CHAPITRE VII. — MARÉES DANS UN CANAL DE FAIBLE LARGEUR

Les forces directement appliquées que nous envisageons sont :

I** L'attraction (les astres;

2** La gravité g;

3*^ Dans certains cas, le frottement.

i^ Caractérisons la section AB par l'arc de longueur x' compté sur la ligne du fond depuis une origine fixe 0.

Soit y le potentiel de l'attraction des astres, regardé comme sensiblement le même en tous les points de la section, en sorte que V est une fonction de la seule coordonnée x' et du temps.

Les mouvements de la ligne S sont supposés petits relativement à la profondeur du canal. 11 s'ensuit que la composante de l'attraction des astres suivant la tangente à cette ligne au point B peut être confondue avec celle suivant la

tangente à la ligne du fond en A. Elle aura ainsi pour expression f^-^r

2^ La composante de la gravité est — m^sinl,, en appelant f, l'inclinaison de la tangente BB' à la surface libre, dirigée dans le sens croissant de x' et comptée positivement au-dessus de l'horizon.

Ici nous ne pourrions pas confondre avec la composante ^sinl suivant la ligne du fond; car l'inclinaison I^ à la surface et celle I au fond étant très petites l'une

et l'autre, le rapport ^^.^", peut avoir une grandeur très différente de l'unitéé

Si l'on fait abstraction du frottement, l'équation du mouvement que nous cherchons est donc

— mji H- m ^— , — mg sinl,=: o,

soit

3^ Nous admettons que l'accélérationy, est sensiblement la même pour tous les points de la section AB. Elle peut donc aussi être regardée comme représentant à peu près la valeur moyenne de l'accélération dans cette section.

Si l'on veut tenir compte du frottement, il faut ajouter au second membre de (a) l'accélération moyenne qu'il détermine dans la section. Or les frottements des filets liquides les uns sur les autres donnent une somme nulle, en vertu du principe de Faction et de la réaction. La somme des frottements dans une section se réduit donc au frottement sur la paroi du canal. Soit F ce frottement par unité de surface mouillée, et soit -^ le périmètre mouillé de la section AB. Considérons la section infiniment voisine A'B', distante de d'une longueur x' -^dx'. La surface mouillée répondant à la portion ABA'B' du canal

l8o SECONDE SECTION. — THÉORIE DYNAMIQUE DES MARÉES, ETC. [89]

est /^ dx' ; le frottement correspondant est F/^ dx' . La masse du liquide ABA'B' est -ûdx\ en appelant û la section AB du canal et II le poids spécifique de l'eau. L'accélération moyenne due à la force ¥y[^dx' est donc

et, comme elle est dirigée en sens inverse du mouvement, l'équation (a), en ayant égard au frottement, devient

Soit, d'autre part, yf l'ordonnée du point A du fond du canal comptée à partir d'une horizontale inférieure; cette ordonnée est une fonction de la seule variable x'; soit enfin z la profondeur du canal en A et à l'instant /, de sorte que z est une fonction des deux variables indépendantes t et x\ et l'on a sensiblement

en appelant I l'inclinaison du fond comptée positivement au-dessus de l'horizon, de sorte que I est positif ou négatif, suivant qu'en remontant le fond du canal, on chemine ou non dans le sens des x' positifs. Ce que nous appelons ici I est généralement désigné par — I dans l'étude des eaux courantes.

Admettons que le frottement F par unité de surface mouillée soit proportionnel à la /i'*"* puissance de la vitesse m, de sorte que

/o étant un coefficient dépendant de la nature du fond. L'équation (b) devient

en posant, pour abréger,

(e) J jjQ

Dans cette équation, il faut prendre le signe supérieur : i« Si n est impair, toujours;

[91] CHAPITRE Vil. — MARÉES DANS UN CANAL DE FAIBLE LARGEUR. ï8l

2® Si n est pair, seulement pour i/ >o, c'est-à-dire si le mouvement a lieu dans le sens croissant de x\

Pour w < o (mouvement dans le sens décroissant de x'), on prendra, quand n est pair, le signe inférieur. Cela résulte de ce que le frottement doit être opposé au sens du mouvement, sens caractérisé par le signe de w, de sorte que le dernier terme- de l'équation {d) doit toujours être de signe contraire à u.

90. Autre forme de cette équation. — Pour transformer l'équation {d) en une équation à dérivées partielles, caractérisons une section par l'abscisse x et la profondeur d'eau y correspondantes à un instant particulier pris pour origine du temps; son abscisse â?' et sa profondeur d'eau z à l'instant / seront donc fonctions des deux variables indépendantes t et x. Ce sont ces deux fonctions qu'il s'agit de déterminer.

Pour suivre, dans leur mouvement, les particules matérielles d'une section caractérisée par son abscisse initiale x, il suffit de laisser cette grandeur fixe et de ne faire varier que le temps. Il résulte de là que

L'équation {d) devient ainsi

dx'

et, en la multipliant par -r-»

,,, \d^x' .(dx'Y .-\dx'

àx

qui est l'une des deux équations à dérivées partielles entre les deux inconnues x' et z,

91. L*équation de continuité. — L'incompressibilité du liquide en fournit une autre.

A cet effet, û étant la section mouillée ÂB, soit Ûq ce qu'était cette section à l'instant initial.

Le volume d'eau compris, à l'instant initial, entre cette section et une section infiniment voisine d'abscisse a? + ^ est

A l'instant /, les abscisses de ces deux sections sont respectivement x' et

]8a SECONDE SECTION. THÉORIE DYNAMIQUE DES MARÉES, ETC. [93]

a;'-t- -i-doo. Le volume d'eau qu'elles comprennent est, par suite,

dx' dx

et comme ce volume reste invariable, on a

âx^ dx

soit

Û -5-7 dx •=. Ûq dx.

92. Remarque au sujet de rinfluence du mouTement de la Terre. — Nous avons fait abstraction, dans ce qui précède, du mouvement de la Terre. Mais les deux équations du problème subsistent lorsqu'on en tient compte. Cela est évident pour la dernière. Car Fexpression de l'invariabilité du volume d'un fluide est indépendante du choix des axes coordonnés auxquels on le rapporte. Elle est donc la même, qu'on le rapporte à des axes fixes ou mobiles.

Quant à l'équation (I), si les axes sont mobiles, on peut les regarder comme fixes à la condition d'adjoindre aux forces qui sollicitent chaque particule du fluide les forces apparentes dues à leur mouvement. Ces forces sont ici :

I® La force centrifuge due à la rotation diurne de la Terre; 2^ Celle due à sa translation sous l'action des astres; 3® La force centrifuge composée.

La première est comprise dans la gravité g^ laquelle est la résultante de l'attraction terrestre et de la force centrifuge.

La deuxième est comprise dans l'expression du potentiel Vdes astres (n®4).

La troisième est, comme on sait, perpendiculaire à la vitesse relative du point sur lequel elle agit; et, comme l'équation (I) représente la projection du mouvement sur une direction peu éloignée de celle de cette vitesse relative, on peut négliger la projection de la force centrifuge composée.

93. Rivière de section rectangulaire constante. — Supposons une rivière de section constante. Il est inutile de la supposer soumise à l'action des astres, en sorte que V= o. En régime permanent, sa vitesse et sa profondeur sont uniformes, et l'équation (I) devient

dx'

qui donne la vitesse -j-y de régime uniforme.

[93] CHAPITRE VII. — MARÉES DANS UN CANAL DE FAIBLE LARGEUR. l83

Puisque la somme de ces deux termes est nulle à l'état permanent, elle doit être petite pendant les mouvements oscillants autour de ce régime, de sorte que, pour de tels mouvements, l'équation (I) devient à peu près

d^x' dx' dz

D'ailleurs, la section étant rectangulaire, si nous prenons comme état initial l'instant où le régime uniforme commence à être troublé, on aura

b étant la largeur supposée constante, d'où, en vertu de (II), (A) ' '

y dx' dx

et, par suite,

d^x' 'dx^

^^^ dC^ "^'^ /âx[y'

\dx)

Cette équation étant intégrée, la précédente donne la profondeur z à chaque instant et dans chaque section.

Supposons que nous étudiions un fleuve près de son embouchure; que nous prenions l'embouchure comme origine des coordonnées et, par suite, les x positifs dirigés vers l'amont. Soit, en valeur absolue, Uo la vitesse nécessairement négative de régime uniforme, de sorte que pour ce régime on a

x':=.x — Uo^, 2 = y.

Soient

les valeurs de ces grandeurs pendant le régime varié, en sorte que $ et A seront d'ordinaire de petites quantités, puisqu'elles représentent l'écart entre le régime permanent et le régime oscillant. Les équations ci-dessus deviendront

/ X à^i àx