CHAPITRE IX. — FORMES A DEUX SÉRIES DE VARIABLES

ment /z, ; mais il faudra faire attention que, si l'on a

l'identité kfg--=^kgf^ où k est une forme arbitraire des degrés yj)'^ — p — p\ cf — q ~ cj^ ^ et où Ton remplace le second facteur de chaque membre par son développement, établit d.es relations identiques entre les termes de//, et de ggx-, lorsque/ et g >, y sont développées. Finalement, on voit donc que le nombre des paramètres dont dépend h^ est

{f-^-n^q^^^^-kf-p-^ ^){q"-q-^ 0-(/>"-/>'-- 0(/-"^'+ 0

-^-ip^ — p-p'-'r- l){q"~q — ^'h- i),

le dernier terme étant applicable encore si l'on a fJ' ^=^ p -rf' — i -, puisqu'alors il s'annule.

Ce nombre se réduit précisément à pq' -^-~ p' g ] donc, puisque h^ est assujettie à pq' -\~ p' q conditions distinctes, il faut que cette forme soit nulle identiquement; par suite nous obtenons ce théorème : la forme h est nécessairement une combinaison telle

Bien entendu, ce théorème n'est vrai que d'une façon générale, si l'on conserve aux coefficients de /"et g tout leur degré d'arbitraire : cette hypothèse domine toute cette théorie.

Le résultat obtenu suppose que l'on a

p"lp H-yy — I , q"j, q H- ^' — i ;

il est facile d'en déduire qu'il est vrai dans tous les cas, à unc^ exception près. Supposons, en effet, que A, des degrés quelconques p" et q^' ^ contienne tous les couples communs à/ et ^il en sera de même de ]iX\ par exemple; si donc le théorème est vrai pour les degrés p" -\- i et q" ^ hx^ sera de la forme /f, + gg^ ; cette combinaison contenant le facteur X\^ si l'on désigne par

ce que deviennent les fonctions / /, , g^ g^, quand on y fait Xi ■=^ 0, il faut avoir identiquement cpcp, -j- J;^];, =: o ; si q'^ est inierieur h^ q -\- q' ^ cp, et ^^ sont nuls identiquement et le théorème est démontré évidemment, en supposant toutefois, ce qui est possible, que les formes cp et A en (y) n'ont pas de racines communes ; si l'on a q"^q -j- ^^ on peut écrire

cpi — (jû({;, <^i " — wcp,

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\l6 LIVRE I. — L4 GÉOMÉTRIE BINAIRE.

<JL) étant une forme en (y) de degré q'^ — q — q^ ; mais alors en faisant

f=xlo -\-xJ\ g ^^ xV^^-^xig\

fi = xP;-r~' cpi - xj\ , g, - x^-v'^' ^,-^x, g\ , on a sans peine

h - /(/; - g'o,xp;-p-p'^') - g(g\ -^fo,xp;-p-p'^'),

et cette expression n'est entière que si p^^ est au moins égal à p -[- p' — I. D'après cela, on voit que le théorème n'est en défaut que si les deux nombres/?'^ et q'^ sont l'un supérieur, l'autre inférieur aux nombres /> -f- /?^ — i, q -\- q^ — i; dans ces cas, on })eut mettre h sous la forme du quotient de ff\ -f- gg\ par une puissance convenable de x^ o\xy^^ par exemple.

C'est ainsi que, en éliminant les (y) entre f et g^ on a une forme A, pour laquelle /^'^^/^g^^H-/?^^, cf^=-o\ on peut l'écrire,

comme on le sait déjà, sous la forme V f ' ? t^t il ne serait pas

difficile d'obtenir plus de symétrie.

Si l'on prend 7?'^ :=/> + /?' — i — r^q" =: q -\- q' — i — 5, la forme f\f-\- ^^^' contient linéairement (^^ — r)(cf — ^)-^{p — 0(^7 — ^) paramètres homogènes : on en déduit sans peine que la condition de contenir tous les couples communs à /et g équivaut, pour une forme des degrés p^^ et cf ^ à pq' -[- p' q — i^s conditions seulement; en d'autres termes, dès qu'une telle forme contiendra pq' -{' p' q — i^s couples communs à / et g^ elle contiendra nécessairement les rs autres, en général.