CH.VPITRE IX. — FORMES A DEUX SÉRIES DE VARIABLES. I

On observera encore que k étant une forme arbitraire des degrés p -^p' -t jf — i , cj -"- q' -\- (f— i , on peut toujours vérifier l'identité

ffi -"^qqi-^ hh\ + A7ci == o,

k\ étant une constante, et cela en dehors des relations connues entre les formes cp ; alors on peut évidemment prendre pour k,, le résultant de R.

119. Comme au n*^ 66, nous allons chercher à déterminer le nombre et les valeurs des couples communs à trois formes/, g^ /i, lorsque leur résultant R est nul.

Nous chercherons d'abord combien de couples communs à j\ g appartiennent à A; si /z, n' ^ Ji!' désignent combien de fois un couple commun à /, g^ h est multiple pour les systèmes (^, h), (^li^f)^ (y, g)^ la plus petite valeur de ces trois nombres, soit m, indique combien de fois le couple considéré est commun à /', g, h. Les nombres S;i'^, S/?2, où la sommation est étendue à tous les couples distincts communs à/', g^ A, indiquent combien de couples communs k f el g appartiennenl à A, et combien /*, g^ It ont de couples communs.

Pour déterminer les couples communs à/et^qui appartiennent à A, on fera comme au n° 66. On remplacera h par h -^\k^\ étant un paramètre arbitraire, et k une forme semblable à h. Si N'^ couples communs 'à f^ g appartiennent à A, on voit tout de suite que les dérivées partielles de Tordre W — i de R par rapport aux (c) sont toutes nulles; en outre (c/) désignant les coefficients de /r, la polaire D[Î^JR n'est pas nulle identiquement et est le produit des valeurs de k obtenues en y remplaçant [x) et (j/) par les valeurs des N'^ couples considérés.

On en déduit la même remarque qu'au n" 66.

On peut en particulier prendre h sous la forme (^ | x)p'\t^ I J*)*^ par exemple, et obtenir des invariants simples pour résoudre la question proposée.

La détermination directe du nombre des racines communes à f\ g^ h offre de plus grandes difficultés : nous ne l'entreprendrons pas.

An.

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l3o LIVRE I. — LA GÉOMÉTRIE BINAIRE.

III. - Le discriminant d'une forme. Le jacobien de trois formes.

120. Le discriminant d'une forme /= axvfi est une fonction entière des coefficients (a) qui, égalée à zéro, exprime que les quatre formes

^' - p dx\ ' -^^ ~ p dx,^ ' -^'^ qàyC -^^ q dy,^

ont au moins un couple commun.

Cette définition est légitime, à cause de l'identité

Pour obtenir le discriminant S de f^ on calculera d'abord le résultant S^ des formes /^ , /s et /a par exemple 5 Si contient S en facteur, et en outre le discriminant de la forme binaire obtenue en faisant, dans f\ y^z:=. i et r2 = o. En supprimant ce facteur on obtient S, qui est une fonction entière des (a) du degré Qpq — ^p — ^ 4^ + 4î c'est aussi nn invariant multiple.

S =: o est la condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe un couple (a), {h) tel que, les {x) étant égaux aux (a), /ait une racine double {b) en {y), et que les {y) étant égaux aux {b)^ /ait une racine double (a) en [x).

Pour la forme bilinéaire du n° 73, on a S ^= a^ aoo — ai2<^2i ] pour la forme linéoquadratique du n" 104, S est l'invariant R; pour la forme doublement quadratique du n"" 106, S est le discriminant de l'équation canonisante, facile à calculer.

Le discriminant du produit de deux formes/ et g s'annule identiquement, car les dérivées partielles de ces deux formes contiennent tout couple commun à /et à g.

On peut facilement prévoir un théorème analogue à celui du n*" 71 pour déterminer le nombre et les valeurs des couples communs à/^,/2,/3, //, • mais il ne semble pas facile de l'énoncer et de le démontrer d'une façon à la fois précise et générale.

121. Si l'on considère trois formes/, g, /z, des degrés p et q, p' et q\p" et cf , si l'on emploie les mêmes notations que ci-dessus,

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