J CHAPITRE VII. — MARÉES DANS UN CANAL DE FAIBLE LARGEUR

sorte qu'en vertu de (e)

" Uz'

Mais, à cause de la petitesse du terme relatif au frottement, on peut l'empla-* cer^ par sa valeur moyenne y, ce qui donne pour/ la valeur constante

On a ici

^ = bz,

si b est la largeur du canal au point d'abscisse x\ en sorte que b est une fonction donnée de cette variable. On a

en appelant 6» ce que devient b quand on y remplace la lettre x' par celle x; d'où, pour l'équation de continuité (II),

(I) bz-^=boy.

Éliminant z entre cette équation et celle (o), on aura

bo

fd^x' .dx'\dx'

^dx'

ôx d\ ^^ dx -^ âx'

équation à dérivées partielles du second ordre qui donne x\ L'équation (i) donne alors sans nouvelle intégration la profondeur z. Dans la dernière équation on observera que b est une fonction donnée de l'inconnue x\ et b^ la même fonction de la variable indépendante x.

Soient

(3) x'=x~hi,, z = y-^h,

eh sorte que ^ est le déplacement horizontal dans une section, et A la hauteur positive ou négative dont le niveau s'est élevé. On aura

(4) { \dt^ ^-^ dt) y ^ dx) ^ ^y dx "- ôx

l86 SECONDE SECTION. — THÉORIE DYNAMIQUE DES MARÉES, ETC. [95]

A une première approximation, c*est-à-dire en négligeant le carré de Ç et de

^> on aura ox

d'où

( àl\~\ \ dx '') \ dxj — b^ dx '

I db,l

(ibis) {àt^'^-^ât ^^ dx ~ dx'

Supposons la largeur b constante, les équations (4) deviennent

d^ .d| dx* I dV

dt- '^■' dt ^y ( , , <??\*~ . . àl àx (5) I

\ dx) dx

di dx

et, à une première approximation,

(^) F^-^-^dt-^ydF- = d^'

Supposons le potentiel V développé en série trigonométrique. 11 suffit d'intégrer Téquation (6) pour chaque terme de la série et de sommer les résultats. Soit donc

(8) -T— =iHsin(i7 — mx)^

H, r\ m étant trois constantes données. On aura à intégrer Téquation

(9) ^' -+-/j5 -gy ^,:^nsin(U-mx).

Observons en terminant que, dans les formules de première approximation {[\his), (6), (7), on peut, en vertu de (3), confondre x avec x\ c'està-dire admettre que a: est l'abscisse actuelle d'une section du canal, au lieu d'être l'abscisse de sa position initiale. Inversement, dans la formule (^) de la page 1 80,

on peut regarder le rayon moyen - comme se rapportant à la section dans sa

position initiale, de sorte que /est sensiblement constant.