HO

Osy • • •

P'ay • •

— o,oo5oo

— o,oii3o

Oiy. . .

Le coefficient P|3 = S^oSSg est très grand par rapport aux autres. Cela tient à ce que, dans le terme

9(fAy-^- ^*) cos^ (fzy 4- Xa-) = 9(f^3-+- >i) cos ^î-^ (fzj 4- Xi),

qui y entre en vertu des équations (3o), on a

|jL3=:24Pi= 2 X 24 (/l — /11), X| =1 24ai=^ 2 X 24( W — /l ),

|JL,-hX,=: 2 X 24(û) — «1) = 2 X 24 X l5**=: 2 X 36o**.

Or, pour a? = 2 X 36o®, on a

sin^^

9(0:) = — ^ij—

sin365 x 36o 365 ^ -

C'est le cas utilisé au numéro précédent et que nous utiliserons encore où ? (^) prend sa valeur exceptionnellement grande 182,5.

Les P^y, Pi,, Q^y, Q'kj étant ainsi connues, les équations (29) donnent les AGy

et ASy, puisque les coefficients A*, B^ relatifs aux ondes à courtes périodes et, en particulier, aux trois ondes Mj, N, sur lesquelles portent les corrections, ont été précédemment trouvés.

Nous avons donc les seconds membres des dix équations que représente le Tableau de la page 98.

Nous profiterons de ce que les coeflicientsde la ligne diagonale sont beaucoup plus grands que les autres, pour en tirer les valeurs de première approximation des dix inconnues

On portera ces valeurs de première approximation dans les termes négligés, et l'on aura les valeurs définitives des coefficients Cj , D) .

On peut ensuite, si on le juge utile, faire la petite correction indiquée par les équations (33) pour passer aux coefficients définitifs Cy et Dy, en remplaçant dans ces équations la lettre s par y.

On voit, en résumé, que toute l'opération se résume à calculer les seconds membres des équations numériques représentées par les Tableaux de la page 93 ; les premiers membres de ces équations sont constitués une fois pour toutes et leur résolution ne souffre aucune difficulté.

Tous les calculs qu'exige la méthode qui vient d'être exposée sont considérablement réduits par l'emploi d'un appareil spécial dont on trouvera la description dans un Mémoire de M. Darwin intitulé : On an apparatm for facilitating ihe réduction of tidal observations (Proc. ofthe Royal Society^ vol. LU, 1892).

B. Par les observations des pleines et basses mers (*).

55. Méthode générale. — Au lieu des courbes du marégraphe, on peut aussi utiliser, pour l'analyse des ondes, la connaissance des heures et des hauteurs des pleines et basses mers.

Supposons deux ondes seulement dont la hauteur h est représentée par l'expression

(36) hz=zAp cos Vp -f- Bp sin Vp 4- Ay cos V^ -h B^ sin Vç

OU

(87) Vp=/?^ H-consl., V^=<7^-i-consl.,

t étant le temps moyen compté depuis midi du premier jour des observations.

(*) On the harmonie wialysls of tldal observations of high atid low water, by G. -H. Darwin (Proc. ofthe R. Societj, vol. XLVill; 1890).

Les constantes qui entrent dans les expressions de V^ et V^ pourraient être supprimées et regardées comme contenues dans A^ et B^,, A^ et B^. Il peut être plus commode de les conserver en leur attribuant des valeurs simplifiant un peu les écritures.

Si Ton pose

A^= Rp cosçpy Bp—Rp sinç^,

on peut encore écrire

(38) h =3 Rp cos(y p-çp) 4- Il^cos(V^- çq).

Les époques des pleines et basses mers sont obtenues en annulant la dérivée de h par rapport au temps, ce qui, en divisant par^ et faisant, pour abréger,

donne

(39) ApSinVp— BpC0sV,,-h A:,/(AçSinV,, — B^cosV^) =1 o.

Ajoutant les équations (36) et(39) multipliées respectivement par cosV^, sinVp, puis par sinV^, — cosV^, nous aurons à chaque pleine et basse mer les deux équations suivantes :

hcosYp-- Ap-h A^(cosVpCOsV^-h Ar^sinVpSin V^)

-+- Bç{cos\p sin V^— kq sinVpCOsV^^),

hsin\p=i Bp4- A^(sinVpC0sV^— Âr^cosV^ siu V^)

Bç ( sin V„ sin V„ 4- k„ cos V» cos V»).

Supposons qu'on ait un certain nombre d'observations et qu'on forme les valeurs moyennes des équations analogues aux deux dernières se rapportant à chaque observation. On peut échelonner les observations de façon que les valeurs moyennes des coefficients de A^ et B^ soient très petits et négligeables, de sorte que les équations ajoutées et divisées par le nombre n -hi des observations donnent

2/iC0SVp=: Ap,

2AcosV^=:Bp,

qui déterminent A^ et Bp.

On peut, au contraire, échelonner les observations de façon que les coeffi- L. — I. i3

cients de A^ et B^ aient des valeurs moyennes sensibles, et obtenir ces coefficients après élimination de ceux Ap et B^.

Un cas fréquent est celui où il s*agit de séparer deux ondes de périodes très peu différentes.

Supposons

d'où

A:« =: ^ r= IH

En négligeant la quantité supposée très petite - devant Tunité, on a donc *y = I, et les équations (4o) deviennent

( h cos V,, = Ap -h \,y ces y / -h By sin v /,

( A sinVpirr Bp— A<y siiiv/ H- B^cosv/;

soity sous une forme plus brève,

( AcosVp= Ap-h R^cosCv/ — ç^), ( A sinVp=B;,— R^ sin(v^ — ç^).

Supposons qu'on observe n -h i pleines et basses mers consécutives, qu'on écrive les équations (42) pour chacune d'elles et qu'on fasse les moyennes des deux membres, on aura

2Ac0sVprr A,, H ^ 2 C0S(v/ — ç^),

/ -^^ 2A sin Vp~ B.- -^^ 2 sin(v/ - ç.)

Ih cosV p—Ap-h R^X cos(a -— Çq),

Ih sinVpt= Bp— RyX sin(a — ç^),

X et a étant deux nombres qu'on peut calculer aisément dans chaque cas. Admettons que les marées observées soient celles qui ont lieu de / = o à

TT l8o°

Faisons une seconde série d'observations de / = ^-^ à / =

L'intervalle moyen entre une pleine et une basse mer est de 6** 21™. A cause

de la petitesse de v, on peut regarder l'intervalle vrai comme se confondant avec cet intervalle moyen. Par suite, les équations analogues à (44)» concernant cette nouvelle série d'observations, s'obtiendront en changeant dans celles-ci,

1 fin

/ en / H , soit v^ en v/ -h i8o, ce qui ne fait que changer les signes des derniers termes. Donc, en appelant S' la somme £ se rapportant à cette série d'observations, on aura

2'AcosVp=: A;,— R^Xcos(a — ç^),

2'A sinVpZziBp-hR^X sin(a — ç^).

On connait, par l'observation, les hauteurs h et les heures des marées, par suite les valeurs de V^. Les quatre équations (44) et (45) fournissent donc les quatre coefficients

A;,, B,„ R^cosç<7=A^, R^sinç^=rB^

relatifs aux deux ondes considérées.

Souvent on a une troisième onde analogue à celle caractérisée par la lettre q et de période très voisine. On devra alors envisager deux autres séries d'observations ayant leurs origines à peu près aux milieux des origines des précédentes,

1» Il c •* j * 90° * * 3x00° ,, . , 3xQo«». 5xûo°

1 une allant, par suite, de^ = ^^— a / = — ^— > 1 autre de — ^- a — ^— > ce qui

donnera quatre nouvelles équations pour déterminer les inconnues. L'exemple suivant éclaircira la méthode.

56. Application aux ondes lunaires. — Considérons l'onde lunaire semidiurne principale M^ et les deux ondes elliptiques correspondantes N et L. Leurs arguments, d'après le Tableau de la page 61 et en négligeant R, sont respectivement

V;, =- 2r„ — 3 /„ H- xsn — V,„ — ( / — Tsy),

On peut écrire pour la hauteur totale des trois ondes

h — A;„ cos V,„ -+- B;;, slo V,„ H- R„ ces [V;„ (,i é) ^ — Ç„)]

-h R„ ros [V,„ -f- (/i — rô) ^ — ï/)],

et il s'agit de déterminer les six constantes A,„, B;„; R^,, Ç^; R^, î^^, en écartant, pour simplifier les écritures, toutes les autres ondes, sauf à examiner finalement l'influence qu'elles peuvent avoir sur le résultat obtenu.

lOO PREMIÈRE SECTION. — TBÉORIE STATIQUE ET PRÉDICTION DES MARÉES. [56]

Par les formules (38) et (4o) en faisant v = — (/i — ci) pour Tonde elliptique majeure et v = -h (/i — m) pour celle mineure, on a

[h cos V,„ — A,« -h R„ cos[(/i — rô) ^ -4- Crt] -h R/ cos[(/i — é)t — Ç,], (4o) <

/ h sinV,„=rB,„ -+- R« sin[(n — cy)^ + î„].— R/ sin[(/i — w)/ — Ç/].

Supposons qu'on observe les pleines et basses mers qui se succèdent depuis l'instant / = o (midi moyen du premier jour des observations). Soit r^ Theure de la première marée qui se présente ainsi, et posons, pour abréger.

Si Ton connaît a et i, on en déduira l^ et Ç/.

Les marées se succèdent à intervalles moyens de 6** 21". Le moyen mouvement anomalistique /i — tè de la Lune est de o®, 54437 à l'heure. Donc Tangle (m —é)t qu'elle décrit dans ce mouvement d'une mer pleine à une mer basse, ou vice versa, est

(48) en- (n — rô) X 6^21"^— o«,54437 -+- 6,21 = 3°,38o7.

Pour la (r-h i )'**"* observation, on aura donc

(n — rô>^-hÇ„=r (/i — è)(/o -^- /' X 6*»2i») -h Ç„ — a -1- re,

et, par suite,

h cosV,„ — A,„ -f- R«cos(a -+- re) -f- R/C0s(6 -f- re), h siu V„, - B„i H- R„ sin(a -+- re) -hR/ sin(6 -{- re),

et, pour la moyenne de n-hi observations, à cause des formules classiques (A) de la page 74 :

sin(Ai -h i)

V AcosV,;, — Am = — R„cos(aH ) -h R/Cos ( b -\ )

(n -i-i)sm -

sm (/i -h i) -

(/i -h j) siii -

Considérons les demi-révolutions anomalistiques qui se succèdent depuis le commencement des observations et donnons-leur les n**' 1, 2, 3

Supposons que les /i -h i marées auxquelles se rapportent les équations (49) soient celles qui se sont produites pendant la demi-révolution n° 1. On a alors.

à très peu près,

{n-hi)e=2 180° =1 (w H- i) 3s38o7,

d'où

c'est-à-dire que le nombre /i -m des pleines et basses mers qui se produisent pendant une demi-révolution anomalistique est moyennement de 53. On aura ainsi approximativement

(/ï -h i)e ==: 180, sin(/2 H- i) - =: 1;

et comme l'angle - = 1*^,6903 est très petit, on aura sensiblement, en exprimant e en arc de la circonférence de rayon i :

(/i-}-i)sin-=^(/n-i)~ = — • 2 22

Donc les dernières équations deviennent, en remplaçant la somme^ par V

pour indiquer qu'elle se rapporte aux pleines et basses mers de la demi-révolution anomalistique n^ 1 :

^/ ^^-^2^^^^^'" — A,„\=rR„cosra-+- ^j-hR/C0s^6-h ^j,

Pour celle n®2, les mêmes équations subsistent en remplaçant dans les expressions (47) de a et i Tinstant t^ de la première pleine ou basse mer qui suit l'origine de la demi-révolution anomalistique n** 1 (prise pour époque) par l'instant analogue /« relatif à la demi-révolution n^ 2, ce qui donne

donc il suffit de remplacer a et b respectivement par a -h 180** et i -h 180**, ce qui ne fait que changer les signes des seconds membres ou ceux des premiers

si l'on préfère conserver les signes des seconds. On aura ainsi, en appelant^

les sommes se rapportant aux pleines et basses mers de la demi-révolution anomalistique, n**2.

I02 PREMIÈRE SECTION. — THÉORIE STATIQUE ET PRÉDICTION DES MARÉES. [56]

En observant ainsi pour les (x demi-révolutions n®* 1, 2, 3, ..., (x, on aura une suite d'équations (oi), (aj), ..., (a^) dont les seconds membres sont identiques entre eux, et dont les premiers, avec les sommes successives V, V, V,

V, . . ., 2» s^^t alternativement précédés des signes -+- et - .

Multiplions les deux groupes extrêmes (a^) et (a^) par i, et les groupes intermédiaires (^a), (fla)» • • •» (^tJi-i) par 2, puis ajoutons les équations de chaque groupe; les seconds membres seront répétés 2([x — i) fois; les constantes A^ etB;„ disparaissent; donc, en divisant le résultat par 2([x— i), posant

et observant enfin que

ne t: e

on aura

R,„ sin (a ) -I-R/ sin (b j =— SAcosV,„,

R;„ cos (a ) — R/ ces (b j =: S A sin V;,,,

OÙ les seconds membres sont connus par l'observation. On a donc ainsi deux équations, entre les quatre constantes R;,,, R/, a, b, deux équations d'autant plus exactes que le nombre [x de demi-révolutions anomalistiques pendant lesquelles on a poursuivi les observations est plus grand.

Supposons à présent que, au lieu d^envisager les pleines ou basses mers qui se succèdent pendant les [x révolutions anomalistiques qui suivent l'époque/ = o, on laisse passer un quart de révolution, et qu'on envisage les pleines et basses mers qui se succèdent à partir de cette nouvelle époque pendant les (x demirévolutions qui suivent. Cela exige simplement que les précédentes observations soient prolongées pendant une durée de un quart de révolution anomalistique.

L'époque se trouve reculée de cette durée, de sorte qu'en vertu de (4?) il suffit de remplacer a et b par a -h 90^ et i -h 90*^; les équations (5o) et (5i), en accentuant les sommes relatives à ce nouveau groupement des observations, deviennent

<^" «'=4(^rT7T<ïrT7,(2:'-»i:'--=^'2:'=^2'

R„C0S (a — - j -hR/COS (b— - j ir:-hS7«C0SV,«,

R„ sin fa^Ç\— R, sin fb-i\=-^ S'A sin V,„.

[57] CHAPITRE IV. — RÉDUCTION DES OBSERVATIONS. I o3

De (5i) et (53) on tire

R„cos/^a— -W i( SAsinV/4-S'/icosV/),

R/ cos fb — -) = - (— S/i sinV, -h &'h cos V/),

R„sin(a— ^jizr—^C SAcosV/-h S'A siaV,),

R/ sin /^6 - îW i (- SAcos V/ -h S7i sin V,).

Ayant R^, R/, a, i on tire de (47) les valeurs deÇ„,Ç/ par la connaissance de riieure de la première marée (haute ou basse) qui a suivi l'époque (midi du premier jour des observations).

On a ainsi les deux ondes elliptiques lunaires semi-diurnes.

57. Onde lunaire principale. — Pour Tonde lunaire principale, les équations (49)» (^i) et (a^) donnent

r(«Vô(2-2;)^«-V'»=B'»'

et, plus généralement, si Ton utilise les observations pendant k révolutions anomalistiques

\ 1 s s ik /

i^FTTTô (2 -2 +2 - • -2) * ^î» v„= «-

On étudie, par les mêmes procédés, successivement Tonde solaire semidiurne Sa et Tonde sidérale Kj; puis les trois ondes diurnes 0, P, K, c'est-à-dire principale lunaire, principale solaire et sidérale. Enfin, Darwin examine Tinfluence des ondes Ma et S^ sur celles diurnes.

Pour le détail des calculs, ainsi que pour les Tables numériques destinées à les faciliter, nous renverrons au Mémoire de Téminent professeur anglais (* ).

(*) O/i the harmonie anafysls, etc. {Proc. of the R. Society-, vol. XLVIII; 1890).

104 PREMIÈRE SECTION. — THÉORIE STATIQUE ET PRÉDICTION DES MARÉES. [58]