MARÉES DANS UN CANAL DE FAIBLE LARGEUR

88. Objet de ce Chapitre. — 89. La première équation du mouvement varié dans un canal. — 90. Autre forme de cette équation. — 91. L'équation de continuité. — 92. Remarque au sujet de l'influence du mouvement de la Terre. — 93. Rivière de section rectangulaire constante. — 94. Canal horizontal de section rectangulaire constante ou variable. — 95. Canal tracé suivant un grand ou un petit cercle de la Terre et soumis à un potentiel perturbateur. — 96. Expression du potentiel d'un astre rapporté à un pôle quelconque. — 97. Application à l'étude de la marée produite dans un canal circulaire quelconque par un astre se mouvant dans Téquateur. —

98. Application à la marée produite par un astre quelconque dans un canal tracé suivant un grand cercle. —

99. Sur le signe de la hauteur A de la marée. — 100. Influence du déplacement propre de Tastre. — 101. Influence du frottement.

88. Objet de ce Chapitre. — La théorie dynamique des marées de Laplace qui sera exposée dans la seconde Partie de cet Ouvrage conduit à des équations aux dérivées partielles dont l'étude présente, dans la plupart des cas, d'insurmontables difficultés. Il est naturellement beaucoup plus aisé de discuter l'action d'un astre sur un canal étroit supposé tracé suivant un grand ou un petit cercle de la Terre. Nous verrons que, dans ce cas, le mouvement de la Terre n'intervient pas, ce qui diminue considérablement la difficulté du problème et permet de lui appliquer les équations habituelles de l'Hydraulique. C'est au fond ce qu'a fait Airy dans VEncyclopœdia metropolitana, et son œuvre est d'un haut

(') Airy, Tides and fVaves {Encyclopœdla metropolitana), — Hatt, Notions sur le phénomène des marées. Imprimerie Nationale (i885).

intérêt par la simplicité relative des problèmes qu'il y pose et l'habileté avec laquelle il en conduit jusqu'au bout la discussion.

M. Hatt s'est inspiré de la même pensée qu'Airy. Mais il s'est borné aux cas de canaux méridiens ou parallèles à l'équateur, et ces cas sont un peu trop particuliers pour que l'on puisse concevoir l'espérance d'y rencontrer tous les éléments essentiels de la question.

89. La première équation du mouvement varié dans un canal. — Considérons un canal assez étroit pour que tous les mouvements qui s'y produisent puissent être regardés comme sensiblement parallèles aux rives du canal ou parallèles à une section verticale et longitudinale moyenne entre ces rives si celles-ci ne sont pas exactement parallèles, de sorte qu'il suffise d'étudier ce qui se passe dans cette section. Nous appellerons (F) la ligne ï\\e{Jîg. 6) qu'elle détermine sur le

Fig. 6.

fond du canal, ligne supposée droite ou très légèrement courbe et partout horizontale ou de très faible inclinaison; (Sq) la ligne également fixe qu'elle détermine à la surface du canal, lorsque l'eau est soit en équilibre, soit en mouvement permanent sous les seules actions de la gravité et du frottement; (S) la ligne de surface mobile qu'elle détermine lorsque le canal est en mouvement non permanent, soit par suite de l'action des astres, soit pour toute autre cause.

Nous allons étudier ce mouvement en admettant que, sur une même normale AB à la ligne du fond, les déplacements longitudinaux sont sensiblement les mêmes. 11 suffit donc d'étudier le déplacement du point B placé à la surface.

Or l'Hydrostatique nous enseigne que, dans un fluide en équilibre, la surface libre est une surface de niveau, c'est-à-dire une surface normale en chaque point B, à la résultante des forces directement appliquées à ce point.

En vertu du principe de d'Alembert, la même proposition s'applique au mouvement, pourvu qu'on adjoigne à ces forces la force d'inertie du point considéré.

La somme algébrique des projections de l'ensemble de ces forces sur la tangente à la surface au point considéré est donc nulle.

Soient y, la projection de l'accélération du point considéré B; tw sa masse, en sorte que — mjt est la projection de sa force d'inertie.