CHAPITRE VII. — MARÉES DANS UN CANAL DE FAIBLE LARGEUR. I
par la formule (i i bis). Tonde
3 Lycos*- ,^
(33) h~ — ——- — — cos(2ap 4- a^).
Si nous tenons compte de cette variabilité dans l'expression (82) de la force, à l'aide des formules (3o) et (3i), on aura
-rr- == — ï — sin(2ci)'^-i- 2O) -h ^— sin(2a)'/-h 2^— «'^)
dx 2C* L ^ "^ 2 ^
^^ ^ —- sin(2o,)'/ 4-2^4- /l'O
sin(2(k)'^ 4- 2^4- 2/i"/)
La formule (i i bis) donne alors, pour la hauteur correspondante,
3Lycos*-/i --I
- __ ' 2\ 2 / rC0S(2w'/4- 2O) TÇ C0S(2w'^4- 2O— /l'^)
* "^ c» L 4(co'*— ^y) ^ T (2w'— /i')*— 4^y)
(35) { £ cos(2&)^^4- 2^4-/1^/)
Si l'on néglige les carrés de /i' et /i", on a
C0S(2Ci)'^4- 2^4- /l'0 = C0S(2Ck)'/4- 2^) — SÎn/l'^ sin (2(i)' ^ 4- 2^),
co'/i'
tù'^ — gy
et des expressions analogues pour le second et le dernier terme du crochet, de sorte que
3Lycos*f(i-i")
(36) hz=: 4^,(^/,^y) [Pcos(2a)'^ H- 2^) 4- Q sin(2a)'/ 4- 2^)],
OU
P=z:l4- (3 4--7i )eCOS/l'^-h ( rr )PC0S2/l*'/,
On peut encore écrire l'expression de A, en ayant égard à ce que nous négli-
geons les termes de Tordre de Q^ et du produit Q(P — i),
3Lycos*f(,-L')
(38) h- .,,,," r-^ PC0S(2w'/H-2*-Q).
Pour comparer cette expression à celle (33) obtenue en faisant abstraction du mouvement propre de l'astre, il faut mettre cette dernière sous la même forme que la première, c'est-à-dire la développer aussi harmoniquement à Taide des formules (3o) et (3i). On trouvera ainsi une expression pareille à celle (38), avec cette différence :
I® Que, dans l'expression (37) de P, manqueraient le troisième et le dernier terme ;
2"^ Que, dans celle de Q, manqueraient de même le second et le dernier terme.
Comme P caractérise la hauteur et Q la phase ou l'heure de la marée, on conclut de là que le déplacement de l'astre a pour effet : i*^ d'augmenter l'influence
de l'excentricité, à savoir : sur la hauteur, dans le rapport ^ , ,^ ^ — : : i, et sur la phase, dans le rapport] ,. ,^^ — r : 1 ; 2,^ de diminuer l'influence de
rinclinaison de l'orbite, dans le rapport 1 7^^^ — : 1, sur la hauteur, et de
l'augmenter dans le même rapport sur la phase.
101. Influence du frottement. — Il reste à tenir compte du frottement. Ayant développé la force sous la forme (34), il suffit pour cela d'employer, pour le calcul de A, la formule (11 ter) au lieu de celle (11 bis), c'est-à-dire à l'expression (36) d'ajouter les termes
* — ^ ,,, sin(«/ — mx).
Les calculs un peu laborieux n'offrent aucune difficulté» et l'on trouve que l'ensemble des termes à ajouter à h peut s^écrire ainsi
3Lycos*f(i-L')
. ... ., ^- A^ rFsin(2a>'^
, ,, ,, , rP'sin(2a)'^4-2^)4-Q'cos(2a)'^-h 2^)1.
En posant
4w'»— ^yj L w'«— ^y J l (^'^—gy J
Q'= , / i [8.'+ <9<^V '^^^"'1 e^nn't^ \-.'-^ (^"^-^^y^^lpsin^n'. |, 4w'«— ^ylL ('i' — gy J L w'*— ^y J )
