égaux k p -\~ p' — i elq -\- q' — i , contienne tous les couples communs kf et g et formons la combinaison hi = h — ffi — ggi , fi et gi étant des formes des degrés respectifs //^ — /?, q'^ — q^ et p" — />', q'^ — q' ; h^ contient comme h tous les couples communs à /et g et cela quelles que soient/, et g^. En disposant convenablement des coefficients arbitraires de /i et g^^ on peut réduire le nombre des paramètres homogènes dont dépend linéaire-

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