DE PRÉVISION DES MARÉES
58. Méthode géDërale pour déterminer les constantes d'un port. — 59. Formules de prévision des marées pour une année. — 60. Calcul de Pargument initial. — 61. Valeurs moyennes des coefficients astronomiques C. — 62. Valeurs moyennes des cosu. — 63. Valeurs des produits Ccosu. — 64. Valeurs des coefficients f. — 65. Tables du major Baird (*). — 66. Sur quelques cas spéciaux : les ondes sidérales. — 67. L'onde lunaire elliptique mineure semi-diurne L. — 68. L'onde analogue diurne M,.
58. Méthode générale pour la détermination des constantes d'un port. — Nous avons vu (n®36) que chaque terme du potentiel développé harmoniquement est
de la forme
Ccos(U-h w),
où U est une fonction linéaire de l'heure sidérale F du port, des longitudes moyennes /et /, de la Lune et du Soleil et des longitudes du périgée lunaire et
du périhélie. Cette fonction est homogène ou renferme la constante rt -, de sorte que
(i) U =:ar -h ^/-f- b^lx-\-j — h ccy-i-CiCy,,
où a, i, i|, c, c, sont des constantes numériques (o, rh r, ±2, ± 3);/ est nul ou égal à ±: I. Quant au terme u^ il est linéaire et homogène par rapport à l'ascension droite N et à la longitude N' du nœud de l'orbite lunaire sur l'équateur, de sorte que
Le coefficient C, qu'on nomme le coefficient astronomiquey dépend de l'excen-
( 1 ) Â la 6n du Chapitre.
[58] CHAPITRE V. — DÉTERMINATION DES CONSTANTES d'uN PORT, ETC. fo5
tricité et de rinclinaison de l'orbite de l'astre considéré. On regarde u comme constant pendant une année et égal h sa valeur au milieu de l'année.
Le terme du potentiel dont il s'agit donne lieu, en vertu du principe de Laplace, à une onde dont la hauteur a une expression de la forme
H'Ccos(U-H« — x),
H' et X étant deux constantes dépendant uniquement du port considéré et ne variant pas avec le temps.
Mais il est plus commode de la représenter sous la forme
(3) H-!^-cos(U-h«— )=/Hcos(U4-w — x),
en posant
Co désignant une grandeur indépendante du temps, choisie uniquement en vue de la commodité des calculs, de sorte que le coefficient H est lui-même indépendant du temps.
Lorsqu'il s'agit d'une onde lunaire, le coefficient C, en négligeant, dans l'onde lunaire principale, fe' devant l'unité, est de la forme (voir les Tableaux du Chapitre III)
c'est-à-dire le produit d'une fonction de l'excentricité de l'orbite lunaire par une fonction de son inclinaison sur l'équateur. L'excentricité peut être regardée comme constante dans le calcul des marées; l'inclinaison I oscille lentement autour de celle e de l'écliptique et cette dernière peut elle-même être regardée ici comme une constante. Il semblerait donc naturel de prendre pour Co la valeur quasi moyenne de C, c'est-à-dire celle qui répond à I = e. On aurait
ainsi
Co= 9(^)^(0
et
Co '^(B)
Pour Tonde solaire correspondante, on aurait
e^ étant l'excentricité de l'orbite solaire; on aurait aussi Co= ?(^i)'|(^)» ^^
sorte que, pour toutes les ondes solaires, on aurai t/= i et, pour les principales
J06 PREMIÈRE SECTION. ~ THÉORIE STATIQUE ET PRÉDICTION DES MARÉES. [58]
ondes lunaires (Tableaux susmentionnés), les valeurs de/ seraient
cos*-I sinicos*- sinisin'-l . ,
(4) Couries périodes » --, , -, ,
^^. I .1 . . , I sinscosc
cos*~£ sinecos-- sincsin'-£
. ,, I sin'l
, , . , sin-I 2
Longues périodes -.—,-? k •
sin c ^ • • I sin'e
Mais Darwin a trouvé plus naturel de prendre
Co ::= C COS // ,
c'est-à-dire le produit de la valeur moyenne C de C par la valeur moyenne cosm de cos u pendant une révolution complète des nœuds de la Lune sur Técliptique, révolution d'une durée d'environ dix-huit ans deux tiers. Pendant ce temps l'excentricité e de l'astre et son inclinaison i sur l'écliptique sont regardées comme constantes.
On représente ainsi la hauteur de l'onde qui correspond au terme
(5) Ccos(U4-w) du potentiel de la Lune par l'expression
(6) /Hcos(U-i-// — x),
OÙ
Gcosw H et X étant deux constantes dépendant du port.
La même règle s'applique si le terme (5) provient du potentiel du Soleil. Mais, en ce cas, on a N = N'= o et, en vertu de (2), m = o. De plus, C peut
être regardé comme constant, en sorte que C = C et, par suite,
Ainsi, avec cette nouvelle convention, les coefficients /se réduisent aussi à l'unité pour les ondes solaires. Mais, pour les ondes lunaires, nous aurons à les calculer et nous verrons que leurs valeurs sont, en fait, voisines de celles (4).
En les supposant connues par leur définition (7), pour trouver les deux constantes H et X d'après l'observation des marées, soit ^ la vitesse de l'argument
[59 J CHAPITRE V. — DÉTERMINATION DES CONSTANTES d'uN PORT, ETC. lO-^
de Tonde considérée. Puisque m est regardé comme constant pendant une année, cette vitesse est celle même de U, soit, d'après (i),
Représentons par
Acosp^4-Bsin(3^
la hauteur de cette onde trouvée, pour Tannée d'observations, par la réduction des courbes du marégraphe ou autrement.
Nous pourrons Técrire sous la forme
(8) AcosP^4-Bsin(3/=iRcos((3^ — X),
en posant
R=v/A»-hU-,
A=: arctang-r-»
de sorte que R et X sont connus.
Les expressions (6) et (8) devant, pendant Tannée d'observations, représenter la même onde, on doit avoir
Comme les deux membres de la première de ces équations ont même partie variable ^/, ils seront identiques pourvu qu'ils aient la même valeur à un instant particulier. Égalons-les pour Tinstant ^ = o, c'est-à-dire à midi moyen du premier jour des observations; soit U^ la valeur de U à cet instant. On aura
d'où
(lo) x = Uo4->4-X,
OÙ U est la valeur de cet angle au milieu de Tannée d'observations. La seconde équation donne ensuite
59. Formules de prévision des marées pour une année. — Une fois les constantes H et x des diverses ondes déterminées» on peut constituer d'avance, pour chaque
lo8 PREMIÈRE SECTION. — THÉORIE STATIQUE ET PRÉDICTION DES MARÉES. [60]
année, des formules numériques de prédiction des marées pareilles à celles qu'a fournies le marégraphe pendant Tannée d'observations. Soit, en effet,
(12) R,cos({3/ — X,)
l'expression, pour une année à considérer, de la hauteur de l'onde à la vitesse p. On devra avoir
i Ri=/tH,
endésignant par/< la valeur de / pour l'année dont il s'agit. La dernière formule donne ainsi directement Rf ou le coefficient de hauteur de l'onde. La précédente étant satisfaite, si elle l'est pour un instant particulier, si nous comptons le temps /depuis midi moyen du premier jour de l'année pour laquelle on fait la formule de prédiction, et qu'on appelle Uf la valeur de (J à cet instant, on aura
i/f étant la valeur de u au milieu de l'année à laquelle se rapportent les formules de prédiction. C'est cette équation qui donne X,.
60. Calcul de rargument initial. — Pour appliquer les règles qui précèdent, il faut savoir calculer : i^ l'argument U 4- 1/ à un instant donné; 2? le coefficient/ qui exige le calcul des coefficients astronomiques relatifs aux ondes lunaires et de leurs moyennes pendant la durée de la révolution des nœuds.
L'argument U + 1/ est linéaire par rapport aux longitudes moyennes /et /« de la Lune et du Soleil, aux longitudes xs et xs^ des périgée et périhélie et enfin à la longitude N' et à l'ascension droite N du nœud ascendant de Torbite lunaire surl'équateur. Ces deux dernières grandeurs, ainsi que l'inclinaison l de l'orbite lunaire, seront exprimées à l'aide de la longitude Q du nœud ascendant de cette orbite sur le plan de Técliptique. Cette longitude, ainsi que celles /, /,, tsr, ts^, se trouvent dans la Connaissance des Temps ou le Nautical Almanach. On les a aussi à l'aide des Tables de la Lune de Hansen, qui donnent
/= i5o«,o4c9 -h (i3«>x36o -4-132°, 679oo)T 4- 13^17641 -H 00,5490165 H, X3 — 240^6322 -h 4o°>69o35T 4- o«, Il i4 J -H o",oo464i8H, (i4) l /,= 280°, 5287 -4- 360S00769T 4- 00,9856 J 4- oo,o4io686H,
GTl — 280°, 8748 4- O", 1 7 1 1 T 4- 0% 000 047 J,
Dans ces formules, T représente le nombre d'années juliennes de 365^,25 écoulées depuis le i^' janvier 1880, J le nombre de jours et H le nombre d'heures complémentaires.
[60] CHAPITRE V. — DÉTERMINATION DES CONSTANTES d'uN PORT, ETC. IO9
Comptons en années de 365 jours et soitd le nombre de quarts de jour ainsi négligés» en ayant égard aux années bissextiles dont est 1880. Les vitesses diurnes de A tzr, /« étant respectivement
i3«,i764, o°,iii4, os 9856,
les vitesses par quart de jour sont
Donc les valeurs de /, gt, /« , à la date J à o^ en un lieu dont la longitude Est relativement à Greenwich est L, sont
I/o— i5o«,o4i9 4- i32*»,679ooT -h 3S294io<i -f- 13«, 1764 J — o*», 54902 L, CT,=: 240^6322 -f- 4o°,69o35T -h o^ 02785(i + c», iii4J --o<»,oo464L, /o,= 280'', 5287 -H o«,oo769T -h 0^24641^ -H 0^9856! — oSo4io7L.
Pour les valeurs qui sont regardées comme constantes pendant l'année et égales à leur valeur du milieu de Tannée, il suffit de remplacer, dans ces formules, T par T 4- ^.
Fig. 4.
Pour trouver l'ascension droite N et la longitude N' du nœud ascendant N de l'orbite lunaire sur l'équateur, considérons (y%. 4) Téquateur yE, l'écliptique yS et l'orbite lunaire NL,
Dans le triangle yN Q , on a
yN = N, yQ = Q, yQ-NQ=N', d'où
(16) cosi =:cos«cosê — sin/sine cos Q,
qui permet de calculer I en fonction de Q . L'inclinaison e de l'écliptique et celle i de l'orbite lunaire peuvent être regardées comme constantes pendant les 18 ans | que dure la révolution du nœud caractérisée par l'angle variable Q. On a actuellement
En posant
tango = lang/cosQ,
I lO
PREMIÈRE SECTION
on trouve
COSl= r ces (6 H- 6),
ces 6 ^ '
qui est calculable par logarithmes.
On a ensuite
sml J8in(N'-Q) = 5i^îl!i^,
pour déterminer N et N'.
On a ainsi tous les éléments nécessaires pour calculer l'argument initial de chaque onde.
61. Valeurs moyennes des coefficients astronomiques C. — Laissant de côté les coefficients constants qui entrent dans les expressions des Tableaux n°* 1 et 2 du Chapitre III (l'excentricité de l'orbite lunaire sera regardée comme constante), les coefficients G à considérer sont
cos*-> sin'I, sinl, cos'-> sinIcos'-> sinicosl. 3 2 a
Ce sont les valeurs moyennes de ces grandeurs pendant une révolution des nœuds, c'est-à-dire pendant que fl varie de o^ à 36o°, qu'il s'agit de calculer. Nous négligerons dans ces calculs le cube de l'inclinaison i.
On a
cosi =:cos£COse— sin/sin£CosQ,
,1 I -hcosecos* — sinesin/cosQ
cos' - = ^
1 4- C0S8 cose — i sme cos Q
et
cos
= cos' 7- cose sine cos Q
♦ - = cos* - H- -7 sm*e cos* Q — cos' - ~ cos e -h t sm e cos Q )
La valeur moyenne de cos Q est nulle; celle de cos^Q est |. Donc en surmontant d'un trait les valeurs moyennes, on aura
4! iS.'/»e ,e ,e\
♦ - = cos* — I — ( sin* - cos' cose cos' - )
cos* - =
[62J CHAPITRE V. DÉTERMINATION DES CONSTANTES d'uN PORT, ETC. I I I
OU
