X Ri sin ((T-H£|— inl

En faisant œ = 2co/ -+- 2ç, on conclut de là, pour le développement du potentiel V d'après la formule (i),

(5) V— — cos^Oy^ R/ cos(2ct)^ + 29 4-€/— mQ.

14. Les astres fictifs de Laplace. — Un potentiel est le rapport d'une masse à

[15] CHAPITRE II. — LA PRÉDICTION DES MARÉES, d'aPRÈS LAPLACE. 21

une longueur; il s'ensuit que R, est l'inverse du cube d'une longueur. Soit donc

Il étant une masse et Ci une longueur. Il va de soi qu'on peut choisir une de ces grandeurs arbitrairement. On aura

. 3 COS-0COS(2(i3^H- 29 4-6/— int)

-r 3 //CI* -^ / int — £/ Vj== . 3 cos*0cosa ( ct)fH-y

[\Ci \ 2

qui montre, d'après (i), que chaque terme de la série est le potentiel d'un astre fictif de masse /,, qui décrirait, dans le plan de l'équateur, une orbite

circulaire de rayon c,-, avec la vitesse uniforme — > la position initiale de l'astre

étant définie par la valeur — ' de son ascension droite.

L'ensemble de ces astres fictifs a ainsi même potentiel, relativement à tous les points de l'espace, que l'astre véritable L, et, par suite, ils produisent rigoureusement les mêmes effets sur la mer que ce dernier. Chacun d'eux fera naître, en chaque point de l'Océan, une force périodique dont la période est

2(ù — in

15. Le principe de Laplace. — Laplace pose en principe que chacune de ces forces périodiques donnera naissance à une onde de même période qu'elle, c On peut, dit-il, établir comme un principe général de Dynamique que /V/a/rf'an ^y^tême de corps dans lequel les conditions primilwes du mouvement ont disparu par les résistances passis^es quil éprouve est périodique comme les forces qui l* animent. » Les quelques explications très sommaires que le grand géomètre donne à l'appui de ce principe constituent un commentaire plutôt qu'une démonstration. Une démonstration mathématique tirée des équations générales de la Dynamique serait très difficile à trouver et montrerait, sans nul doute, que le principe doit être sujet à de certaines restrictions. Mais Laplace, en l'énonçant, a manifestement pensé à des systèmes matériels animés de mouvements oscillatoires comme ceux qu'il attribue à l'Océan, c'est-à-dire de mouvements dans lesquels les déplacements des points du système sont assez petits pour qu'on en puisse négliger les carrés et les produits. Alors les déplacements sont régis par un système d'équations différentielles linéaires dont les termes connus sont périodiques. L'intégrale générale de ces équations se compose de deux parties, à savoir : une

intégrale particulière, choisie à volonté, des équations complètes, et l'intégrale générale de ces mêmes équations privées des termes connus.

La première pourra être prise périodique comme les forces et sera alors déterminée par les conditions particulières du problème qui sont ici les conditions aux rivages et à la surface de l'Océan ; la seconde sera déterminée par ces mêmes conditions et celle de satisfaire à Tétat initial de la mer. Ainsi, le mouvement total de celle-ci se compose de la superposition : i® d'ondes périodiques comme les forces qui l'animent; 2** de mouvements dus à l'état initial, abstraction faite des forces. Ces derniers mouvements, Laplace admet qu'ils ont depuis longtemps disparu par l'effet des résistances passives. Le fait ne parait pas douteux pour l'Océan (encore que sa démonstration, tirée des équations même de la théorie dynamique des marées, équations qui seront développées dans la seconde Partie, semble difficile et constitue un beau problème d'Analyse restant à résoudre).

Par suite, et à la condition de négliger les carrés et les produits des déplacements des particules fluides qui composent l'Océan, on admettra que ces déplacements sont périodiques comme les forces qui les entretiennent.

Les équations complètes de l'Hydrodynamique comprennent, comme on sait, les carrés et les produits des déplacements ou de leurs dérivées. Si l'on y porte la solution de première approximation obtenue en les négligeant, on aura de nouvelles équations différentielles linéaires dont les termes connus se composent non seulement des forces périodiques véritables, mais encore de forces fictives dont les périodes sont composées avec des périodes prises deux a deux de ces forces, en particulier des forces dont les périodes sont moitié de celles des forces véritables (*). En poursuivant l'approximation, on aurait de nouvelles sousondes composées. On peut ainsi prévoir qu'il doit y avoir :

I® Les ondes principales qui sont périodiques comme les forces;

2^ Des ondes secondaires ou sous-ondes dont les périodes sont des fractions des périodes précédentes;

3^ Des ondes secondaires composées avec ces périodes. Avec Laplace, nous ne considérerons d'abord que les premières; mais nous aurons plus loin à dire quelques mots des autres.

16. La formule de Laplace pour la hauteur de la marée dans un port. — Le terme V/ du potentiel donnerait, d'après la théorie statique (n** 6) et, pour une mer couvrant tout le globe, une onde de hauteur

(10) hi— —=■ =: j rC0s[(2ci)-- m) t -{- 294-Ê/J.

(1) En outre, il convienl de remarquer que les termes ajoutés par les approximations successives ne seraient pas nécessairement périodiques : ils pourraient contenir le temps en dehors des sinus et cosinus, mais avec des coefQcients généralement très petits. Nous en verrons des exemples dans la théorie des marées fluviales.

[16] CHAPITRE II. — LA PRÉDICTION DES MARÉES, d'aPRÈS LAPLACE. 23

D'après le principe de Laplace, l'onde véritable aura même période que V,- ou que l'onde théorique, mais avec un autre coefficient de hauteur et une autre pjiase.

On pourra donc la représenter par l'expression

(il) /l;= Pi -5 COS [(2W — in) i 4- 2cp 4- £/-!- K/],

P, et K, étant deux grandeurs qui ne peuvent dépendre que du port où se produit la marée, c'est-à-dire des deux variables 6 et ç, et des éléments de l'astre

fictif, c'est-à-dire de

-j> fil, 2 0) — m.

Examinons comment elles peuvent dépendre de ces éléments. En vertu du principe de superposition des effets des forces dont il est parlé au paragraphe précédent et qui a lieu pour les petits mouvements dont on néglige les carrés et les produits, il est clair qu'un astre de masse 2/,, 3//, . .., produit le même effet que deux, trois, ..., astres de masses //, cheminant et restant constamment en coïncidence. Ainsi, la hauteur h^ doit être au moins, à une première approximation, proportionnelle à la masse // de l'astre agissant; et, comme cette masse

n'entre que par le quotient 4, la hauteur A,- doit être proportionnelle à ce quo-

tient. Les coefficients P, et K/ en sont donc indépendants.

A présent, supposons deux astres identiques parcourant la même orbite circulaire avec la même vitesse, mais avec des points de départ différents, de sorte qu'ils se suivent à des distances constantes. Il est clair qu'ils doivent produire deux ondes identiques se suivant aussi à distance constante,^ce qui indique que les deux quantités P^et K, doivent aussi être indépendantes de £/. Donc, elles ne dépendent que de la vitesse in de l'astre et, comme le moyen mouvement n de l'astre vrai est petit, Laplace admet que P, et K/ varient linéairement avec m, de sorte qu'on peut écrire

(12) P,.rz:P(l— mQ), K/=:(m — 2W)T — 2X,

P» Q» T, X ne dépendant plus que du port et étant, par suite, pour un port donné, quatre constantes à déterminer par l'observation (*).

Portant ces valeurs dans l'expression (i i) de la hauteur A, et faisant la sommation relative à «, on aura, pour la hauteur totale h de la marée, l'expression

( ^ ) On ne confondra pas Taccoption de la lettre T qui entre dans les formules de Laplace avec celle généralement attribuée à cette lettre dans le cours de cet Ouvrage, à savoir : la masse de la Terre.

h = y ^/ - P y -^ cos [(20) - in) (£ - T) -h 29 4- £,- 2 X]

— PQ 2"* -|cos[(2w — i«)(^ — T) H-39 + e, — 2X]. Soit^ pour un instant,

On pourra écrire

/i=:Py4^os[r-m(^-T)4-294-e,.~2X] (i5) { '

en entendant par y une dérivée partielle prise sans tenir compte de la variabilité

de C avec le temps; en d'autres termes, la dérivée est prise en tenant compte du mouvement de l'astre dans son orbite, mais non du mouvement de la Terre. Si, dans les formules (4) multipliées par L, on prend pour la fonction arbitraire du temps a

on aura, à cause de (6),

- cos*5cos(Ç-4- 20 — 2a— 2^) VT» 6 /^ . -^x

L ^-^ / -: > -^ C0S(Ç — int 4-294- £/— 2X),

- cos'ôsin(C4- 29 — 2a~- 2X) V /i . ,*. • . -v x L - - — ^ - -3^ ^ :=2^-L sm(Ç- £/i^- 29 4-£,— 2X).

Changeons, dans cette équation, t en / — T = /'; soient 0', a', p' les valeurs des coordonnées 0, a, p de l'astre à ce dernier instant. On aura

, C0S'Ô'C0S(Ç'4- 29 — 2a'— 2X) x:» // rw /- rr.v M

, cos*ô'sin(Ç'4-29 — 2a'— 2X) y? /,• . ^w • /* t-n . . -ii

L ^— ,3^- ^=> -^sin[Ç'— m{«-T)4-29 4-£/-aX],

et, par suite, l'expression (i3) de h prend la forme finie

, __p L cos*3'cos2 (ct) f'4- 9 — g'— X) p^. d^ Lcos'(î'sin 2 (c»)<'-^9 — a '— X ) Pour simplifier, supprimons les accents et écrivons, avec Laplace :

1. ij Lcos*dcos2(c»)^4- o — a — X) ,^^ d Lcos'^sin2 (&3^ 4- 9 — a — X) (a) yi p — ^ -^^^y^"^ p3 '

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OÙ l'on rappelle : i® que la dérivée partielle -j- doit être prise en regardant (ùt

comme une constante et supposant seulement variables les coordonnées S, a, p deTastre; 2** que le second membre est calculé, non pour l'instante pour lequel on veut avoir la hauteur A, mais pour un instant antérieur t — T; 3** que les quatre quantités P, Q, T, X ne dépendent pas de Tastre que Ton considère, mais seulement du port; que ce sont donc quatre constantes à déterminer une fois pour toutes dans chaque port.

En partant du terme diurne des formules (9) et (10) (n** 5),

3 La' V= -j-r sin2Ôsin23cos(ci)iH-<;& — «),

on arrivera de la même manière, en appelant