CHAPITRE I. — THÉORIE STATIQUE DES MARÉES

pondent aux mers. L'équation (^\) donne, par suite,

Tv d^ ^ C£2,

Cl étant la surface des mers marquée sur le globe terrestre. On en tire

hf^'

dQ^y\

en désignant par V la valeur moyenne de la fonction V considérée pour tous les points de l'Océan.

L'expression de h prendra, par suite, la forme

^ et

Il est extrêmement difficile de tenir compte du potentiel de la couche aqueuse qui entre dans V. On peut le faire, comme nous le verrons plus tard, dans le cas d'une mer couvrant toute la Terre. Hormis ce cas, il n'existait pas jusqu'ici de méthode directe pour atteindre ce but. Tout récemment, M. Poincaré a fait une importante tentative pour combler cette lacune, dans une Note publiée aux Comptes rendus de V Académie des Sciences du 3o avril 189^1. Le plus souvent, on néglige cette grandeur; cela revient à négliger la densité de l'eau devant la densité moyenne de la Terre qui est environ 5,5 fois plus grande. On obtient alors sous forme explicite, quelle que soit la configuration des mers, l'expression

pour l'élévation de la mer due à un potentiel perturbateur quelconque V. Dans le second membre, entre la variable r; mais, à cause de la petitesse du rapport

^) nous pouvons la remplacer par la constante a, de sorte que, en mettant les

variables en évidence, on aura

(5.) „^V(.^^,9,iL-V

qui donne, sous forme explicite, la hauteur de la mer en chaque point en fonction de ses coordonnées géographiques.

Il suffit, pour pouvoir appliquer cette formule, de savoir calculer le potentiel d'un astre.

4. Expression du potentiel d'un astre en fonction de sa distance zénithale. — Soient {fig* i, p. 2) L la masse de la Lune et A sa distance ii un point A de

la surface de TOcéan. Son potentiel relatif à ce point est ^- Mais, comme nous

rapportons les points de la mer à des axes de coordonnées invariablement liées à la Terre, il faut, pour pouvoir regarder ces axes comme fixes, appliquer à chaque point A les forces apparentes dues à leur mouvement. Comme il ne s'agit ici que de Téquilibre, la force centrifuge composée n'intervient pas; il ne reste que la force d'inertie dans le mouvement d'entraînement du point A avec les axes. Celle provenant de la rotation diurne, c'est-à-dire la force centrifuge, a déjà été prise en considération dans les raisonnements qui nous ont conduit à l'expression de la hauteur de la mer en fonction du potentiel des astres. Il suffit donc, à la force d'attraction dérivant de ce potentiel, d'ajouter la force d'inertie due à la translation des axes, c'est-à-dire, puisque l'origine des axes est au centre de gravité de la Terre, une force accélératrice — J égale et contraire à l'accélération J que l'astre tend à imprimer à ce point.

Soient J^, J^., J^ les composantes rectangulaires de J. A chaque point A on devra ainsi appliquer la force ayant pour composantes — J^^, — J^^, -- J-. Comme ces composantes ne dépendent que du temps et non des coordonnées a?, y, z de leurs points d'application, elles peuvent être considérées comme les dérivées partielles de la fonction

— (Jj.^ -f- Jj.y H- Jss) t= — j«cos\J, «y,

eh confondant, comme nous avons vu que cela est permis, la distance du point A

au centre de la Terre avec le rayon moyen des mers et désignant par Ja l'angle que le rayon OA fait avec l'accélération J.

En vertu du principe du mouvement du centre de gravité, le centre de gravité de la Terre se meut comme si toute sa masse T y était concentrée et comme si toutes les forces d'attraction que la Lune exerce sur ses différents points y étaient transportées. Mais ces dernières forces sont égales et opposées à celles que les points de la Terre exercent sur la Lune. Donc, la force qui sollicite le centre de gravité de la Terre est égale et opposée à celle que la Terre tout entière exerce sur la Lune que nous supposons réduite à son centre. Nous pouvons regarder cette dernière force comme dirigée suivant la droite OL = p

qui va du centre de la Terre au centre de l'astre et comme égale à -y L'accélération J qu'elle imprime au centre de gravité supposé doué de la masse T est

J=-^' Donc, le potentiel des forces apparentes — Jacosi^J, a/ équivaut à

^ cos\p, a J. L'angle pa que forment les deux rayons p et a dont l'un va à

l'astre et l'autre au point A sera désigné par la lettre Z. C'est la distance zénithale géométrique de l'astre relativement au point A, de sorte que le potentiel