Considérons l'identité

où /i , g>^ , /^^ sont des formes des degrés p^ -|- ]f — i elq' -^ q^' — i , p'^ -\~p ~ I Ql q" + q — i , /? + p' — 1 et ^r -I- g' — I .

Si/, g", h n'ont pas de couple commun, et si cette identité est vérifiée, il faut que /^^ contienne tous les éléments communs à / et g] donc h^ est de la forme

/2 et g2 étant des degrés p' — i et q^ ~ i , p — i et ^ — i ; alors il vient

si /et g n'ont pas de facteur commun, ce que l'on peut supposer,

on a par suite

/1-H/2A- gk,

gi^ g.Ji=^—fk, k étant des degrés// — i et q'^ — i, et l'identité s'écrit

k{fg - gf)^Mfh-hf) H- g,{gh - hg) ^ o;

elle n'exprime donc aucun fait nouveau : elle résulte seulement des relations identiques qui existent entre les termes àeff^ el gg^, par exemple, quand/^ et gi j sont développées, et que nous avons déjà signalées.

D'autre part, si / g^ h ont au moins un couple commun, il est clair Cfue l'on peut vérifier l'identité

ffi-^ ggi-^ ^^hi= o, par des valeurs autres que les précédentes ; en effet, h^ ne sera plus

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ia8 LIVRE I. — LA GEOMETRIE BINAIRE.

assujettie à contenir tous les couples communs à /et g^ mais seulement ceux de ces couples qui n'appartiennent pas à /z; et li\ étant ainsi déterminée, hh^ sera de la forme — {f/v-r- gg\) d'après lenMlB.

Il résulte des considérations précédentes que la condition nécessaire et suffisante pour que/, g^ h aient au moins un couple commun est que l'on puisse vérifier l'identité

par des valeurs autres que celles qui se présentent naturellement. En d^autres termes, les formes cp

où Fi -f- /'o =^ p^ 4- p" —i, s^^ S2= q' -^ c/-—u . - . , et qui sont déjà liées par pq -{- p' c/ -i~ p'^ q'^ relations linéaires connues, doivent être liées encore par une nouvelle relation linéaire.

Ces formes sont en nombre ^{p^ ^p'^){q' -t- q^') et contiennent chacune (p -^ p^ -h p'^) {q -+- q' -f- q") termes : la différence entre le nombre précédent et celui-ci est précisément ^pq.

Prenons donc { p -^-^ p' -^ p" ) {q -{- q' -r q'^ ) des formes cp, et écrivons le déterminant de leurs coefficients, que nous pouvons, par un choix convenable des formes considérées, supposer non nul : soit Ri ce déterminant, d'ordre [p -h p' ^ p") {q + q^ -\- q'^)-

Écrivons les relations connues entre les formes cp et soit R2 le déterminant des coefficients des formes non choisies tout à l'heure dans ces relations, déterminant d'ordre ^pq-

Si R2 = o, les formes choisies primitivement sont évidemment liées par une relation linéaire, et par suite R, contient R2 en facteur. Si Ri -- o, sans que R2 = o, ces mêmes formes sont liées par une relation qui n'est pas une conséquence de celles que l'on connaît déjà. Le résultant se présente donc finalement sous la forme du quotient des deux déterminants Ri et R2 ; ce quotient est d'ailleurs des degrés voulus par rapport aux coefficients (a), (b), (c).

On remarquera que ce résultat n'a été établi qu'en admettant l'hjpothèse signalée au n° 116; mais, d'après la définition du résultant, il subsiste dans tous les cas.

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