J CHAPITRE II. — LA PRÉDICTION DES MARÉES, D APRÈS LAPLACE

pour laquelle Tensemble des termes (a) serait assez judicieusement remplacé dans la pratique par un coefficient de hauteur Pe différent de celui P relatif au Soleil.

Ce qui est heureux, c'est le fait constaté par M. Chazallon, que le coefficient £ ne varie pas sensiblement d'un port à un autre. Il en est, par suite, de même de celui k\ qu'il a admis être égal à 2,89. Nous le laisserons en évidence sous forme littérale, afin de lui donner à volonté cette valeur ou celle 3,oo de Laplace.

23. Unité et établissement d'un port; coefficient de marée. — La formule (35) qui se trouve ainsi tout à fait pareille a celle de Laplace, avec une interprétation différente du nombre invariable ^, ne contient plus que les deux constantes P et X à déterminer une fois pour toutes, pour chaque port.

Si Ton cherche les heures des pleines et basses mers, on trouve, comme au n® 18, qu'elles sont données par la formule

(07) tang2(a)^-i-9 — a — X)=i ^ ' '

k' ^ T-^ H- cos2(a,— a)

Portant cette valeur dans (35), on aura, pour les hauteurs des pleines et basses mers.

(38) A =±: Pv/F*i«cosM 4- 2k'i^cos*di\ cos»ôiCOS2(ai-- a) -h i\ cosM,.

Gomme on fait abstraction de Tonde diurne, la mer oscille d'égales quantités au-dessus et au-dessous de son niveau moyen et la valeur absolue du second membre représente une demi-oscillation.

Par l'observation de la marée totale (n® 20), on aura le double de la valeur du second membre, ce qui donnera le coefficient P. De même, l'observation des heures des marées donnera la constante X, le tout comme il a été expliqué plus haut. Mais on remplace, dans la pratique, les coefficients P et X respectivement par deux autres constantes appelées, l'une V unité de -hauteur , l'autre Y établissement du port.

On appelle unité de hauteur d'un port la demi-amplitude H de la mer le jour de la grande marée de vive eau qui suit une syzygie équinoxiale lorsque les deux astres sont l'un et l'autre à leurs distances moyennes. Cela peut ne jamais se réaliser complètement. Cela suppose en effet qu'on ait à la fois

(89) d=zd, = 0, «— «j=I, «, = «.

Il en résulte, d'après (38),

(4o) H=rP(n-Â:'),

pour la hauteur de la marée qui suit de trente-six heures celle de la syzygie.

4 '2 PREMIÈRE SECTION. — THÉORIE PRATIQUE ET PRÉDICTION DES MARÉES. [24]

C'est la plus grande hauteur qui puisse être atteinte dans le port que Ton considère, et Ton a, pour le rapport g d'une hauteur quelconque à Funité du port,

//j\ ^ ^ v/A:^»f'cos*3 -h2k'i^cos*di\ cos'^tCosa(«|— «) 4- ij cosMi

OÙ, dans V Annuaire des marées des côtes de France, on fait k'= 2,89. Le second membre est un coefficient purement astronomique qu'on nomme le coefficient de marée. On peut le déterminer à l'aide des éphémérides pour tous les jours de l'année, et alors il suffit d'en multiplier la valeur à une époque antérieure de trente-six heures à celle pour laquelle on veut calculer A, par l'unité du port, pour avoir la demi-amplitude d'oscillation h dans ce port; la marée totale est 2 A, sauf une correction qu'on lui fait subir pour tenir compte de l'onde diurne.

Si l'on fait a^ = a dans la formule (37), on a, pour l'angle horaire de la Lune répondant à la pleine ou basse mer correspondante,

La constante X (puisque les valeurs de ^, a,'af se rapportent à un instant antérieur de trente-six heures à celui du phénomène que l'on étudie) est donc le retard sur le passage de la Lune de la marée de vive eau qui suit de trente-six heures une syzygie. Cette constante est facile à déterminer d'après cela et elle cadre bien avec celle H, puisque les deux se rapportent a la marée de vive eau, celle qui suit de trente-six heures une syzygie. Mais l'usage a prévalu de la remplacer par une constante E appelée \ établissement du port^ et qui est le retard sur le passage de la Lune, non de la marée qui suit de trente-six heures la syzygie équinoxiale qui a servi à définir l'unité du port, mais celui de la marée qui se produit le jour même de cette syzygie. Elle correspond donc aux positions des astres qui précèdent de trente-six heures la syzygie dont il s'agit. Il y a là un manque de correspondance dans les deux constantes usitées H et E qui ne se justifie pas. Il est sans inconvénient, puisque l'heure et la hauteur des marées se trouvent être deux questions entièrement distinctes, l'une étant résolue par la formule (87), l'autre par la formule (40*

24. Prédiction de rhenre des marées. — Nous avons montré comment l'unité de port fournit aisément la hauteur des marées. Il nous reste à dire comment on en détermine l'heure, ce qui est un peu moins simple parce que l'équation (37) qui la donne ne peut pas être résolue explicitement.

Posons

La fonction A qui dépend uniquement des positions des astres peut être cal-

[24] CHAPITRE II. — LA PRÉDICTION DES MARÉES, d'aPRÈS LAPLACE* 4^

culée pour chaque jour de Tannée. Elle Test pour la valeur ^' = 3 de Laplace, dans V Annuaire du Bureau des Longitudes, à Tarticle Marées, Tableau I. L'équation (37) à résoudre peut alors s'écrire

iff\ s -il* sin2(a, — a)

(44) 0)^ + 9 — « — A = |arctang-.—

A -f- cos2(ai — a)

Posons

(A5^ L arctaiîff sin2(a,~«) __

n étant le moyen mouvement de la Lune et co la rotation diurne de la Terre. La fonction du temps C peut être regardée comme dépendant des deux arguments

A et «1 — a.

Le premier est donné pour chaque jour de Tannée, comme il vient d'être dit; le second, différence des ascensions droites des deux astres, résulte de la connaissance des heures du passage de la Lune au méridien du port. Pour tous les ports français, ces heures sont, à moins d'une minute près, les mêmes que celles des passages au méridien de Paris. On peut donc prendre ces dernières qui sont fournies par )^ Annuaire de l'Observatoire, sans correction. Or, si k^ et k^^ sont les angles horaires des deux astres, en sorte que

0) ^ 4- 9 — « = Aa, w^H-cp — ai = AiA,

on a

«j — a r::: Aa — Aia»

Lorsque la Lune passe au méridien, son angle horaire est nul; donc, à ce moment-là,

OU, si Ton veut,

Mais Tare 36o — A^, réduit en temps, représente l'heure solaire vraie à l'instant considéré. L'heure (temps moyen) du passage de la Lune étant fournie par \ Annuaire, il suffit d'en retrancher le temps moyen à midi vrai pour avoir l'heure vraie 36o — A^ du passage de la Lune, c'est-à-dire la différence ai — a des ascensions droites des deux astres au moment de ce passage. Par interpolation, on l'en déduit à d'autres heures.

La Table II de l'article des Marées^ à double entrée, fournit ensuite les valeurs (45) de C en fonction des deux arguments

A et «1 — flc.

44 PREMIÈRE SECTION. — THÉORIE STATIQUE ET PRÉDICTION DES MARÉES. [24 J

Ceci posé, Téquation (44) peut s'écrire

(46) co^H-cp — a — 'k = {(,i — n)C.

Mais il faut remarquer que, si une marée se produit à l'instante, les fonctions du temps qui entrent dans cette équation doivent être calculées pour l'instant t' =^1 — T. L'équation à résoudre, si l'on met partout en évidence l'argument t'y en le plaçant en indice aux lettres qui représentent des fonctions du temps, s'écrira

(47) w/'-hcp— a/ — X = (o) — «) C|'.

Le problème à résoudre consiste à trouver l'heure de la marée qui suit un passage de la Lune au méridien. Soit p l'heure du passage un jour donné, heure qu'on peut confondre avec celle du passage au méridien de Paris et qu'on connaît chaque jour par V Annuaire.

Puisqu'à l'instant p Tangle horaire de la Lune est nul, son angle horaire à l'instant/?' =p — 36** est facile à reconnaître par les éphémérides. Soit Up* cet angle horaire, de sorte que

(48) &)/?' -h (p — «p' = Up'.

Retranchant cette équation de la précédente, on a

(49) w(e' — />') — («r — oLp') = X — ûtp' 4- (w — /i) Cf.

Pendant le temps /' — p' on peut regarder la Lune comme animée de son moyen mouvement, d'où

at' — ap'z=n{l' — p'),

OU, comme i' =z t — 36**, p' =p ^ 36,

(50) (co— /i) (/ — />) =X — ap' -\-{(ù — n)Ct'.

Soit E l'établissement du port donné par V Annuaire du Bureau des Longitudes, comme par celui des marées des côtes de France. Cela veut dire que E est le retard t—p qui correspond à une marée de syzygie équinoxiale, les astres étant à leurs moyennes distances.

Soit po l'heure du passage de la Lune pour cette marée. A l'instant

Po =Po — 36»»,

l'angle horaire de l'astre aura une valeur connue a^/. L'heure t de la marée considérée est

t = E-hpo, d'oii

[25] CHAPITRE II. — LA PRÉDICTION DES MARÉES, d'aPRÈS LAPLACE. 4^

On a donc pour cette marée, en vertu de (5o),

Retranchons les équations (5o) et(5i) pour éliminer X, nous aurons pour le retard t —p d'une marée sur Theure/? du passage de la Lune,

Cl) — n

Le terme de beaucoup le plus important du second membre est E. On peut donc, comme première approximation, écrire

et, portant cette valeur dans le terme de correction C^^^^^j on aura

qui fournit explicitement le retard cherché t — p,

25. Usage de l'Annuaire du Bureau des Longitudes. — Si la Lune avait un mouvement uniforme, il s'ensuivrait que, trente-six heures avant n'importe quel passage, son angle horaire serait toujours le même. On aurait donc a^'= ap.^. La différence «;,'-— a^; ne vient donc que de la différence entre la vitesse de l'astre le jour où l'on observe une marée quelconque et sa vitesse le jour de la marée de syzygie équinoxiale qui sert à définir l'établissement du port. Cette petite différence a été négligée dans la formule de V Annuaire du Bureau des Longitudes. De même, si l'on regarde la fonction C comme variant linéairement pendant les quelques heures (12 heures au plus) que forme le nombre E, on aura

Et, en effet, on reconnaît par les Tables que les accroissements de C résultant des deux accroissements égaux E, donnés aux deux valeurs /? — 36 et/?© — 36, sont eux-mêmes sensiblement égaux. La formule de Y Annuaire du Bureau des Longitudes a été ainsi réduite à

^ /?=:£ + Cp-36 — L|,j— 86>

De cette façon, le dernier terme est une même constante pour tous les ports. Lors d'une syzygie équinoxiale pour laquelle les astres sont à peu près à leurs moyennes distances, on a à peu près

ce qui donne, par (4^),

Ce chiffre ne se réalise pas exactement. D'autre part, vers le moment d'une syzygie, la Lune gagne environ 0*^,5 par heure sur le Soleil; trente-six heures avant la syzygie le Soleil est en avance, c'est-à-dire que son ascension droite est plus grande que celle de la Lune, et la différence est environ

Avec ces deux valeurs de A eta^ — a, on a trouvé par la Table II (n*' 25) la valeur correspondante de C, c'est-à-dire la valeur de cette fonction, trente-six heures avant l'heure p^ de la syzygie :

d'où

Dans V Annuaire du Bureau des Longitudes, on trouve, tous les ans, un exemple numérique de l'application de cette formule à l'aide des Tables : l'une à simple entrée, donnant A pour chaque jour de l'année; l'autre à double entrée, donnant C en fonction des arguments A et a, — a. Pour la comprendre, il est bon d'observer que la valeur de A, fournie par la Table à une date qui y est marquée /, se rapporte à la date t — 36**.

26. Tables de TAnnuaire des marées des côtes de France. — Dans V Annuaire des marées des côtes de France rédigé autrefois par M. Ghazallon et continué par M. l'ingénieur hydrographe Hatt, on trouve des Tableaux tout calculés de l'heure et des hauteurs des pleines et basses mers dans les principaux ports de France et même de l'Europe.

La formule employée par M. Hatt pour la prédiction de l'heure des marées parait se rapprocher de celle (52), plus complète que celle de V Annuaire du Bureau des Longitudes^ que nous avons donnée plus haut. Pour éviter d'avoir à calculer la constante Ce h-/?© — 36 pour tous les ports, M. Hatt suppose à E une valeur moyenne de 4**. Nous avons fait observer que cette valeur est à peu près indifférente dans la différence des deux derniers termes de la formule.

Dans V Annuaire des marées, on emploie aussi bien pour le calcul de l'heure que pour celui des hauteurs le coefficient ^' = 2,89 de M. Ghazallon, au lieu de celui A'= 3 de Laplace.