DANS UN PORT
A. Par les indications du marégraphe .
39. Objet de ce Chapitre. — 40. Origine et mesure du temps.— 41. Forme de Tëquation représentant une courbe du marëgrapho. — 42. Distinction entre les ondes de courtes et de longues périodes. — 43. Détermination du niveau moyen dans le port. — 44. Hauteurs mesurées à partir du niveau moyen. — 45. Méthode générale pour séparer les ondes de courtes périodes. — 4G. Détermination du coefficient de chacune de ces ondes. — 47. Résumé de la marche à suivre. — 48. Observation théorique. — 49. Observation d'ordre pratique. — 50. Forme usuelle des équations. — 51. Applications. — 52. Méthode générale pour la détermination des ondes de longues périodes. — 53. Remarque sur les calculs. — 54. A]>plications.
B. Par l'observation des pleines et basses mers. 55. Méthode générale. — 5G. Application aux ondes lunaires elliptiques. — 57. Onde lunaire principale.
A. Par les indications du marégraphe.
39. Objet de ce Chapitre. — Le marégraphe installé dans un port fournit, pendant la durée des observations, la courbe des marées du port, c'est-k-dire une courbe ayant pour abscisses le temps et pour ordonnées les hauteurs de la mer dans le port. Les observations doivent avoir une durée minima d'un an environ. Il va de soi, d'ailleurs, qu'elles fournissent des résultats d'autant plus sûrs qu'elles sont prolongées davantage.
Au port d'Aden, que Darwin prend comme exemple, elles ont été poursuivies pendant quatre années. J'admettrai une durée d'environ un an (un an et quelques jours).
Ayant ainsi, par l'observation, les courbes des marées pour une année environ, il s'agit de la tracer pour les temps à venir, ou de constituer des Tables en tenant lieu, sans nouvelles observations. A cet effet, on remarquera qu'en vertu du principe de Laplace (n° 15), à chaque terme du développement harmonique du potentiel ou, ce qui revient au même, à chacune des ondes théoriques don-
nées aux Tableaux du Chapitre précédent correspond, ds(ns un port donné, une onde de même période, mais avec un coefficient de hauteur et un coefficient de phase dépendant du port.
Laplace admettait que ces deux coefficients sont les mêmes, dans un port donné, pour toutes les ondes provenant du développement des termes semidiurnes du potentiel, qu'elles sont les mêmes aussi pour toutes les ondes provenant du développement des termes diurnes. Ici, nous abandonnerons ces hypothèses restrictives : nous admettrons que chaque onde donne lieu, dans un port donné, à deux constantes locales distinctes. Il s'agit de déduire toutes ces constantes de l'observation. Une fois qu'elles sont obtenues, le problème de la prédiction des marées dans le port est résolu, puisque ces constantes ne dépendent en rien du mouvement des astres et restent, par suite, les mêmes dans la suite des temps.
Pour les obtenir, il y a deux opérations distinctes a faire : la première consistant à représenter l'ordonnée de la courbe fournie par le marégraphc sous forme harmonique avec les vitesses des arguments qui entrent dans les expressions générales des ondes et des coefficients numériques convenables ; la seconde, à rapprocher cette formule numérique applicable seulement pour la durée des observations, de la formule générale applicable à tous les temps. De ce rapprochement résulteront les constantes cherchées.
La première de ces deux opérations fait l'objet du présent Chapitre, la seconde fera celui du Chapitre suivant.
40. Origine et mesure du temps. — Nous prenons : midi moyen du premier jour des observations pour origine du temps et l'heure, temps moyen, comme unité de temps, de sorte que t représente t heures, temps moyen, à partir de midi du premier jour des observations.
41. Formation de Téquation représentant une courbe du marégraphe. — Il s'agit de représenter l'ordonnée h de la courbe du marégraphe par une expression de la forme
hzma H-V (Aa- cosXra^ 4- B;tSiuA:a^ -h V (Ai,cosX:a'^ -h BisinXra'^),
OÙ koL, kcff sont ce que nous avons précédemment appelé les vitesses des arguments des ondes, vitesses numériquement connues par les Tableaux du Chapitre précédent.
Nous réunissons sous une même somme ^^ où l'on fait A~ r, 2, 3, ... les
ondes dont les vitesses sont multiples d'une même vitesse fondamentale, telle que a ou a'. Ainsi, si a = co — n est la vitesse d'une onde lunaire diurne, la pre-
70 PREMIÈRE SECTION. — THÉORIE STATIQUE ET PRÉDICTION DES MARÉE-S. [43]
mière somme comprendra toutes les ondes dont les vitesses sont 2(00 — /i), 3((o — n)
En fait, il y en a peu, comme Tindiquent les Tableaux du Chapitre précédent,
de sorte que chaque somme V comprend un très petit nombre de termes, et,
le plus souvent, un seul terme. Les vitesses a, a', ... se rapportent ainsi à des ondes de provenances parfaitement distinctes, et sont des nombres incommensurables entre eux.
Ces vitesses étant données en degrés à l'heure, les arcs sont exprimés en degrés; par suite, si t, t', ... sont respectivement les périodes des ondes aux vitesses a, a', ..., on a
(2) T^ , T'rn— p,
de sorte que l'expression de h peut encore s'écrire
en posant, pour abréger,
Y =V (A*cosA:«f H-B*sinA:af) =:V |A*cos +8*5111 h
T^^ (Aicos)ta'^4-Bi.sin^a'0=2 (a^cos-^^/^ -+- B^ sin ^-)
Y représente l'ensemble des ondes dont les périodes sont t ou un sous-multiple de t; Y^' représente l'ensemble des ondes dont les périodes sont t' ou un sous-multiple de t', et ainsi de suite.
Le premier problème à résoudre consiste à déterminer les constantes Aa, B^; k'i^, BJt, ..., de façon que l'équation (i) ou ses équivalentes (2^) et (2^) représentent le mieux possible la courbe fournie par le marégraphe.
42. Distinction entre les ondes de courtes et de longues périodes. — Il convient, pour cela, de distinguer les ondes de courtes périodes, c'est-à-dire celles dont les périodes sont voisines d'un jour moyen ou d'un sous-multiple du jour moyen, et les ondes à longues périodes, dont les périodes sont voisines d'un mois ou d'un demi-mois, ou d'une année ou d'une demi-année, temps moyen.
43. Détermination du niveau moyen dans le port. — Déterminons d'abord la constante a qui représente l'altitude du niveau moyen dans le port, par rapport au zéro de l'échelle du port.
A cet effet, concevons qu'on prenne la valeur moyenne de A pendant un temps
très long et indéfiniment croissant T; on aura, par la formule (2^ ),
i r hdt--^a-h^f Y^^4-^y Y'dt--,...
Soient, respectivement, q, y', . . . les plus grands entiers contenus dans les
quotients -• -> , de sorte que
£ étant moindre que la période t; e' moindre que la période t'.
En raison de ce que les facteurs Y, Y' sont périodiques et de valeurs moyennes nulles, l'équation ci-dessus peut s'écrire
^ r hdt-a-\-^l Ydt-h^j Y'dt-^..,.
Soit M le maximum en valeur absolue de la fonction / Yrf/, lorsque t varie de o h t; comme £ est compris entre ces valeurs, la valeur absolue de
dt
est moindre que tjt- Elle est donc aussi petite que Ton veut pour une valeur
suffisamment grande de T.
Le même raisonnement s'applique aux termes suivants du second membre. Donc, alors que T croît indéfiniment, on a
(2^) az=^l hdt
En fait, cette équation existe avec une approximation très suffisante lorsqu'on prend T égala la durée des observations de la hauteur A, c'est-à-dire une année environ. En effet, que Y se rapporte à une onde de courte ou de longue période, la période T est toujours une fraction à très peu près exacte de l'année moyenne, de sorte que £ est une quantité extrêmement petite par rapport à l'année entière; donc
est une très petite fraction de Y et, par suite, de h; car l'expression - 1 Y cli
est de Tordre de grandeur de Y, dont elle représente la valeur moyenne pendant le temps e, et rp est une très petite fraction.
L'équation (2^), où T représente une année, peut donc être regardée comme suffisamment exacte, ce qui revient à dire que le niveau moyen annuel de rOcéan en un point donné ne change pas sensiblement d'une année à l'autre.
Pour appliquer cette équation, divisons Tannée d'observations en 365 jours moyens, et chaque jour en 24 heures. Mesurons sur les feuilles du marégraphe les 24 ordonnées
(a) ho, A,, /!•,
qui répondent aux 24 heures de chaque jour de Tannée. Faisons la moyenne h^
des 365 hauteurs mesurées h^; celle h^ des 365 hauteurs h^, et ainsi de suite. Nous aurons ainsi les 24 moyennes
(P) /hy ^hy h^y •••» ^Î3>
dont la première grandeur est la hauteur moyenne annuelle à midi ; la seconde, la hauteur moyenne annuelle a i heure, etc.; Aj,, la hauteur moyenne annuelle à 23 heures ou à 11 heures du lendemain.
Faisons enfin la moyenne de ces moyennes et nous aurons
Nous aurions évidemment pu obtenir la moyenne annuelle en combinant les additions autrement; mais nous verrons que les 365 x 24 hauteurs (a) et les 24 moyennes (p) interviendront dans tout ce qui va suivre.
44. Hauteurs mesurées à partir du niveau moyen. — Soit h' la hauteur du niveau de la mer comptée à partir du niveau moyen. On aura
A'==A- aznY + Y',
où Y et Y' sont à remplacer par leurs expressions (25). Les valeurs de h et de a dépendent du zéro conventionnel de Téchelle des marées, tandis que la hauteur h' en est indépendante. Nous aurons donc ainsi par l'observation
(3) h'=ih — a — Y-\-\'^.,..
45. Méthode pour séparer les ondes de courtes périodes. -— Proposons-nous h présent de déterminer les coefficients A^t, B^, A'^^., B^^qui se rapportent aux diverses espèces d'ondes en commençant par celles de courtes périodes.
[45] CHAPITRE IV. — RÉDUCTïOiN DES OBSERVATIONS. 78
Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de déterminer les coefficients A^ et Ba relatifs aux ondes ayant la période t ou ses sous-multiples.
Pour simplifier le langage, nous regarderons t comme la durée d'un jour lunaire.
Concevons que les courbes journalières fournies par le marégraphe soient placées les unes à la suite des autres pour un grand nombre de jours lunaires, par exemple 365 ou, plus généralement, pour une durée
le nombre q étant dans la pratique de 36o à 370. Marquons les ordonnées répondant aux abscisses
Comme la fonction
Y= V (A^cosAra^ + BAsinÂra^),
qu'il s'agit de déterminer, admet la période t, il suffit d'en avoir les valeurs pour les valeurs du temps t comprises entre o et t, soit pour un jour lunaire.
Soit / un instant quelconque du premier jour lunaire écoulé depuis le commencement des observations. Traçons l'ordonnée correspondante A = A^ de la courbe du marégraphe, puis toutes les ordonnées qui sont équidistantes de t, c'est-a-dire celles qui répondent à la même heure des jours lunaires suivants, ou aux valeurs
Soient
ces ordonnées mesurées sur les feuilles fournies par l'instrument. Faisons-en la moyenne
h\ est ainsi une fonction du temps t connue par l'observation pour chaque valeur de t comprise entre o et t.
Je dis que c'est la valeur approchée de la fonction périodique Y que nous cherchons, avec une approximation d'autant plus grande que q est plus grand, c'est-à-dire que les observations auront eu une plus longue durée.
On a, en effet, par définition,
i—0 1 = izzo
en appelant Y^^rt» Y^^^ les valeurs de Y, Y', ...» pour l'instant t -h i'v.
Mais, comme Y est une fonction périodique ayant t pour période, on a, quel que soit l'entier i,
Y,^/,= Y,=zY ::i g Y,^/t,
en sorte que
Je dis que les termes qui suivent Y sont d'autant plus petits que g est plus grand, et peuvent être rendus aussi petits qu'on le voudra pour une durée assez longue, q'i = T des observations.
Prenons en effet le terme général de Y' :
Ak cos — -, h Bk sin — r- •
Sa valeur moyenne qui entre dans l'expression de h'^ est
— V cos ^ -\ — - V sin ^
<«) ^S-'^^-tS
On a généralement
