TC
C0SlC0S2(r„ — Vn) H COS^In
P 1 ^sinlcoslf /« 7r\ /« 7r\l sin 2 9 CCS ( Tn — 2 f>„ H- - ) -t- cos ITn )
Il convient de compter les longitudes depuis le point vernal y.
Soit (Jig. 5) yNQ le triangle formé par Téquateur yN, l'écliptique yQ et
Fig. 5.
Torbite lunaire NQ; soit fl =yQ la longitude du nœud ascendant Q de cette orbite sur Técliptique. Désignons, comme nous l'avons déjà fait, pare Tinclinaison de Técliptique et par i Tinclinaison de l'orbite lunaire sur l'écliptique. On a actuellement
Nous désignerons, comme précédemment, par
l'ascension droite et la longitude du point N; par F l'angle horaire du point vernal et par ^f la longitude vraie delà Lune, comptée dans son orbite depuis le point vernal, de sorte que
Si Ton avait i = o, il en résulterait
I = £, r„ = r, Çn = ^ .
Donc, les différences
sont de Tordre de grandeur de i. Nous pouvons donc, en raison de la petitesse de I, en négliger les carrés, c'est-à-dire les traiter comme des infiniment petits.
Or, si Vo est la valeur de V/ pour i = o, on a, d'après (i),
I cosecosa(r — v) h cosal
-HsinaÔ cos(r— at'-H - j 4-cos(r j •
Par suite,
Or, le triangle yNQ donne
cos I =: C0S6 cos i — sin £ sin i cos Q , ou, approximativement,
cosi =cos£ — /sine cos Q, d'où
(5) I = e-i-icosg2.
D'autre part.
d'où
sinN sin Q sini sinl '
. T^ . . sin Q sinN=: sine . V* j
sinl
soit, approximativement,
(6) N=i^iîi^.
sme
Enfin
sin(Q-NO ^ sinQ ^ sin Q - sin( a - NQ
sine sinl sinl — sine
OU
asm — cosiQ ) . ^
a V^ a/ smQ ^
. ,, . /1 4-e\ sinl ' sm(I — e) COS ( j
soit, approximativement,
N^ cos Q __ sinQ (I — £)cose sine
OU, à cause de (5),
/ \ XT/ «cose . ^
(7) N'=:— ;^ — smQ.
sme
La formule (4), à cause de (5), (6), (7), devient ainsi
V/zn Vo-h«cosQ -^ ,—22. y. cose,
*** oe sme \âT dv J
126 PREMIÈRE SECTION. — THÉORIE STATIQUE ET PRÉDICTION DES MARÉES. [70 J
et, en remplaçant Vo et ses dérivées partielles par leurs expressions tirées de (3), on aura
' •/! r /^ V sin*e -.1
- cos*^ cos6COsa(r— v) h cosaT
H-sin2 ces (r — ai^-h-j-t- cos ( i j
cos'ô
(7) V/=^^< -+-«sin8
j 2 cos£tang - sin2(r — t») -h sinesinsF
P' \ j • ûf (acose — i)cose . /^ ttX cose
^r (acose — i)cose . /i, , '^\ , ^^^e . /^ 7r\l
-h sm20 1^- ^ ^ sin ^r- 2t; + -j ^-^psin \^r— -jj
a *cos Q
COS*0r . /T« X . T»!
[— sine cos 2(1— i') 4- sine cos £ cos a F]
sinaô ' I cos ( F— a c -h - j 4- cos (F j
Gomme e est de même ordre de grandeur que I, nous pouvons encore négliger
-cos-
sin^- dans la première ligne et sin' -cos- dans les termes diurnes; dans les termes multipliés par le petit facteur «, nous pouvons même négliger sin^-> le produit z sin^ - étant plus petit que sin* - cos - •
Nous pourrons écrire ainsi dans le premier et le cinquième terme
dans la deuxième et la cinquième ligne
. fi
sinfi cose = a sin - cos
fi/ ,fi .,fi\ .fi «fi
- ( cos* sin* - ) = a sm - cos* - :
dans le premier terme qui multiplie i cos Q
sin£ = a sin -cos
- I cos' sin*- ) = alang-cos*-:
enfin dans l'avant-dernier terme qui contient le facteur i
cosafi = a cos*e — 1 = cos£(a cose — i) -+- cosfi — 1
= cosfi(acose — i)-— asin*- ^ ' a
acosfi — I
= cose sme ;
sine
, fi . £ a cosfi — I
:^ a cos* - sm . •
a a sine
Par suite, l'expression de V/ devient
-cos*ô cos*-ecos2(r — (^)4- - sin^ecosaT 2 L 2 ' ' 2 J
hsin20 sin-ecos'-£Cos(r — 2i'H — ) 4- -si L 2 2 \ 2/2
cos*0r V ï 4^ fi . /T» \ 2cos*-elang-sin2(r — p)
i sin Q
i cos Q
sine cose CCS sin*e 2
sin 20
cos*0
(2 cose — 1) . e ,
^ ; sm - cos'
sins 2
- 6 sin ( r -— 2 \
2 sine
I sine cose
-H -: sin
sine 2
— 2tang-cos* - cos2(r-- v) h 2 cotecos2r
sin29
2 cose — I . e
: sin - cos
sine 2
-sine cose 2 cot2ecos
•-cosf F — 2^»-»- - jJ
En vertu des valeurs actuelles (2) de e et t, on a
2ilang- =0,0872,
sine
2lC0t2e
o,ii5 57683'
2«C0te=:
.2 cose — I
sine
sme
OÙ le dénominateur o,683 est introduit pour la commodité de calculs subséquents.
71. Potentiel du Soleil en fonction de sa longitude. — Le potentiel du Soleil se déduit immédiatement de la formule (i) ou de celle (8) en y faisant / = o, remplaçant I par £, la longitude v^ de la Lune comptée depuis son nœud N sur Técliptique {fig. 5) par la longitude vraie v^ du Soleil comptée depuis le point vernal et enfin la masse L et la distance p de la Lune par les grandeurs analogues L, et Pi relatives au Soleil; on aura ainsi, au degré d'approximation adopté,
cos'O
cos* -e cos 2 (F — ^1) + -sin'ecos2r
sin 2 b\ sin - ecos' - e cos (F — 2('|H--j-h--sine cose cos (F j ]
128 PREMIÈRE SECTION. — THÉORIE STATIQUE ET PRÉDICTION DES MARÉES. [72]
72. Potentiels réunis de la Lune et du Soleil. — Soient respectivement c et c^ les distances moyennes de la Lune et du Soleil au centre de la Terre. Posons
(II) ^.=' + P' 7t^'^^''
en sorte que P et P^ qui sont en rapports très simples avec les parallaxes des astres, sont de petites quantités dont on peut négliger les carres et produits, ainsi que les produits par Tinclinaison i de Torbite lunaire sur Técliptique. Soient de plus, comme précédemment,
On a, à peu près,
(iaô«) . -l-n=o,683, !l = 0,317.
T -t- T| T -i- Tf
C'est le premier de ces rapports qui a conduit à introduire le dénominateur o,683 dans les valeurs numériques (9).
Soient enfin
K =^a*cos'Ôcos*|e, Ky = |a*cos*9sin*£,
Ko= a* sinaô cos'is sinje, K, — {a* sina 6 sine cose,
en sorte que E, K^, Ko, K, sont des const antes pour un port donné.
Formons à présent le potentiel total V/-h V/^ de la Lune et du Soleil et décomposons-le en quatre parties, en posant
V étant la partie principale ; Vp, Vp^ les parties qui contiennent respectivement les petits facteurs P et P, et qu'on appellera les parties ou corrections parallactiques;yQ celle qui contient les facteurs isin Q et tcos Q et qu'on appellera la
correction nodale (due à la longitude Q du nœud lunaire). En observant qu'on a, à peu près,
T(l4-P)4-T,(l4-Pt) = (T + T,)(i4.^:^p)(i+^^^^
= (T-HTt)(n-o,683P)(n-o,3i7P,),
vq-
on obtient
V =r- tK C0S2(r — f') -h (t 4- T,)K„ COS^r 4- T, K C0S2 (T — i^l)
-+-TKoCOsf r — ai' + - j -+- (T4-T,)K,cosf r j
