X COS

('-;;7ÊTr,)=«'

d'où, en première approximation, pour le maximum,

et, pour le minimum.

Wo— Uo

c'est-à-dire que la vitesse la plus grande correspond à la basse mer et la plus petite à la pleine mer. En seconde approximation, on aurait

Tft)

&Jo— ^oj 2 y (Wo— Uo)

d'où

(Wo— Uo)*

smc7

V (Oo-Uo'~-^L 8 y* (0)0 -Uo)^

le signe supérieur répondant au maximum et le signe inférieur au minimum de la vitesse. Par suite, on aura, pour la vitesse maxima de jusant à la distance x\

y L S y s y ('''^0 — Uo)* j

et, pour la vitesse maxima de flot.

==Uo+^[

« y 8 y» (wo

(e). Volume d*eau d'une marée sinusoïdale, — Si, dans la formule (19'), nous remplaçons h par sa valeur donnée, qui est ici

h 3= /.Q sina/,

on aura, pour une marée sinusoïdale,

q — ojo ou

/»o / sino"^ -+- —^ (i -hcosaa^) L/^

Afl / Stt h,

soit

8 yy'

Y étant la profondeur d*eau comptée depuis le niveau de la mi-marée et Ao la hauteur de pleine mer au-dessus de ce même niveau.

D'ailleurs, si T est Tintervalle moyen entre deux pleines ou basses mers à l'embouchure, on a

de sorte que

Quant au terme — Uo que nous avons négligé, il donnerait le débit de la

rivière, par mètre de largeur, pendant l'intervalle de temps -i débit qu'il faut

retrancher de q pour avoir le volume effectif d'eau qui y a pénétré.

132. Solution de H. de Saint-Venant. — M. de Saint-Venant, à l'occasion d'un remarquable Travail de Tlnspecteur général des Ponts et Chaussées Partiot, a donné du problème qui nous occupe une solution exacte et très intéressante (*). Nous avons fait ressortir qu'en première, comme en seconde approximation, le courant dans chaque section se trouve être fonction de la seule hauteur de l'eau dans cette section. Il est naturel de se demander si cette loi est exacte et non simplement approchée. C'est la réponse affirmative à cette question qui constitue la solution de M. de Saint-Venant.

Pour y arriver sans calculs inutiles, j'observe que s'il existe effectivement

une relation entre la vitesse -r-» la profondeur d'eau y + ^ ^t la gravité g, par

(') Comptes rendus de l'Académie des Sciences du 24 juillet 1871.

raison d'homogénéité, elle ne peut être que de la forme

C étant une vitesse et a une constante purement numérique. La constante C se détermine parce qu'en Tabsence de marée, c'est-à-dire pour A = o, le courant

-^ se réduit à la vitesse de régime — Uq. Il s'agit donc de savoir si, pour une

valeur convenable de a, l'expression ci-dessus est compatible avec les équations (5) du n° 124, lesquelles, à cause de

peuvent s écrire

â*x' d^___ dh

dx \ y

ô'-x' ( h\ dh

àx' f h\-'

On tire de cette dernière

/AN ^'-^^ W h\-"' àh

^^^ ôyài-^-yV^y) dl

et de celle (a) ci-dessus

d^x' oLsHr ^ , -A àh OL l~i ( /i\"» dh

ôt'

'2. * ôt 2 V y \ yj ôt

ou, à cause de la première (23'),

-dh a / !i\ ^ àh à'^'^ 2\/'y\^ y) ~ài'

/- on OL

d'où

dh __ 2 \f^y

ôt a

y ) ôx

Portant cette valeur dans (è),

ôx ôt ^ V y \ y / àx

et, en intégrant par rapport à x.

àx' k i—( /A^

qui devient identique à (a) si l'on y fait

- =: a ou a = ± 2.

De là, deux solutions correspondant à deux ondes. Ici, c'est celle qui correspond à a = 2 qui convient, de sorte que nous aurons définitivement

qui est compatible avec les équations (25') et peut, par suite, tenir lieu de Tune d'elles, la première, par exemple. Joignons-y la seconde

Les deux équations (26) et (27) fourniront ainsi du problème de la transmission des ondes une solution particulière qui suffira ici, parce qu'il s'agit d'une rivière supposée indéfiniment prolongée vers l'amont, qui serait insuffisante s'il s'agissait d'une rivière de longueur finie communiquant par ses deux extrémités avec des mers ou des lacs à niveaux variables.

Pour intégrer le plus simplement possible, les équations (26) et (27), j'observe que si h était constant, l'intégrale serait

(28) a:' = (i -h - V\r -+- [2 vV(y -+- ^) 4- C] t-\-Y{h),

F(A) étant une constante arbitraire qu'on pourrait regarder comme une fonction arbitraire de la constante A.

Mais Téquation ci-dessus convient encore en supposant h variable, pourvu qu'on lui adjoigne celle qui exprime que sa dérivée, par rapport à A, est nulle, à savoir

Les deux dernières équations (28) et (29) constituent les équations inté-

fl32J CHAPITRE IX. — MARÉES FLUVIALES. 245

grales générales de celles (26) et (27), et fournissent les deux inconnues a/ et A en fonction implicite de x et /. Nous éliminerons x à l'aide de la relation

(3o) .r'z=.r ~Uo^-+-;,

en reprenant ^ et A comme inconnues, et x' et t comme variables.

Si l'on élimine x successivement entre (28) et (3o), puis entre (28) et(29), on aura les deux équations cherchées

Il y

x' - [3 sj'g\/i'^) -+- C] / - F(/i) - (/i 4- y) F(//) - o.

A l'embouchure, soit pour a:' = o, on se donne la loi de la marée

Supposons pour un instant qu'on résolve cette équation par rapport à /. On en tire

(33) t^ySh),

Par suite, la dernière (3i) devient, pour x' = o,

ce qui définit la fonction arbitraire F(/^). La dernière (3i) devient d'ailleurs, quel que soit o:',

d'où, en posant

(35) 4-3 sf^lji':^) -h C = ûj :

et, à cause de (32) et (33),

qui donne la loi de la hauteur de la marée à la distance x' de Tembouchure direclement en fonction de celle (32) à V embouchure, quelle que soit cette dernière. Et elle montre que la marée se propage avec la vitesse o> qui est variable d'une section à l'autre du fleuve, mais qui, comme le courant, ne varie qu'avec la hauteur de l'eau dans la section.

Dans l'expression de (o, il reste la constante arbitraire C. Elle dépend du débit de la rivière. Pour A = o, c'est-à-dire lorsque la rivière a sa profondeur normale y, elle a un débit connu et, par suite, une vitesse moyenne connue Uo- Ainsi, pour A = o, on a

Donc, l'équation (35) donne

C =1 — To — 2 \^Jri

et, par suite, à cause de (26), la vitesse du courant est définitivement et la vitesse de propagation, d'après (35),

(38) 0) :-r - Uo 4- 3 vé^/' -H y) - 2 v^.

133. Hauteur de la marée dans le fleuve. — La hauteur de la mer est donnée parla formule (36) qui montre bien que l'onde se propage avec la vitesse w, et sans altération dans les valeurs extrêmes de cetle hauteur, ces valeurs extrêmes étant partout celles de la fonction donnée 'y(^) c'est-à-dire celle de l'embouchure. Cela tient à ce que nous avons négligé le frottement. Puisque

est la loi de la marée à l'embouchure, à la distance x' elle sera donc

(40) ll^^' (t -jLr=^. =Y

\ — ÏJ» -H 3 V ^' (A -h 7 ) — 2 s'gyj

Si l'on veut avoir cette hauteur sous forme explicite, il faudra résoudre la dernière équation par rapport à h. Cela peut se faire ou par tâtonnements ou par approximations successives. En négligeant d'abord h devant y dans le second membre, on aurait une première valeur

ïJoH-vVy.

En la portant à la place de h dans le second membre, on aurait une nouvelle approximation

En mettant h^ à la place de h dans le second membre, on a une nouvelle valeur approchée de cette grandeur et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on arrive à deux valeurs consécutives très peu différentes l'une de l'autre.

Posons, comme précédemment, \gy = Wo» et supposons - petit. La dernière équation peut s'écrire

hz=^

l -Uo-+-c.o(3^i-^-.jJ

OU, approximativement)

lî ( Wo

-bl!

soit

Wo — Uo 3o)o.r'

G)o — Uo 2y(o)o— Uy)"

'Al--

si Ton suppose que la marée à l'embouchure soit donnée parla formule sinusoi dale

cette équation devient

h^r^tu sincj

O iIq (x)ç\JC

2y(.coo

h := AoSJnd ( t p- -H 7 -^ — TT-»^ Sin2(7 Z r^

qui, comme on devait s'y attendre, est identique à la formule (i4) et conduirait, par suite, aux mêmes conséquences.

134. Vitesse de propagation. — La vitesse de propagation w, variable avec la hauteur /?, a pour expression

W = — Uo + 3 \\ii{li -h y ) 2 \gy,

soit

Cil)

On peut également en vérifier l'accord avec les résultats du n° 128. En effet,

pour- petit, on a

iT . / 3/i 3 A'\

\ ay 8 yV

Remplaçant A par sa valeur ci-dessus et négligeant les termes d'ordre ( t^) >

on aura

Cl) = ùJo — UoH Sino" ( t , - )

2 y \ 0)0— Lo/

H-K-JT ?- — ,^-'siii2y{/ J-)

Le flot est(n^ 131) caractérisé à une première approximation parTéquation

sino" ( ^ rr

La valeur correspondante de (o est

aj=coo — ^oH

Le jusant est caractérisé par l'équation

sinc7 ( t ,,- 1 = — I

oJo — Do

La valeur correspondante de la vitesse de propagation est

dJ :=z Ci)q — IJ Q •

Ces expressions coïncident bien avec celles du n** 131.

135. CouraDts. — Volume d'eau d'une marée. — La vitesse des courants, comptée positivement dans le sens du flot, est donnée par la formule (37)

A l'embouchure on connaît la hauteur h de la mer directement à chaque

instant : on connaît donc le courant. Tant que 4- est positif, il pénètre de

l'eau de la mer dans le fleuve. Le volume qui pénètre dans le temps cil par unité de largeur du fleuve est

et, dans un intervalle de temps / — /„ à cause de (37),

(a) C { - L. 4- 2 Wi'iy + h) - v'FyJ ! ( y + /') '/'.

OÙ le terme soustractif

représente le débit de la rivière pendant le temps considéré. Dans l'expression (a), on devra remplacer h par sa valeur donnée à l'embouchure :

Si l'on connaît par le marégraphe la courbe de la marée à l'embouchure, on en déduit facilement et graphiquement le volume d'eau représenté par (a) et qui forme le volume d'une marée par mètre de largeur de l'estuaire. II ne faut pas perdre de vue que ce résultat, comme tout ce qui précède, suppose : r^ qu'on néglige le frottement, 2^ que la largeur du fleuve est constante

136. Déplacements horizontaux. — Le déplacement horizontal ^ dans une section est donné par la formule (3i) où l'on doit remplacer C par sa valeur

et aussi F(A) par son expression tirée de (34), soit

où Â est une constante d'intégration.

On voit qu'ici il faut former la fonction /^(A) inverse de celle ^ (/) qui définit la hauteur de la mer à l'embouchure. Si l'on a la courbe qui représente cette hauteur, le temps étant pris pour abscisses, il n'est pas difficile, par des mesures directes, de développer / en fonction de A, ou mieux de A H- y, sous la forme

Alors les quadratures se font immédiatement, puisqu'elles sont de la forme On aura ensuite par (3i)

-- / [-yi<.+ ^\/ff{h + y)-^2gy\x(h)d/.,

où, dans le second membre, on connaît h à chaque instant / et pour chaque valeur de a?'.