TiKoCOs(r-— a('i4- -j

[tK cos2(r — i') -h o,683(t -h T,)K^ cosaT -i-tKo cos (J-'^^-^^ + o,683(t -i- Ti)K, cosCr - ^

(i3) / / p— o,o372TKcos2(r — ç')4-o,283(T-f-Ti)K„cosar

^^^^[-ho,i88TKoCOs(r-2r4-^)4-o,ii5(T4-T,)K,cos('r-^^

[o,o372TKsin2(r — r) 4-o,3o8(t -h Ti)K,, sin2r -o,i88TKoSin(r-2i'-h^Wo,i54(T-hT,)K,sin(r-^^ '

[o,3i7(T-HTi)K„cos2r + r,Kcos2(r— v) -i

+ o,3i7(T+Ti)K,cos^r--^^-hT,KoCos('r-2i',-h^M'

73. Expression de la hauteur du niveau de la mer : partie principale et correction nodale. — Nous admettrons que la marée totale est la superposition de marées partielles qui correspondent aux différents termes du potentiel ci-dessus. Nous considérerons donc aussi la hauteur de la marée comme la somme de quatre parties,

h étant la partie principale, hp la correction parallactique de la Lune, Hq la correction nodale de cet astre, Ap^ la correction parallactique du Soleil. Mais les effets de la variation de la parallaxe du Soleil sont si faibles que nous les négligerons d'abord, sauf à les examiner à la fin. La hauteur de la marée se trouve ainsi réduite à l'expression

h -h hp-\- Aq.

Prenons d'abord la partie principale h; c'est celle qui provient de la partie principale V du potentiel. Nous admettons, suivant le principe de Laplace, que chaque terme du potentiel produit des ondes de même période que lui. Par exemple, le terme semi-diurne lunaire TKcos2(r — t') donnerait lieu, d'après la formule de Fourier, à des ondes ayant pour expression les termes d'une série périodique

H;„ C0S( 2r — 2 (^ — K^) + H„„ C0Sj[4r — 4 ^ — Kï;«) -I- . . . ,

l3o PREMIÈRE SECTION. — THÉORIE STATIQUE ET PRÉDICTION DES MARÉES. [73]

OÙ H^, K;„, Hsm» ^2mj ••• sont dcs constantes dépendant du port, constantes à déterminer par l'observation.

Nous nous bornerons aux deux premiers termes de la série, c'est-à-dire que nous admettrons que le terme en question produit une onde semi-diurne et une onde quart-diurne. Le terme similaire T,Kcos2(r — ^4), relatif au Soleil, produira pareillement une onde semi-diurne et une onde quart-diurne dont les hauteurs seront représentées par les expressions

H,cos2(r — ('| — Kg), H„cos4(r — Vi— K„),

H„ K„ Ha,, K2, étant de nouvelles constantes dépendant du port. Le terme luni-solaire semi-diurne

(t-i-Ti)K^ cos2r

étant moins important, nous ne tiendrons compte que de l'onde semi-diurne qu'il produit. Sa hauteur sera représentée par

H^C0S(2r — Kj,

H, . K„ étant deux nouvelles constantes.

Les trois termes diurne, lunaire, solaire et luni-solaire produisent des ondes principales diurnes, avec des ondes secondaires semi-diurnes qui se confondraient avec les ondes semi-diurnes envisagées plus haut, de sorte que nous n'en tiendrons pas compte.

L'expression définitive de h sera ainsi

Ih^ HmC0S(2r — 2r — K,;,) -+-Hy C0S(2r — K^) -f- H,C0S(2r — 2 T, — K,) -H Ho ces ^ r — 2 f' 4- - ~ Ko W H, COS (r — - 4- K J + Hp COS ( r -— 2 t^l -I- - -- K^ j \ -4~H,;,,C0S(4r — ic'i— Kim) -+- Hî,C0S(4r — 4^',— K„),

avec seize constantes H et k dépendant du port et à déterminer par l'observation des marées dans ce port, pendant un certain temps.

On constituera de même fiQ et hp avec de nouveaux coefficients.

Proposons-nous de déterminer tous les coefficients de façon que le résultat se rapproche le plus possible de ce que donnerait le développement harmonique du potentiel et le développement correspondant des ondes.

Supposons que, dans ce développement, on s'arrête à la première puissance des excentricités e et e^ des astres, de sorte que le potentiel

[73] CHAPITRE VI. — NOUVELLES FORMULES, ETC. l3l

se compose de deux parties, l'une indépendante des excentricités, l'autre

contenant ces excentricités en facteur.

Si nous faisons ^ = ^4 = 0, d'où résultera P = o et, par suite, Vp = o, on aura la première partie, celle V'-h Vq et, comme pour e = e^=o les astres décrivent des orbites circulaires et que, par suite, les longitudes vraies i^ et ç', coïncident avec les longitudes moyennes /et /<, on aura V'-h Vq en remplaçant dans les expressions (i3) de V et Vq, les longitudes vraies ç' et r, par les longitudes moyennes letl^.

Le résultat obtenu sera harmonique si l'on fait abstraction de la très-lente variabilité de Q .

Par exemple, les termes semi-diurnes principaux lunaires seront

tK[(i — 0,0872 cos 8) cos(2r — 2I) 4- 0,0872 sinQ sin(2r — 2/)]. D'après le principe de Laplace, il en résulte une onde de hauteur

Hm[(' — O>o372C0sQ)C0S(2r— 2/ — K,„) -h 0,0872 SÎllQ Sin(2r — 2/ — K;„)],

oii E^t et Kjn sont deux coefficients dépendant uniquement du port.

On les déterminera par l'observation à l'aide des méthodes indiquées au Chapitre précédent.

On aura ainsi pour h le terme

avec les constantes du port connues H,„ et k^ et, pour Hq, le terme

r— C0sQc0S(2r — 2P — K,;,)!

'"L-+- smQsm(2r — 2(> — K,„)J

ai^ec les mêmes constantes.

En procédant de même pour tous les termes de V'-hVq, on reconnaîtra que Hq doit se construire avec les mêmes constantes que la partie principale h et que toutes ces constantes peuvent être regardées comme connues par l'observation.

Toutefois, comme Aq est plus petit que A, on n'y considérera pas de termes quart-diurnes.

l32 PREMIÈRE SECTION. — THÉORIE STATIQUE ET PRÉDICTION DES MARÉES. (73]

On aura ainsi

[O,o372H,rtC0S(2r — 2<' — ll;„) -+- o,283H^cos(2r — K^) T

+ o,i88H,cos('r-a.. + ^-K.)+o,i.5H,cos(r-^+K,)J

— o,o37aH,rtSin(r— 2r — k,„) 4- o,3o8Hy cos(ar — k^)

[ o, 0^572 fi,rt sm(i — ar — k,„} 4- 0,50»*!^ cos(2i — k^} n

- o, 188 Ho sin ^r - 2 f> -4- ^ - Ko) + o, i54 H, sin (r - ~ - ^)\

Il ne reste ainsi à déterminer que les coefficients qui entrent dans hp et qui proviennent de Vp. La hauteur hp sera de la forme

Ir aH;;,cos(2r — 2 1^ — ;„K)H-o,683H^cos(2r — k^) t

^"""^^l ^ (3HoCos^r - 2i>+ ^ - ok) -+- o,683H, cos^r- "^ - Oj'

où aH,^, ;„K, pHo et qK sont quatre nouvelles constantes distinctes de celles similaires H;„, K;„, Ho, Ko qui entrent dans h et dans Aq. Pour les termes sidéraux, en raison de leur importance moindre, on a conservé les coefficients des termes principaux.

Si Ton négligeait complètement les ondes elliptiques, c'est-à-dire si Ton supposait 6 = 6^ = 0; d'où P = G, ç? = /, p, = /,, la hauteur

deviendrait

en désignant ainsi ce que devient A H- Aq quand on y remplace les longitudes vraies ^ et t', par les longitudes moyennes / et /<. Cette expression A' -4- Aq est harmonique et, par la façon dont les coefficients qui y entrent ont été déterminés, elle coïncide avec celle que donne l'analyse harmonique des ondes, abstraction faite des ondes elliptiques.

Donc, avec la formule actuelle de la hauteur de la mer, ces dernières ondes se trouvent représentées par la différence

h-h/iQ-h Ap — (A'-h Aq).

Mais, comme Aq est déjà lui-même un terme de correction, nous pouvons y confondre les longitudes vraies avec les longitudes moyennes, c'est-à-dire négliger la différence Aq— Aq, de sorte que les ondes elliptiques sont représentées par

(a) h — h''\-hp.

[73] CHAPITRE VI. — NOUVELLES FORMULES, ETC. l33

Comme elles sont petites, nous pouvons n'y avoir égard qu'aux termes principaux. Dans les termes quart-diurnes de A, nous pouvons négliger la différence h — N obtenue, en remplaçant les longitudes vraies par les longitudes moyennes; dans les termes sidéraux, cette différence est rigoureusement nulle. Dans les termes solaires elle est également très faible et nous reviendrons à la fin sur les corrections solaires, de sorte que l'expression des ondes elliptiques se réduit en définitive, à savoir :

Pour les ondes semi-diurnes, à

{b) H;„[C0S(2r — 2(^ —Km) — C0S(2r — 2 / — K;„) -4~ PaC0S(2r-— 2P — „,k)];

Pour les ondes diurnes, à

{b') Ho cosfr — 2(^ + 7— Ko) — cosf r — 2/ + -— Ko) 4- PP COS (l — 2 r -h - — qI^ ) L

Il s'agit de déterminer les deux coefficients a et ;„k de manière que l'expression (b) se rapproche le plus possible de celle que donne l'analyse harmonique des ondes pour les ondes elliptiques semi-diurnes, et de déterminer de même les deux coefficients p et qK, de façon que l'expression {b') représente le mieux possible les ondes elliptiques diurnes données par cette même analyse.

Darwin a reconnu empiriquement que les quatre coefficients a, ;„k, p, oK, seuls disponibles, ne permettent d'atteindre ce but d'une façon convenable que si Ton admet que le coefficient de parallaxe P se rapporte, non à l'instant de la pleine ou basse mer que l'on étudie, mais à l'instant du passage au méridien de la Lune, qui précède cette pleine ou basse mer.

Ceci posé, occupons-nous d'abord de déterminer les deux coefficients a et ;„k qui se rapportent à la marée semi-diurne. A ceteff*et, cherchons les ondes elliptiques qui, d'après l'analyse harmonique, proviennent des termes semi-diurnes du potentiel V -h Vp (ceux dus à Vq étant négligés comme contenant les produits de l'excentricité très petite par des coefficients eux-mêmes très petits); puis nous déterminerons celles que donne l'expression (6) et nous chercherons à identifier les deux résultats ou à les rapprocher autant que possible si l'on ne peut les identifier.

Les termes semi-diurnes de l'expression (i3) de V-i-Vp correspondant à ceux de l'expression (6), sont, en laissant de côté le facteur tK qui ne dépend que du port et se fond avec les coefficients de hauteur des ondes,

(l+P)COS2(r — ç').

Les ondes elliptiques correspondantes ont pour expression

(l -hP) C0S(2r— 2(^) — C0S(2r— 2/),

l34 PREMIÈRE SECTION. — THÉORIE STATIQUE ET PRÉDICTION DES MARÉES. [73]

OU, en négligeant e^,

(c) cos(2r — ai') — cos(ar — 2/)-t-Pcos(2r-— a/).

La formule du mouvement elliptique donne

c I -h «COS(p — t;t)

out en négligeant le carré de l'excentricité,

- z=i-\-ecos(v — xn),

-r =1 4- 3eC0S(r — BJ),

d'où

p =z 3«C0S(i' — xs).

D'autre part,

(17) i'zz: / -h aesin(/ — cj),

d'où, en négligeant toujours c^,

(18) P=: 3eC0S(/— CJ).

Par suite, (c) devient au même degré d'approximation,

cos[ar — 2/ — 4^sin(/ — cy)] + 3ecos(/ — tiy)cos2(r — /) — cos(2r— 2/);

soit

e[4sin(2r — 2/) sin(/ — d) -h 3cos(/ — gj) cos(2r — 2/)];

soit

Jecos(ar— 3/-f-BJ)4-f cos(ar— /— cj-htt).

Nous aurions pu déduire ce résultat du développement harmonique du Chapitre III, en négligeant e^. Les deux ondes qui y correspondent sont les deux ondes elliptiques : l'une majeure comme contenant le coefficient ^e; l'autre mineure comme contenant le coefficient plus petit ^e; elles sont désignées respectivement par les lettres N et L au Tableau de la page 6i; leur hauteur totale peut être représentée par l'expression

(19) H^C0S(2r— 3/-I-CJ — K;,) 4- H/C0S(2r — / — CJ+TT — K/),

les constantes H;i, K;,, H/, k^ étant connues par l'observation selon les méthodes du Chapitre IV.

Cherchons les termes correspondants fournis par Texpression (b) :

OÙ

(20) t^m: /+ aesin (/ — Gj).

Quant à P, à l'instant pour lequel on calcule une pleine ou basse mer, sa valeur est

P = 3ecos(/~cj).

Mais nous avons vu que P doit être pris au moment du passage qui précède. On aura donc

(21) P=i3ecos(Z — GJ— Ç),

^ étant Tare l— ts décrit depuis l'instant du passage au méridien de la Lune jusqu'à celui de la pleine ou basse mer qu'on veut étudier. Si t est l'intervalle de temps écoulé entre ces deux instants, on aura

Ç = (n — gj)t.

Mais si, pour le calcul dont il s'agit ici, on réduit h à son terme principal

l'instant d'une pleine mer a lieu pour

aT — 2i' — K,„ — o,

soit

L'heure du passage, si l'on néglige l'obliquité de Torbite, a lieu pour

Donc, -^ est à peu près le retard en arc décrit par la Lune, de la marée sur

le passage de l'astre. La vitesse de l'astre étant o — r ou à peu près co — /i, le retard en temps est

2 ( ûi) — /^ )

et, par suite,

S'il s'agit d'une basse mer, on voit aisément que k^ doit être remplacé par Km — T^f ce qui donne

(23) n^éK,n-T:

l36 PREMIÈRE SECTION. — THÉORIE STATIQUE ET PRÉDICTION DES MARÉES. [73]

On prendra donc pour C> la première ou la seconde de ces valeurs» suivant qu'on étudiera les pleines ou les basses mers. En portant les valeurs (20) et (21) dans l'expression (fej), elle deviendra

^B.me sin(2r-- 2/— K;„)sin(/ — Gj) -h 3aeH,„cos(/ — Gj — Ç) cos(2r — 2/— «k), soit

2 C0S(2r — 3/-H-GJ — K/„) 2C0S(2r— / — GJ — K;„-+-7r)

-H f a cos ( 2r — 3 / -f- GJ — ,„K -h Ç)