J CHAPITRE I. — THÉORIE STATIQUE DES MARÉES

des forces apparentes est définitivement ^ cosZ. D'ailleurs, la distance de

l'astre au point A est, en confondant toujours r= OA avec le rayon moyen des mers a,

A = vp* ~ 2 a p cosZ -h a*,

de sorte que le potentiel à considérer est

L LacosZ

V/p- — 2 ap cosZ -f- a* P

Nous pouvons y ajouter une fonction arbitraire du temps; elle disparaîtra dans la différence V ~ V qui entre dans l'expression de h\ nous lui ajouterons le

terme - -\ égal, au signe près, au potentiel relatif au centre de la Terre, de

sorte que nous aurons définitivement

yj L LacosZ L

\/p^— 2 a p cos Z"+~â» P' P

,n. X7 I^ r 2a ^ a*"! * LacosZ

(6) V = - I cosZ-H-^ i —

Si Ton développe le crochet et qu'on néglige les termes de l'ordre de l'inverse de la quatrième puissance de la distance à la Lune, soit de l'ordre -^ qui

paraissent, en général, jouer un rôle inappréciable dans le phénomène des marées, on aura simplement

, , ^j La- 3cos*Z — I

5. Expressions du potentiel en fonction des coordonnées horaires et des coordonnées équatoriales de Tastre. — Représentons sur une sphère le pôle boréal P, l'astre L et le point A, de manière à former le triangle sphérique PLA. Ses trois côtés sont

LA = Z, AP = 90« — 0, LP 1= 90° — d,

en désignant par S la déclinaison de l'astre. L'angle APL est l'angle horaire de l'astre relativement au point A où l'on étudie la marée. Désignons-le par Ay^, de sorte que

(8) cosZ = sinS sin0 -h cos5cos0 cosA/,.

Il résulte alors aisément de la formule (7)

, , ^ 3La«r .. «fl 4 • ;? • û A (i— 3sin>ô)(i~3sin*0)

(9) V — -y-T- COS^ô COS*0COS2A/,-l- Sm2dSU120COSA/i4-

COS^ô COS*0COS2A/,-l- Sm2dSU120COSA/i4- --^

Les coordonnées équatoriales de l'astre seront désignées, à savoir : la déclinaison, comme il est dit ci-dessus, par S, et l'ascension droite par qç.

La longitude Est du point A de TOcéan relativement au méridien de Paris étant 9, si l'on désigne par / l'heure sidérale de Paris et par (ù la vitesse angulaire du mouvement diurne de la Terre, la longitude du point A, comptée depuis le point vernal origine des ascensions droites, est (o^ + ç, et, par suite, l'angle horaire de l'astre relativement au point A est

Cette valeur, portée dans la dernière formule, donne le potentiel relativement à un point en fonction des coordonnées géographiques de ce point et des coordonnées équatoriales de l'astre.

6. Hauteur de la marée lunaire dans une mer recouvrant toute la Terre. — La hauteur de la mer est

g OÙ

Tinlégrale étant étendue à tous les éléments dÇi de la surface des mers, c'està-dire ici à toute la sphère que nous pouvons supposer de rayon i, le rayon disparaissant dans l'expression de V. On a donc

Reprenons l'expression complète (6) du potentiel et rapportons momentanément le point A du globe à la droite OL allant du centre de la Terre à la Lune comme axe polaire. L'angle polaire du point A est alors Z. Soit $ son azimut, relativement à un plan tixe quelconque mené par la droite OL. On aura

d^—smZdld<^ et

'"ia f ^^ f ^^^"^^'

ou, comme V ne contient pas l'angle $,

soit

V = -!. r VsinZ^Z,

V — - — s/p^— 2ap cosZ -h a'— 7— ;C0S2Zh — cosZ =0. 2 L«P 4p' p Jo