CHAPITRE I. — THÉORIE STATIQUE DES MARÉES

Le potentiel d'où dérive la force centrifuge est ainsi ^w^r* cos^O, et le potentiel total de la gravité (attraction de la Terre et force centrifuge) sera, en mettant en évidence les variables qui y entrent,

Nous le désignerons, pour abréger, par W'(ro, 0,ç) ou simplement par W quand il n'en pourra pas résulter d'ambiguïté.

La surface d'équilibre des mers étant une surface de niveau, relativement h ce potentiel, aura ainsi pour équation

(I) W(/-o,Ô,9)==Co=:consl.

3. Hauteur statique de la marée, due à un potentiel donné. — Par le centre de la Terre {fig. i), menons un rayon vecteur qui rencontre la surface moyenne So et la surface vraie S des mers, respectivement en Ao et A. Soient r^ et r les distances de ces deux points au centre de la Terre, et ç leurs coordonnées géographiques communes. La différence

représente sensiblement la hauteur positive ou négative de la marée, comptée à partir de la surface moyenne So. C'est elle qu'il faut déterminer à chaque instant / et pour chaque point A^ défini par sa longitude et sa latitude, de sorte que h est une fonction des trois variables /, 0, ç.

Pour l'obtenir, admettons avec Newton, D. BernouUi, Euler, Maclaurin, etc., que l'Océan tende, à chaque instant, à se mettre en équilibre sous les actions réunies de la gravité et de l'attraction des corps célestes. Cela équivaut à dire que sa surface S tend, à chaque instant, à se placer normalement à la résultante de ces actions. Elle affectera donc la forme d'une surface de niveau relativement à la somme des potentiels de la gravité et des astres.

Nous diviserons le potentiel de la gravité en deux parties :

i*" Le potentiel qui se produirait si la mer était limitée à la surface fixe S^;

2'' Celui dû à la couche aqueuse de hauteur h comprise entre cette surface et la surface vraie S, ce potentiel compté positivement ou négativement suivant que A est positif ou négatif. Le premier a, au point A, la valeur W'(r, 0, 9); désignons le second par (v(r, 0, ç); ils varient l'un et l'autre avec la surface S et, par S4iite, avec le temps. 11 en est de même du potentiel des astres que nous désignerons par V(r, 0,(p), en sorte que l'équation de la surface S à l'instant / est

('2) W'(r, 0, 9) -h w{r, 9, cp) -^ V(r, 0, 9) = d,

C, étant une fonction inconnue du temps seul.

Retranchons membre à membre les équations (i) et (2), il viendra

( 3) W'(r, 0, 9) - W'(/'o, 0, 9) -\- iv(r, 0, 9) +¥(/-, 0, 9) r- C,

C étant une fonction du temps.

A cause de la faiblesse de la différence r — r^ = h comparativement au rayon de la Terre, on peut écrire

-^ se rapportant au point Ao. Mais cette dérivée représente la composante de la

gravité suivant le rayon r prolongé, soit sensiblement — g, en appelant g la gravité au point Ao- L'équation (3) devient, par suite, en posant