PQ, >, T

les quatre constantes analogues à

à l'expression

/ix . tr sin<îcos5 , , N 1» <^ T sin^cosd . , ,

(0) A = AL j cos(ci)^4-cp — a — y) -H B -r- L 5 sm (0)^4-9 — a — y

Enfin, pour le terme à longue période, nous adopterons l'expression statique. Et comme le coefficient E, qui tient compte de la configuration des mers, est très petit et pratiquement négligeable devant l'unité, nous prendrons la formule

16) A = ^' (I - 3 sin*9) (i - 3 sinM),

qui convient à la mer couvrant tout le globe. Toutefois, nous avons omis (n** 6) le potentiel de la couche d'eau comprise entre la surface moyenne et la surface vraie des mers. Nous verrons plus loin que, si l'on en tient compte, l'expression précédente devient

, ,La^ (i-3sin«0)(i — 3 8in'a)

D = 5,5 environ, étant le rapport de la densité moyenne de la Terre à la densité de l'eau de mer prise pour unité.

Réunissons à présenties trois espèces d'ondes (a), (i), (c) que nous supposons dues à la Lune. Ajoutons-y celles du Soleil en marquant d'un indice les

lettres S, a, p qui s'y rapportent. Les constantes du port sont les mêmes pour les

deux astres, ainsi que nous l'avons vu. On aura donc définitivement

,__ p f Lcos'^cosa (co^-h y — « — >) Licos'^icossi (co^H-y — «,—>>) "]

L ? ^ pî J

p^ d rLcos*5 sin2 (co^ -4- 9 — a — >) L,cos*(îiSin2 (0)^-4- cp — «1 — Vj 1

+*^dï| p + ^î J

I . rLsindcosdcos(w^-4-9 — a — y) LiSin<îiCosdiCOs (&)^4-y — «1— y) "|

^ d rLsindcos5sin(«/-4-a> — a — y) L|Sin5|C0sdiSin(ci)^-f-o — «i— y)

' [L(i — Ssm'o) -hLi(i — 3sin*di)],

où i^ les quatre constantes P, Q, A, B qui entrent explicitement dans les formules et celles T, T' dont nous parlerons ci-après et qui y entrent implicitement sont à déterminer, dans chaque port, par l'observation; 2** les dérivées partielles -T- sont à prendre en regardant co/ comme constant et faisant varier seulement les coordonnées S, p, a, S|, p,, a^ des astres; 3** les deux premières lignes du second membre doivent être calculées pour un instant antérieur de T, à l'instant / auquel se rapporte la hauteur h de la mer; les deux lignes suivantes doivent être calculées pour un instant antérieur de T' à l'instant t; la dernière ligne doit être calculée pour l'instant t lui-même.

17. Extension que pourrait prendre la formule de Laplace dans le cas d'ondes simples ('). —La formule de Laplace suppose (n**16) que les coefficients P,- et K, sont linéaires relativement à la vitesse in de l'astre fictif auquel ils se rapportent. Avec une faible vitesse m, l'hypothèse semble naturelle, surtout pour la phase K, ; peut-être le coefficient de hauteur P/ pourrait-il varier plus rapidement que la vitesse, si la mer subit des étranglements avant d'arriver à la côte. On peut observer que si P, contenait des termes du second, du troisième, . . . degré par rapport à m, cela amènerait simplement à ajouter aux deux premières lignes

de la formule (17), des termes contenant les dérivées partielles^,» ^> •••>

de sorte que, P étant supposé développé suivant les puissances de m, la hauteur de la marée semi-diurne serait

[n D ^' n à^ irLiC0S*5 , ^ .. LC0S*(îi , ,. ^'1

P-i-Pi^ -+-Pj-T-j4-. .. —^—3 — cos2(û)f4-9 — a — A)h j — i-cosa(ci)f-H9 — ai — A)

(.8) +[q^^4-Q.|;-hQ,^.+...]

FLcosM . , , . ... LjCosMt . , , ^.1 1 — sin2((«)^-h9 — a — A)h — - — 3 — - sina (ci)^4- 9 — «1— A) j,

(>) La lecture de ce paragraphe n*est pas indispensable pour la compréhension de la suite de l'Ouvrage.

fl7] CHxVPITRE II. — LA PRÉDICTION DES MARÉES, d'aPRÈS LxVPLACE. 27

OÙ Po Pa, .. ., Qi, Qj,, . .. sont de nouvelles constantes du port. On peut prolonger de même l'expression de la marée diurne. Comme les astres se meuvent très

lentement dans leurs orbites, les dérivées partielles ^> ^> ••• qui sont prises

relativement à ce mouvement seulement (et non relativement à la rotation de la Terre qui est bien plus rapide) doivent décroître très rapidement. Peut-être, dans certains cas où la formule de Laplace ne répondrait pas complètement à

l'observation, y satisferait-on en ajoutant, par exemple, le terme en ^, pour la

Lune.

On peut donner à la formule de Laplace une extension encore plus grande en supposant que non seulement les coefficients de hauteur P,, mais aussi les phases K,-, cessent d'être linéaires par rapport à in. Au lieu de l'expression (12) de K,, prenons

K/— (m — 2w)T — 2X4- IK'iy K^ contenant i^n^ en facteur; puis

P, cosK; := P — inQ -f- /*/i»H,,

P,sinK; = £»n«H', OÙ

H/ = Hi -h mHj H' = H;4-mHi

les H|, Ha, . . ., H'p H'j,, . . . étant, comme les deux coefficients P et Q, indépendants de i/i, c'est-à-dire étant des constantes du port, les mêmes pour tous les astres. En portant dans l'expression (11) de A,, on aura

hi= (P - mQ) -i cos[(2w - in) (/ — T) -+- 29 H- £/— 2I]

Ht -rC0S[(2W — m)(^ — T) -H2 9-H£/— 2X]

- h; 4sin [(a w — in) (« T) + 29 + £;— aX]

H, 4 cos[(2a} — m)(^ — T)-h29 4-£/— 2X] ^1

— H; ^ sin[(2 w — //i) (^ - T) -H 29 + e,— 2I]

ou, en posant

H, = - Pi cos2(X, — X), h; — Pi sin2(Xt— X), H,= P, sin2{X, — X), H; = -P,cos2(X,— X),

28 PREMIÈRE SECTION. — THÉORIE STATIQUE ET PRÉDICTION DES BIARÉES. [17]

les Po Pa, . . ., X|, Xj, . . étant des constantes du port, remplaçant celles

hi={P — t/iQ)-jC0s[(2ù) — t/i)(/ — T)-f-2(p +6/— aX]

H-t»/l'Pl -rC0S[(2a) — l/l)(/ — T)-4- 2<p4-6/— 2Ai]

-+- *'/i'Qi-^cos[(2a) — m) (i — T) -i- 29 H-£/— 2X1]

Faisant la sommation en i et faisant de nouveau usage de la notation ^ pour

indiquer des dérivées dans lesquelles on fait abstraction de la variabilité de 2(3it, on aura

h =2 hi= P 2 ^co%[{i(ù — tVi) (^ — T) -+- 29 4- 6/— 2X]

-H Pi ^ 2 ^ ^^^[(^" "" ''*) (^ "" '^^ "^ ^^ "^ ^'~ ^^»^

-+- Qî ^ 2 3>" S*°[(^^ ~ '"'*) (^ - T) -t- 29 H- 6/— 2X, ] j

ou par les formules (4) et (6), et écrivant de nouveau t au lieu de / — T,

A=:PL 5--COS2(w^-h9 — a — X)

■^^dï ~p» — sm2(w^4-9 — a-1) (,9) / 4-P,^-^5— cos2(co^-i-9-a-X.)

H-Pj-j-j j C0S2(ci)^-H 9 — a — A,)

•^ » — cos2(w^-H 9 — a — A,)

avec les constantes de port P<, X^, P^, Xa, ..., ajoutées à celles P, Q, X qui entrent dans la formule de Laplace. Un développement analogue peut être fait

[18] CHAPITRE II. LA PRÉDICTION DES MARÉES, D APRÈS LAPLACE. 2g

pour les termes diurnes, à savoir :

, . , sinôcosô - .

h = AL 3 cos (w^-f-ç — a — y)

„ d Lsintîcos'î , ^ .

'^ di p^ cos((k)f-i-9~a-y)

(2o) { d* Lsindcosa

"^ *d«« p^ cos(wf-+-9 — a — yi)

. d* Lsin5cos5 "^ 'dï» ô^ cos(w^-+-<p — a — y,)

avec les nouvelles constantes A^, y m Aj, y^, ...

En formant les seconds membres des équations (19) et (20) pour la Lune et le Soleil et les ajoutant aux termes à longue période, on compléterait l'expression (17) de la hauteur de la marée semi-diurne donnée par Laplace.

18. Expressions générales des heures et hauteurs des pleines et basses mers. — Reprenons la formule (17) de Laplace et voyons comment on peut déterminer les constantes d'un port, à l'aide des observations de marée faites pendant un temps assez long. Laplace a fait cette détermination pour le port de Brest avec les observations dont il disposait. Nous allons essayer d'exposer, dans son essence, la méthode qu'il a inaugurée dans ce but, renvoyant pour les détails du calcul, de la discussion et du groupement systématique des données, au Livre IV de la Mécanique céleste.

Nous négligerons d'abord, sauf vérification ultérieure, les termes en ^ de la

formule.

Les heures de pleines et basses mers, c'est-à-dire les heures des maxima et minima de la hauteur A, s'obtiennent en annulant sa dérivée par rapport au temps. A cause de la lenteur du mouvement des astres comparativement au mouvement de rotation de la Terre, on peut négliger leurs déplacements, de

rfh

sorte que l'équation -^ = o devient simplement

Lcos*3 . , , ^. L,cos*di . / , ^.

5 — sin2(a)^ + 9 — a — A) H — - — ^ — isin2(w^-i- 9 — «, — A)

A rLsindcosdsin(a)^-i- 9 — a — y) LiSin5,cosd, . , , .1

-+-^[ 'j, ^ ^' + ^3 sm(co^ + 9-«.-y)J-o.

Sur les côtes d'Europe, la marée diurne est très faible par rapport à la marée semi-diurne. A Brest, en particulier, Laplace trouve que le rapport — p est inférieur à 4~. Il le néglige, ce qui réduit l'équation à ses deux premiers termes.

3o PREMIÈRE SECTION. — THÉORIE STATIQUE ET PRÉDICTION DES MARÉES. [18J

Gomme la Lune a une influence prépondérante, il est naturel d'y rapporter le phénomène. Si Ton pose à cet eflet

l'équation devient

Lcos'd . . L, cos*d, . rA ,

— ,— sina A -+- -i— 3 — L sma [A - (a, — a)] — o,

d'où

Li cos'^i . , .

— î — ; — ^smafa,— a)

1 1 — ■ — r — - cosaCai — a

P' PÎ

On pourra toujours tirer de là une valeur

a)/H-9 — a — X = Ao,

comprise entre o** et 90°, et l'on aura les quatre solutions

Ao, Ao-f-i8o°,

Ao -H 9^"", Ao -f- 370°.

Les deux premières se rapportent aux pleines et les deux autres aux basses mers. Les pleines mers se produisent donc toutes les fois que l'angle horaire (0^ + ç — a de l'astre a ces valeurs

et

a)/4-(p — a=iX-l-Ao4- i8o«,

et les basses mers, lorsque cet angle a les valeurs

X 4- Ao 4- 9o<>

et

X 4- Ao4-29o°.

Comme l'angle horaire de la Lune varie de o® à 36o® dans l'intervalle d'un jour lunaire, soit moyennement en vingt-quatre heures cinquante minutes, il y aura deux pleines mers et deux basses mers par jour, et d'un jour à l'autre le phénomène retardera moyennement de cinquante minutes.

D'une façon plus précise, la vitesse de marche de l'astre relativement au méridien du port, c'est-à-dire la valeur de la variation de l'angle horaire, est

di

W ^ = 0) — oc,

[19] CHAPITRE lî. — LA PRÉDICTION DES MARÉES, d'aPRÈS LAPLACE. 3i

en appelant â la vitesse de marche en ascension droite, laquelle peut être regardée comme constante pour un jour. En prenant l'heure moyenne pour unité de temps, ce qui suppose la vitesse (o — à évaluée en degrés par heure,

les pleines mers arriveront -——:^ heures après chaque passage supérieur et

après chaque passage inférieur de la Lune au méridien. Les basses mers arriveront le même laps de temps après chaque lever et chaque coucher de l'astre. Pour avoir les hauteurs des pleines et basses mers, il faut porter l'expression (21) de l'angle horaire dans celle (17) de A. Appelons, pour abréger, (S) les valeurs des termes à longue période qui sont i ndépendantes de cet angle. Appelons de plus (A) la valeur des termes diurnes, c'est-k-dire

/ X /Av . rLsin5cos3cos(oi)^-l-9— a— y) L,sin5iC0sdi , , ,1

(22) (A) = A 1^ p ^ ^^ -h -^ -| ^cos(a)^ 4. (p a, y)J,

et (A') ce qui devient (A) si l'angle horaire augmente de 90°; soit

ov . »,x __^ . r Lsin 5cosdsin(w^ 4-9 — a — y) Li sin^, cosâ, sin((i)^-f- 9 — «i — y) 1

On aura, en négligeant toujours les termes en ^,

/ /x , /ox /*x i T^ //LcosM\* L cos 6 L, cos ^i ] ^^ 7l7cÔs*V\*

(24) /i = (S)-i-(A)±Py/(^— p— j -H2-^^ L__lcos2(a,--«)-+-(^-i-^3— ij ,

le signe 4- se rapportant aux pleines mers et le signe — aux basses mers.

19. Marées de syzygies et de quadratures, d'équinoxes et de solstices. — Sur les côtes d'Europe, c'est la marée semi-diurne qui prédomine. C'est donc le radical qui influe le plus sur la hauteur de la marée. La différence a^ -— a des ascensions droites des deux astres varie de o** à Sôo*' pendant une révolution synodique de la Lune, soit en vingt-neuf jours douze heures quarante-quatre minutes environ. Pendant ce temps, les déclinaisons et les distances des astres varient relativement peu. Donc, les plus hautes marées correspondront à peu près à la valeur 4-1 de cos2(a, — a) et les plus faibles à la valeur — i. Les premières ont lieu pour

a,— « = o ou 180° (syzygies), les dernières pour

«! — «=: 90*» ou 270° (quadratures).

Ainsi, pendant cette période à peu près mensuelle (de vingt-neuf jours douze heures quarante-quatre minutes), il se produit deux grandes marées (marées de vive eau), à peu près aux moments où les astres sont en conjonction ou en opposition, c'est-à-dire aux époques des syzygies, et deux faibles marées (marées de morte eau), aux époques des quadratures.

Aux époques des syzygies, comme à celles des quadratures, on a

sina(a, — a) = o.

Donc, pour les marées de syzygies et de quadratures, la formule (21) donne à peu près

tang2(Gi)/H- 9 — a — A) =: o;

d'où

w / -f- 9 — oc — A ou "k-h 180",

pour les deux pleines mers. Si X était nul, les marées de syzygies et de quadrature arriveraient donc à l'heure du passage de la Lune au méridien. En fait, il y a la différence X qui n'est pas très grande. Aux syzygies, les deux astres passent en même temps au méridien; aux quadratures, le Soleil se lève ou se couche quand la Lune passe au méridien. Donc les marées de vive eau arrivent aux environs de midi et minuit, et celles de morte eau le matin et le soir. Parmi les marées de vive eau qui se produisent ainsi deux fois par mois, les

plus fortes correspondent à peu près aux plus grandes valeurs de — ^> — j-^»

ou, comme les distances varient peu, aux valeurs S = S, = o, et les plus faibles aux valeurs les plus grandes de S et S<. Les premières sont les grandes marées équinoxiales; les autres, les marées solsticiales, beaucoup plus faibles. Leurs hauteurs, aux unes et aux autres, sont naturellement influencées par les distances des astres.

20. Détermination des constantes du port de Brest. — Pour étudier d'une façon précise les mouvements de la mer dans un port, il faut déterminer les constantes du port qui entrent dans les formules. Nous allons résumer la marche suivie par Laplace pour déterminer, à l'aide des observations dont il disposait, les constantes du port de Brest, renvoyant aux Livres IX et XIII de la Mécanique céleste pour de plus amples détails.

Soit h^ la hauteur d'une pleine mer que nous appellerons la pleine mer du matin. Désignons par A;„ ce que devient (A) quand on y remplace (o^-f-ç — a — X par la valeur qui correspond à cette pleine mer tirée de la formule (24)» en sorte que

*. /c\ . A . T>. /TLcos^dX» ,~~Lcos»â^L, cosM, ] T /L, cosMA»

^-=(S)^-A^-+-Py/(^— ^j +2—^^ L__Lcos2(a,-a)4-(^-L— ^j .

[20] CHAPITRE II. — LA PRÉDICTION DES MARÉES, d'aPRÈS LAPLACE. 33

Soit hg la hauteur de la pleine mer suivante^ que nous appellerons la pleine mer du soir. Entre les deux, l'angle horaire (o/ + ç — a ayant varié d'environ i8o®, on aura

. ,a\ A Ffc. //Lcos'(ï\" LcosM L, cos*ôi \ [ /L| cos'dA*

hs= (S) - A,„-^ P y/ \—^) -^ ^— p -^ cosa(a,~ a) 4- [^ ' ^, ' J •

Soit enfin A,- la hauteur de la basse mer intermédiaire. Entre cette basse mer et la pleine mer du matin, Tangle horaire ayant changé d'environ 90®, si nous appelons A; ce que devient (A) pour la valeur de l'angle horaire qui correspond à cette dernière, on aura

u /ex . A 1^. //Lcos»(5\* Lcos*3 L, cosMi \ [ /L, cos«d,\«

Comme les astres se déplacent peu dans une journée, on peut, dans les trois dernières formules, leur attribuer un^ même position moyenne, à savoir : celle qui répond à la basse mer intermédiaire, soit (n** 16) celle qui précède l'instant de cette basse mer de T heures pour les termes semi-diurnes (le radical); de Ti heures pour les termes diurnes A,„ et A/; de o heures pour les termes de longue période (S).

Cela étant, de ces trois formules on tire :

1° Pour la différence entre deux pleines mers consécutives : (25) A^— /i,= aA;„.

2** Pour la moyenne de ces deux pleines mers, moyenne quejLaplace appelle la hauteur absolue de la marée d'un port y

hs

3^ Pour cette hauteur absolue comptée depuis la basse mer intermédiaire, que Laplace appelle la marée totale du port :

/ a\ u Kf+-hs , . -.^ //Lcos«5\« Lcos«ôL,cos*(5, . , /LiCos«*,\*

(26) /i|= — ^,=-A,4-2Py/(^ ^3 j '^^~J^ ^cos2(aj-«)-f.(^-L__lj,

Les formules (21), (aS), (26) sont très propres à être comparées aux observations, surtout à celles faites sur les marées de syzygies et de quadratures et, par suite, à fournir les constantes d^un port.

(a) La formule (21) ne renferme que les deux constantes X et T, la première

explicitement, la seconde implicitement, puisque les fonctions du temps qui y L. — L 5

entrent se rapportent (n° 16) à un instant antérieur de T heures à celui où se produit la pleine ou basse mer qu'on considère. Donc, par l'observation des heures d'un grand nombre de pleines et basses mers, on pourra obtenir ces deux constantes.

Nous avons vu que les marées de vive eau de chaque mois synodique répondent sensiblement à a< — a = o ou i8o° ou aux syzygies et les marées de morte eau aux quadratures a, — a = 90 ou 270°. Cela veut dire que si l'on avait T = o, ou si la formule se rapportait à l'instant de la marée qu'on étudie, la marée de vive eau serait la première qui suit chaque syzygie et la marée de morte eau, la première qui suit chaque quadrature. Mais, en réalité, comme la formule se rapporte à l'instant / — T quand le phénomène considéré se passe à l'instant ^, la marée de vive eau doit se produire T heures après la syzygie et la marée de morte eau, T heures après la quadrature.

Or, l'observation démontre qu'à Brest, et même dans tous nos ports, ie retard des marées de vive et morte eau sur les syzygies et les quadratures est de trente-six heures environ; d'où l'on conclut T = 36^.

A présent, comme aux marées de syzygies et de quadratures, on a à peu près

sin2(cxi — a) =: o;

si l'on avait X = o, ces marées se produiraient juste aux heures de passage de la Lune au méridien; X indique donc le retard sur l'heure de ce passage, ce qui permet de déterminer sa valeur dans chaque port.

(b) La formule (2S) ne contient que les trois constantes A, T, , y relatives à la marée diurne. Donc, par l'observation des différences de deux marées consécutives sur un grand nombre de marées, on peut déterminer ces trois coefficients. Laplace a constaté que ces différences sont très faibles et c'est ainsi qu'il a reconnu la faiblesse de l'onde diurne sur nos côtes.

Les deux coefficients T^ et y sont les analogues de ceux T et X relatifs à Tonde semi-diurne et, comme il n'y a pas de raison pour qu'ils difTerent notablement pour les deux espèces d'ondes, Laplace a admis qu'ils sont les mêmes, soit

On conçoit que, même si ces égalités ne se réalisaient pas complètement, l'erreur commise en les admettant doive être faible, puisqu'elle ne porte que sur des termes eux-mêmes faibles. La concordance entre la formule finale de Laplace et les observations du port de Brest paraît d'ailleurs confirmer l'induction du grand géomètre.

Ces égalités étant admises, la formule (2$) ne contient plus que le seul coefficient A à déterminer. Les observations faites en syzygie facilitent d'ailleurs cette recherche. Par exemple, si les astres sont en conjonction, soit pour a^ = a

[20] CHAPITRE II. — LA PRÉDICTION DES MARÉES, d'aPRÈS LAPLACE. 35

et pour une pleine mer de passage supérieur, on a

Par suite, A;;, devient, d'après l'expression générale (22) de (A),

. . /Lsin^cosi LiSindiCosd, \ A..-A 1^ p 4- ^j j

d'où, par (25),

. A /Lsinicosi LiSindiCOsdA

h„-h,=2ki^ — P — -*--^-7! — y

qui fournit A.

On aurait des expressions analogues, au signe près de chacun des termes du second degré, pour les marées de passage inférieur ou pour le cas où les astres sont en opposition.

(c) Tous les coefficients étant ainsi déterminés, sauf P, on tirera ce dernier de la formule (26). On reconnaît aisément qu'en syzygie, à cause de y = ^» on a A, = o et, en quadrature,

A/==dz-^* sindicosdi, Pt

le signe 4- se rapportant au premier et le signe — au dernier quartier. De plus, à cause de la petitesse de a< — a aux marées de syzygies, on peut poser

C0S2 (ai — «)= I — 2 (a, — a)'.

On a ainsi une formule qui, par l'observation de la marée totale A^, donne aisément le coefficient P.

Il reste à vérifier dans quelle mesure il est légitime d'avoir négligé les termes

en T^de la formule de Laplace, formule (17). A cet effet, considérons le plus

important d'entre eux, celui

cos'd d — 5— sin2(a)/ + cp — a — X)

(d) LQ — P ^^ ,

relatif à l'onde semi-diurne lunaire. Supposons qu'on ait déterminé le coefficient P (qui est le plus important puisqu'il fournit la hauteur de l'onde semidiurne), par deux séries d'observations de marées, faites, t'une en équinoxe, l'autre en solstice. Si les formules employées sont exactes, c'est-à-dire si les

termes en — sont réellement négligeables, les deux séries d'observations devront

fournir la même valeur moyenne pour le coefficient P, puisqu'il ne dépend que

du port. Si donc on trouve une différence notable, c'est une preuve qu'il y a lieu de tenir compte du terme négligé {d) et la différence devra permettre de déterminer le coefficient Q de ce terme. Or, en équinoxe et solstice, on a

— -J-— =— asmocoso-y- =0, ai at

puisque, dans le premier cas, S = o et, dans le second, ^ = o. D'autre part,

à cause de la faible variation de la distance de l'astre, nous regarderons ^ comme nul. Par suite, le terme {d) devient

f j \ r\w COS'd doL , ^^

(«i) — 2QL — j~ — .cos2((k)^-h9 — a — X).

Soient {fig. 2)

NE l'équateur;

NL l'orbite lunaire;

LD le cercle horaire de la Lune L.

Fig. a.

En désignant respectivement par jc^;, = NL et a;,= ND la longitude dans son orbite et l'ascension droite de l'astre, mesurées depuis le nœud N, et par I l'inclinaison de l'orbite sur l'équateur, le triangle NLD donne

tanga„= cosi tang^^», d'où

1 doin COSi dVn. /ICOsI

cos*a;» dt cos*i^,j dt cos'f'»'

en confondant la vitesse -^ avec le moyen mouvement n de l'astre. D'ailleurs on a, en négligeant la vitesse du nœud lunaire N,

dat-n doL

Donc

^^doL cos'dcos'a» - -

cos*o -r- = ; n cosI = n cosI,

dt COS' Vn,

mgggjg^

[21] CHAPITRE II. — LA PRÉDICTION DES MARÉES, d'aPRÈS LAPLACE. Ti'J

puisque

COS S^n — COS i COS OL^ .

Donc Texpression (rf,) devient

2nQLcosI

vS

COS 2 ( Cl) ^ 4-9 — a — A).

Le terme lunaire principal est

PLcos*d

cos2((a)^ 4-9 — a — X).

L'ensemble deâ deux équivaut à

P'LcosM , , ., 5 cos2(w^-f-9 — a — >)

en posant

1^/ Ffc /\ cosi P'=zP — 2/lQ rr-

Soient P^ et P, les valeurs d'observation fournies pour P' en équinoxe et en solstice* soit pour S = o et 8 = I, on aura

P,= P — 2/iQcosI,

cosI

d'où

P,— Pi= 2/lQ f — !— — cosl^ ,

qui fournit Q. Mais Laplace a reconnu que, dans le port de Brest, la différence Pa — Pj ne dépasse pas les erreurs d'observations, de sorte que Q est négligeable et, à plus forte raison, les autres termes en ^•

21. Formule numérique de Laplace pour le port de Brest. — Tous les coefficients étant ainsi déterminés pour le port de Brest, Laplace a pu établir la formule de prévision de la hauteur des marées dans ce port.

Soient c et c^ les distances moyennes de la Lune et du Soleil. Soient

les rapports de ces distances moyennes aux distances vraies ou les rapports des parallaxes horizontales actuelles à leurs valeurs moyennes.

38 PREMIÈRE SECTION. — THÉORIE STATIQUE ET PRÉDICTION DES BfARÉES. [22]

Avec les données astronomiques dont il disposait, Laplace a trouvé

(28) îi:î^ = 3,o6,

soit 3 environ, et, avec la latitude de Brest,

3sin*6 — I L, ^ ,^

OU, -en rétablissant Thomogénéité des formules (n** 1) et faisant

T __ masse de la Terre ® ~" a* "~ (rayon terrestre)* '

a étant exprimé en mëtres, a- étant la densité de Teau de mer, D la densité

moyenne de la Terre, soit — = 5,5 environ.

Les valeurs trouvées pour les coefficients A et P se trouvent être telles que l'on a

D'ailleurs

y = X r= 66<»5' 2o^ T nrii, 50724 = li, 5 = 36^

d'où (formule 17), pour la hauteur absolue de la mer,

r 3i* cos'i cos2(g.)< -h© — « — X)n h= o™,78ii2 .. ^ J \

L"*"*! cos'oiCOS2(g.)^4- 9 — «1— A)J

(3i) / r 3i*sind cosi cos(a)r 4- 9 — a — ^)T

L^- i\ sin^i cosdiCOS(a)/-h9 — ai--X)J