SH,^M-^^-

seraient

St: .r' 2k'ii

L'intervalle d'une pleine à une basse mer serait le même que celui d'une

basse mer à une pleine mer et égal «^ - comme à l'embouchure. Les hauteurs

de marée seraient ainsi partout ±: h^ comme à l'embouchure.

Ces résultats sont en contradiction avec l'expérience. Celle-ci prouve :

i'' Que la mer met toujours plus de temps à se retirer qu'à monter;

2" Que la hauteur de Ja marée va diminuant à mesure qu'on s'éloigne de l'embouchure;

3*^ Que les plus grands courants ne coïncident pas exactement avec les hauteurs extrêmes de l'eau.

La contradiction i'' tient à ce que la première approximation est insuffisante; celle 2^ tient à ce que nous avons négligé le frottement. La troisième tient à l'une et à l'autre de ces deux causes.

Passons donc à une seconde approximation.

128. Seconde approximation. — (a). Hauteur. — Portons la valeur de première approximation

dans les termes du second ordre des équations (7'). On aura

Nous allons chercher une solution de cette équation qui donne A = o à Tembouchure, et nous y ajouterons une solution de l'équation privée du second membre qui, aux termes du troisième ordre près, reproduise la loi de la marée à l'origine. La somme de ces deux solutions résoudra le problème.

La première solution s'obtient en posant

-^ étant une fonction indéterminée.

Comme elle satisfait à l'équation

et à celle

ât ox

ày ày

on aura

L'équation (i5) exige donc que

d'où

^-~" 4y(wo— Uo) âx '

et la première solution que nous cherchons est

^——7—7 îT-x (^ — Uo^) -— •

4y(wo— l3o) ^-^

D'ailleurs, comme elle est du second ordre, on peut, au lieu de

y faire

d'où

X z=ix' -^X^Qt — i,

d? = j?' 4- Uo /,

3y(wo— Uo) <?J?'

Elle s'annule bien à l'embouchure, soit pour ^'= o. L. — L

Nous devons y ajouter une solution de Téquation

qui reproduise la marée à rembouchure, aux termes du troisième ordre près. Soit

la solution cherchée. On peut Técrire, en observant que

h—(^(t ""—^ H ^^ ) = 9 ( ' '"^-[r) -^ ^r ?' ( ^ '^-ttV

Dans le dernier terme, qui est du second ordre, on peut remplacer ^ par sa valeur de première approximation (i i') ou

ce qui donne

^\ coo— Lo/ y

Pour a?' = o, on doit avoir

On tire de là comme première approximation

et, par suite, comme seconde approximation, et, par conséquent, pour l'expression de A,

Réunissant les deux solutions {a') et (a"), on aura

(b) . Vitesse de propagation, —Au degré d'approximation admis, on peut écrire Texpression ci-dessus ainsi

^ ^ ^ L «'>o-Uo 27(0)0- LIo)* J

( G)^j— UoL 2y(ojo— Lo)J

h—^'ft-

w^ — Uo H-

OU enfin

en posant

(17) 0) = Wo(n- — j — Uo

au lieu de la valeur

w = Wo — L\,

obtenue en première approximation. Un observateur qui remonterait la rive avec la vitesse de marche co, c'est-à-dire avec une vitesse donnée par la formule

dx' ^ dx'

—7- =1 co ou dt = o

at Gj

verrait toujours la même hauteur d'eau. La vague se propage donc avec la vitesse (o. Mais cette fois elle est variable avec la hauteur h.

Elle est plus grande pendant le flot où A est positif que pendant le jusant où h est négatif. Ainsi s'explique ce fait que les formules de première approximation ne vérifiaient pas que le jusant est plus long que lejlot.

On peut encore écrire l'expression ci-dessus ainsi

Cl)

ou, au degré d'approximation admis,

(c). Déplacements et courants. — Pour avoir la valeur de ^, il est nécessaire de revenir un instant à la variable indépendante x au lieu de celle x\ Si nous faisons

236 DEUXIÈME SECTION. — THÉORIE DYN.VMIQt'E DES MARÉES, ETC. l^^S]

dans le premier terme de Texpression (i6) de h et

dans le terme du second ordre, on aura

Dans le second terme on peut remplacer ^ par sa valeur de première approximation (i i"), qui, à cause de ic' = a: — \}^t, est

Par suite, où toutes les fonctions dépendent de l'argument

On tire de là, au degré d'approximation admis, et, par suite, en vertu de la seconde (7'),

y*" y y* r 2y(r,)o-Lo)^ ^ ^ '

dx y

et, en ayant égard à l'argument (a) qui entre dans les fonctions ^, '|', '1", On tire de là, en tenant compte du même argument,

y y» y 2y2(GJo — Uo)L ^ Wo — U^ J

ou, en réduisant et observant que le courant compté positivement dans le sens

CUAPITRE IX. —

du flot est

dx' Ot

on aura

ôx'