J CHAPITRE VII. — MARÉES DANS UN CANAL DE FAIBLE LARGEUR

95. Canal tracé suivant un grand ou un petit cercle de la Terre et soumis à un potentiel perturbateur. — Soit {^fig^ 7) P le pôle nord. Supposons que le canal considéré soit un petit cercle quelconque K'K de pôle /?, tracé à la surface de la Terre. Définissons-le par sa distance 6 au grand cercle de pôle /?, soit

Fig. 7.

par le complément de sa distance polaire Ky? et définissons un de ses points

ou une de ses sections transversales A par son azimut K/^A = $ comptée à partir du méridien K'P/?K.

Il résulte de là que, si le rayon de la Terre est pris pour unité, l'arc x = KA compté sur le canal, depuis ce méridien, est

Ceci posé, quel que soit le canal, en vertu du principe de Laplace, il suffit de chercher une solution périodique comme la force ^> c'est-à-dire ayant la

période -r- relativement au temps.

D'autre part, puisqu'il s'agit d'un petit cercle, si l'angle O croit de 21:, on retrouve le même point du canal; on doit donc retrouver le même déplacement. Donc \ doit avoir relativement à $ la période 2ir et par suite, relativement à x^ la période 2ir cos0. Mais la force donnée doit elle-même avoir cette période. Donc nous sommes amené à chercher une solution périodique comme sin(à — mx)^ à la fois relativement à / et à a;, c'est-à-dire une solution de la forme

A et B étant deux constantes.

En substituant dans (9), on voit que ces deux constantes sont déterminées par les équations

(— 4*-f-^y/n*)B -+-/t Ai=o,

l88 SECONDE SECTION. — THÉORIE DYNAMIQUE DES MARÉES, ETC. [95]

-H(t-»-^ym') „ - H/i

et

('o) ^ = (7î g..,nty.^nii [{i*- gym*)s\n(U— mx) + /<c08(t/— w^)].

On en déduit ou

(II) h = ^^^~ Jy^ft-t [{î'—gym*) cos(t< - mj?) — /t8in(tf - mx)].

Si l'on néglige le frottement, il vient simplement

, — Hym , . ,

Si Ton néglige le carré du frottement

A=: ■:; '- — ; I cos(i/ — mx) — tz — "^ ■ , sm(<f— mx) I

r — ©y* L r^gym^ J

(il ^er) ^ OU, au même degré d'approximation,

-Hym r./ / \ 1

/i=: TT '- — =cos qZ-f- -Ti — r ) — m J? ,

c'est-à-dire qu'on tient compte du frottement en calculant la hauteur h de la marée comme si le frottement n'existait pas, mais pour la position qu'a l'astre non

à l'instant / auquel se rapporte A, mais à l'instant t-h .^^ — 5- Cet instant

dépend de i. Il varie donc pour chaque onde. Airy, comme nous le verrons, a trouvé un théorème plus curieux, mais qui s'explique jusqu'à un certain point par la remarque précédente.

Observons que si la force agissante, au lieu de l'expression (8), avait celle-ci

(8 his) y: =H'sin(t7 — mx) h- K'cos(i^ — mx),

la solution serait la même. On pourrait, en effet, la mettre sous la forme

(la) ^ = Hsin(fY — ma? — fx),