CHAPITRE VU. — MARÉES DANS UN CANAL DE FAIBLE LARGEUR
OÙ H et [X, déduits de H', K', varieraient d'un terme à l'autre du potentiel V c'est-à-dire avec i et m. Les expressions correspondantes de A et $ seraient
(i3) h = ^-.^J J,^^j^., [(î' — gym^) cof>{it ^mx^ix) ^fi %\Xi{it - mx - fx)],
(i4) l = ^it^ ^^tY-\-ni^ [(/'— ^y/n')sin (i^— mx - fx) -h/i cos(<Y - mx - fx)].
Et si -T- se compose d'une somme de termes tels que (S bis), A et ^ se composeront d'une somme correspondante de termes donnés par (i 3) et (i4)- H suffit donc toujours de supposer au potentiel V ou à la force j- un seul terme de la forme (8).
96. Expression du potentiel d'un astre rapporté à un pôle quelconque. — Pour appliquer ces résultats à l'action d'un astre, nous rappellerons que le potentiel d'un astre relativement à un point A de l'Océan en fonction de sa distance zénithale Z à ce point, en prenant le rayon a de la Terre pour unité de longueur est (n® 4)
V=|li(cos.Z-i);
OU
(i5) dV i dy 3L (^cos'Z
<^d? "" cosO d^ ~" 2p* cose d^
Il s'agit de calculer cosZ en fonction des coordonnées actuelles 0, O relatives
au pôle p du canal considéré. Soient toujours (^g. 8) P le pôle Nord de la Terre et P/?K le premier méridien du système des coordonnées polaires 0, $.
Soit L la Lune définie par son ascension droite a et sa déclinaison S.
On a donc
PL = 2 - (î.
•.D'ailleurs, si a^ = />PL est son angle horaire relativement au méridien P/?,
on aura
ap=:/? PL = 0)^-1- 9/,— a,
<p^ étant la longitude Est du point p relativement à Paris, et / Fheure sidérale de Paris. On peut écrire plus simplement
<Xp^=pyL =: û)/ — a,
en appelant t l'heure sidérale au point p.
Nous pouvons ainsi regarder l'astre comme défini par sa déclinaison o et son angle horaire a^.
Soit A le point du canal défini par ses coordonnées 6 et $, de sorte que
Ay>=!E e, Apk=<t^.
Sur \9ijig. 8, l'astre est censé à l'Ouest, et le point A à l'Est du méridien Pp,
afin que les angles a^ et$ soient positifs et respectivement égaux à/? PL etApK. On a d'ailleurs LA = Z. Le triangle ALp donne, par suite,
cosZ = sinO cos/?L -4- cosO sin/?L cos A/?L
cosZ = sinO cospL + cos0 siny^^L cos(^ -f- L/?K)
OU
cosZ = siDOcos/?L — cosOsin/?Lcos(L/>P — *) OU enfin
(a) cosZ = sinO cosy>L — cosO cos^ sin/?L cosL/?P — cos8 sin* sïnpL sinL/>P.
D'autre part, le triangle L/?P, en appelant /? la colatitude P/? du pôle/?, donne
((3) cosy^L = sinôcos)9-h cos(îsin/>cosa;„
(y) sinjE?LsinL/?P = sin<XpCOsd.
Puis
d'où
sinâ = cosp cos/>L -h sin/? sinjoL cosLpP;
sin/?L cosL/?P = -: — (sind — cosp cospL),
Soit, à cause de (^),
(ô) sin/?LcosL/?P = sin(îsin/> — cosdcos^cosap,
[97] CHAPITRE Vil. MARÉES DANS UN CANAL DE FAIBLE LARGEUR. I9I
qu'on aurait pu écrire directement. Par suite de (P), (y), (8), la formule (a) devient
i cosZ = (cos/? sinB — sin/> cosO cos<I>) sind
* (sin/?sinO-f- cos/>cosOcos*)cos3cosap— cos0sin*cosdsînap.
97. Application à Tétude de la marée produite, dans un canal circulaire quelconque, par un astre se mouvant dans Téquateur. — Examinons d'abord le cas d'un astre se mouvant dans i'équateur, de sorte que S = o et
(i6 bis) cosZ = (sin/?sin0-+- cos/?cosOcos^)cosap— cosOsin^sinocp;
soit
(17) cosZ= sin/>sin0cosa;,-hcos0 cos' - cos(ap-i- *) — sin*~cos(ap— ^) .
Dans l'expression de cos*Z, nous pouvons laisser de côté les termes indépen-
dants de $ comme n'entrant pas dans l'expression (i5)de j-- Nous laisserons de
côté aussi les termes indépendants de a^ comme n'influant que sur le niveau moyen de la mer. Les termes restants de cos^Z sont
cosOsinOsîn/) cos*-cos(2ap-h ^) — sin' — cos(2ap— ^) -+- cos*0 cos* — cos(2ap-+- 2*) -4- sin*— cos(2ap— 2*) ;
d'on, par l'équation (i5),
= — l |sin/>sinO — cos*~sin(2ap-f- <I>) — sin» — sin(2ap— *)
— cos*-sin(2ap-+- 2*) -h sin*^sin(2ap— 2^) |.
Si nous négligeons d'abord le frottement, nous aurons à appliquer, pour calculer A, la seconde formule (1 i6w). L'angle a^ est sensiblement linéaire par rapport au temps /, et le coefficient de / y est o) — ai = o)', o) étant la rotation diurne et n
le moyen mouvement de l'astre. Donc, dans les quatre termes de^> on a à faire i = 2(0'. Dans les deux premiers, a cause de $ = -^^» on devra faire respectivement m = zp — --; dans les deux derniers, m — zr: — ^ .
'^ COS0 ^^ cosH
On aura ainsi quatre ondes semi-diurnes. Les deux premières donnent
, . - 3Ly cos0sin0cos/? V ,p , ^, . . « , ^T
(19) /«— ~-f , it^^^tek ^ — c<>s -<^<>s(2apH-4>)-f-sin'^cos(2ap— *) .
Le crochet vaut
— cosp cos^ cos2ap -+- sinsa^ sin4»;
d'où, par la règle de superposition des ondes de mêmes périodes,
/ X 1. 3Ly sinOcosBsin/? / — r rx r-r-=:
(ao) n = — i — — — ^ ^vcos»/?cos*4^-+-sin*<I>cos(aap— vL).
où
, lang^
tangO/ z= —
^ cos^
Cette onde est ce qu'Airy appelle la première onde semi-diurne. A un instant donné, elle passe dans le canal entier par toutes les phases, puisque, quand $ varie deçà 211, il en est de même de ^. Cette onde disparait pour p = o, c'est-
à-dire si le canal est un parallèle, et pour = -> c'est-à-dire si le canal est un
grand cercle quelconque du globe terrestre.
Les deux derniers termes de 3— donnent
(21) h=— , ., ,^ *r. : cos*i- cos(2a„4-2<&) -h sm*^cos(2a„ — 2<^) .
Le crochet vaut
I -^ cos*/> ^ ' ex ' '- cos a % cos loip— cosp si n a 9 sin a a^ ;
d'où
/ V . — SLvros*^ //i-hco^*p\' - - • . . ^ /
("") '^ = 47R^oW--"77)V i 2 ; cos«a^ + cosVsm«a4.cos(i«,-x),
en posant
2 cos/? -
langY = V- langa®.
^^ i + cos'/> ®
C'est ce qu'Airy appelle la deuxième onde semi-diurne. Elle se distingue surtout de la première en ce que, à un instant donné, elle passe par toutes les phases sur chaque moitié du canal, puisque, si l'angle $ varie de o à tc, l'angle y^ varie de o à 211.
La première et la deuxième onde semi-diurne se superposent d'ailleurs, de manière à former une onde semi-diurne unique de la forme
h =:Mcos(aap — ^) -^ M' cos(aay, — x) — ^ cos{2(Xp — œ).
On a donc l'apparence d'une seule onde semi-diurne plus complexe dans ses allures que chacune des quatre ondes simples dont elle est formée.
[98] CHAPITRE Vil. — MARÉES DxVNS UN CANAL DE FAIBLE LARGEUR. igS
Il n'y a pas d'onde diurne, ce qui tient à ce que nous avons supposé la déclinaison de l'astre nulle.
98. Application à la marée produite par un astre quelconque dans un canal tracé suivant un grand cercle. — Tenons compte k présent de celte déclinaison; mais, pour ne pas trop compliquer les calculs, supposons que le canal soit un grand cercle de la sphère terrestre, ce qui donne = o. La formule (i 6) devient, par suite,
cosZ =:— sin/?cos^sinô -f- (cos/?cos^cosap — sîn^sin ap) cosô. Soit
cosZ = — sin/?cos^sinô-h cosô cos* — cos ( «y, + *) — sin' — cos(ap — ^) .
En élevant au carré et laissant de côté, comme plus haut, les termes indépendants de oLp et ceux indépendants de O, on aura
*Z = — sin/?sinôcosô cos*~cos(ap-f- 2*) — sin* — cos(ap— 2<b)
cos
cosM
cos*~cos(2ap-+- 2^) -i-sin* — cos(2ap— 2 4>) ;
d'où, à cause de (i5).
"S— = -j^ = — 3- I sin/?sinôcosô cos* --sin(ap-i- 2^) -\- sin* -sin(ap— 2(p)
— cos*î-sin(2ap4-2*) -h sin* — sm(2ap— 2^) .
Il en résulte, par la formule (ii bis), deux ondes diurnes et deux ondes semidiurnes. Les premières ont pour expression
/ /v # 6Ly sinosinôcosâ r ,p , ,^ . . « , ^1
(24) h^ p»(^/r 4^y) [cos*fcos(ap-i-2<l>)-sm«^cos(ap-2a>)J.
Le crochet vaut
cos/? cos 2^ cos «p— sin2^sinap;
d'où
, .... , 6Ly sinosinôcosâ , — — -; . , ^
(24 bis) h — — Y7— 7? — 7 ï^ — V cos »p cos' 2 <l> -h sin* 2 ^ cos ( a „ — d» ),
OÙ
lang2<D
tang4/ — — '-
cosp
Cette onde diurne a les caractères suivants : à un instant donné, elle passe par toutes les phases sur chaque moitié du canal; elle s'annule quand Tastre passe
àTéquateur; elle change de signe avec la déclinaison de l'astre; elle n'existe pas pour un canal équatorial {p = o).
Pour un canal méridien f ^ = - j, on a
- 6Lysindcosi . . ,
A — irSi — > : sin2^sina«,
c'est-à-dire que l'onde devient stationnaire . Les maxima et ininima de h se produisent partout en même temps. La vitesse de propagation de la marée est infinie. C'est un clapotis, non une onde se propageant. Les deux ondes semi-diurnes ont pour expression
(2o) /i= — . -/,- cos*- cos(2a„ -f- aQ)-+- sm*- cos(2ap — 2*) .
^ ' 4p(w — ^yL a ^ '^ ' a "^ '^ 'j
Le crochet vaut
£1 cosaQ cosaocp— cos/^sinaVsinaoe^,
d'où
, 3Lycos'»3 ^ //i-hcosV\* .a • • • a / s
h— ^ , -/,- 4/ ( cos'a<p -hcosVsm'a<Pcos(2ap — y),
. gs , 4p»(w'»-^yV\ a ; ^ V /» /.;,
acosptanga^
tangy = r — >
^^ iH-cosV
onde proportionnelle à cos'$ et passant, à un instant donné, par toutes les phases sur chaque moitié du canal. Pour un canal équatorial {p = o),
, SLycos'd , -^
A — — , .. ^- r cos(aap -h 2^),
qui se propage uniformément.
Pour un canal méridien lp = -\
, SLycosM .
/j — — o ,, *,, r cosa<Pcosa«/?.
Comme l'onde diurne, celle-ci devient stationnaire.
99. Sur le signe de la hauteur h de la marée. — Le signe de h dépend de celui de (o'^—^Y»^^s®'^s*'^'^°^®"'d®^*"~é'Y»^^^®^ ~ Y^ïn ""Y* Laprofon-
[100] CHAPITRE VII. — MARÉES DANS UN CANAL DE FAIBLE LARGEUR. igS
deur de la mer y est, en général, très inférieure à ^ du rayon terrestre ou à 26*"° environ ; de sorte que co'^ — g^ est généralement positif.
100. Influence du déplacement propre de Tastre. — Nous avons, dans ce qui précède, fait abstraction du déplacement propre de Tastre, ou du moins nous n'avons tenu compte que partiellement de son moyen mouvement en remplaçant la rotation diurne absolue w par celle (o'= co — /i relativement à l'astre. Examinons de plus près l'influence de ce déplacement. *
En désignant, comme précédemment {fig. 9), par N le nœud de l'orbite lu-
naire NL sur l'équateur NE; par 1 son inclinaison; par a„ l'ascension droite de l'astre comptée depuis le nœud N; par v^ sa longitude vraie et l^ sa longitude moyenne comptées depuis le même nœud dans son orbite, les lettres a, ^, / désignant les mêmes grandeurs comptées depuis le point vernal, on a, en négligeant le carré de l'excentricité e de l'orbite et le cube de son inclinaison,
sind = sinlsinr„,
d'où
(27) cos*d=:i — sin*Isin*c„=: i 1 — cos2//t.
D'autre part,
c étant la moyenne distance de l'astre et xs étant la longitude de son périgée. Au degré d'approximation admise, on a
p izn c[l — e C0S(/l — çy) ^] rz: c[l — eCOS/l'/],
n étant le moyen mouvement de l'astre, ér celui du périgée et n!= n — cr.
On tire de là
I n-3ecos/i'/
D'ailleurs, en appelant N le moyen déplacement du nœud N et posant
l'équation (27) devient d'où
(30) ^ r= 5— ( I 4- SeCOSn'/ H 008 2/1"/ j.
D'autre part, on a
tanga,» — cosi tangt^^,,
d'où
«^ =11 i'„ — tang' - sm 2 v^ = <^/i — -r sin 2 /„
i^rt — /„-h 2esin(/ — cj).
«;,— /„ H- 2esin(/ — Gj) — 7- sin2/A,
a=r/4-2esin{/ — GJ) — y sîn2/„
a — /!/ 4- 2 e sin /i' / 7- sin 2 /i" t,
et
Par suite,
soit
ou
D'ailleurs, l'angle horaire
en comptant les longitudes terrestres à partir du méridien passant par le pôle/? du canal circulaire considéré. Donc
(3i) oLp = (ù' t — le^inn! t -t- -^ sin2/i'^/.
D'après cela, dans l'expression (28) de la force ^j reprenons, par exemple, le terme
.-, SLcos*^ ,^
(32) 3— — — — sm (2ap 4- 2O),
^ ' ox 2 p' V ^^ /'
qui, en ne tenant pas compte de la variabilité des éléments de l'astre, donne.
