DE LA VAGUE-MARËE

124. Réduction des équations daps ce cas. — En régime uniforme, c'est-à-dire pour A = Ç =0, la vitesse U„ est définie par l'équation

^'sinl4- jj-Fo^o,

en appelant F^ ce que devient la fonction de la vitesse représentant le frottement F par unité de surface pour la vitesse de régime. Admettons que, pendant la marée, la somme analogue dans l'équation (3) reste assez petite pour pouvoir être négligée. Si, de plus, la largeur du fleuve est supposée constante, les équations (3) et (4) deviennent

ôt'' y dx) ~ * dx'

On peut, entre ces équations, éliminer soit ^, soit h. Éliminons ^. En posant

on aura d'abord

d'où

2 àx

ât' du:

Or, la seconde donne

Par suite, l'équation différentielle qui régit la hauteur A est

Quand on l'aura intégrée, on obtiendra ^ par la seconde (5), puis l'abscisse actuelle x' de chaque section fluide et sa profondeur par les équations (2).

Si l'on développe ces équations en négligeant les termes du troisième ordre, on aura

Par suite,

ôx y y^

125. Première approximation. — (a). Hauteur, — Négligeons d'abord les termes du second ordre. Les équations deviennent

dl II

dx y

D'ailleurs, dans $ et A, qui sont des quantités petites du premier ordre, on peut remplacer x par l'expression approchée tirée de (2)

(10) j7 = .r'-HUo^,

puisqu'on ne néglige ainsi que des quantités du second ordre. Soit

la loi donnée de la hauteur de la marée à l'embouchure, soit pour 07' = o ou

23o DEUXIÈME SECTION. - THÉORIE DY.ViMIQUE DES MARÉES, ETC. I^^oJ

On satisfait à l'équation (8) par toute fonction de (o^,/ — x, par conséquent par l'expression

<■■> *=*'Cè^:>

ou, en exprimant h à l'aide de Tabscisse actuelle, x\ soit

et l'on voit que pour a?' = o on a la loi voulue de la marée à l'embouchure.

(6). Vitesse de propagation. — Si un observateur remonte la rive avec une vitesse (Op — Ug, c'est-à-dire de façon que le chemin Ao?, qu'il fait dans l'intervalle de temps A/, soit donné par la iormuie

^JL'=Z (ojo — Uo) A/,

d'où

OJo — tJo

il verra toujours la même hauteur de l'eau. L'onde se propage donc avec la vitesse w^ — Uo. C'est celle qui aurait lieu dans un canal, retardée de la vitesse propre de la rivière.

(r). Déplacements. — L'équation (9) donne

Par suite.

ou

(e). Courant. — Le courant, compté positivement dans le sens du Bot, est

y \ ''>o — tio /

soit

(12) !l^^r +':î^^î ^Vi.

Il est remarquable qu'il soit une fonction de la seule hauteur de la marée. Soient A, la hauteur de pleine mer et — h^ la hauteur de basso mer. Le courant maximum du flot est

oc y

et a lieu en même temps que la pleine mer au point considéré, et le courant maximum de jusant est

(12') ^=:Uo4--°~-Vl,

et a lieu à l'heure de la basse mer au point considéré.

126. Application à une marée sinusoïdale. — Si la hauteur de la marée à l'embouchure est donnée par la formule

(i3) /t —. A„ siii 5^/,

on aura, à la distance x' de l'embouchure,

(i3') /t — /r^sino" (/ — -~ — p- )>

de'

.Uo + (o>a-Uo)^^sin(7(^- -^^r-^)

Le plus grand courant de flot serait

(i4) ^'----Ua + fr.>,-Uji"

et le plus fort courant de jusant,

127. DiTergences aTec robserTation. — Les heures de pleine mer à la dis' tance x' de l'embouchure, données par la formule

n'Sl DEIXIÈME SECTION.- TIIÉOKIE DYNAMIQUE DES 51AKÉES, ETC. [ '28]

seraient

r. ./•' 2 An

^ étant un entier.

Les heures de basse mer données par