L. - L Si

Pour>i = o, c'est-à-dire quand la rivière coule naturellement avec la vitesse — Uo, on a

La constante A dépend donc de l'origine du temps. Si l'on compte les déplacements à partir de l'état où est la rivière à l'instant, quel qu'il soit, pris pour

origine du temps, on aura

Soit Ç^ le déplacement à l'embouchure, soit pour x' = o, on aura, en désignant par h^ la hauteur de la marée à l'embouchure.

OÙ hg a la valeur donnée

d'où l'on a tiré

Si donc on veut exprimer tout le second membre en fonction du temps, à l'aide de la fonction donnée ^(/), on aura

où, si l'équation h^ = ^'(0 ®^^ donnée sous forme d'une courbe, on fera la quadrature par des relevés graphiques. Cette question de la détermination du déplacement est la seule compliquée; mais c'est la moins importante au point de vue pratique. On se contente d'ordinaire de la connaissance des courants.

137. Observation relative à la solution de H. de Saint-Venant. — La solution de M. de Saint-Venant est sujette a une réserve qu'on ne saurait passer sous silence.

Le problème à résoudre consiste en ceci : intégrer les équations du mouvement de la marée dans une rivière, par les deux conditions :

1° Qu'à l'embouchure, la hauteur suive une loi donnée;

2" Que cette hauteur s'éteigne à l'infini. Cette seconde condition, qui peut s'appeler la condition de raccordement de la partie maritime d'un fleuve avec la

partie non soumise à la marée, n'est pas remplie par la formule de M. de Saint- Venant.

Cela tient à ce que l'illustre savant n'utilise qu'une solution particulière renfermant une seule fonction arbitraire des équations dinerentielles du problème, tandis que, pour satisfaire aux deux conditions i° et 2**, il faudrait avoir la solution générale, laquelle comporte deux fonctions arbitraires.

L'équation (7) du n^ 124 montre, en effet, que la bauteur A est régie par une équation à dérivées partielles du second ordre, dont l'intégrale générale renferme bien deux fonctions arbitraires.

Il ne serait pas difficile, par un changement de variables, de ramener cette équation à celle d'Euler et de Poisson, dont on trouvera une monographie complète, avec des recherches personnelles à l'auteur, dans les belles Leçons Sur la théorie des surfaces de M. Darboux. On la ramène à l'équation que M. Darboux désigne

par le symbole E(— '> — -\ et qui a été complètement intégrée par Poisson;

mais les changements de variables à faire mènent si loin du problème dont il s'agit ici, qu'il est impossible de déterminer les deux fonctions arbitraires contenues dans la solution de Poisson, d'après les conditions i** et 2^.

La solution particulière de M. de Saint-Venant, qui n'est autre que l'intégrale intermédiaire du premier ordre (ou plutôt l'une des deux intégrales qui répondent à deux ondes de sens contraires, mais qu'on ne peut pas superposer, l'équation n'étant pas linéaire), qu'admet l'équation (7), conserve donc, malgré tout, un réel intérêt.

6. PLEUVE DE LARGEUR CONSTANTE EN AYANT ÉGARD AU FROTTEMENT DE LA VAGUE- MARÉE.

138. Équations différentielles. — Lorsqu'on tient compte du frottement, les courants dans chaque section ne dépendent plus uniquement de la hauteur d'eau qui s'y produit. Ils dépendent, en outre, de l'abscisse de la section. Le problème devient alors incomparablement plus difficile et l'on ne peut que procéder par approximations successives. Mais on a l'avantage de se rapprocher des faits, et d'obtenir des ondes qui s'évanouissent à l'infini. La solution, à ce point de vue, échappe donc à la critique que nous venons de faire.

Reprenons l'équation (i) du n** 123

ôz

ôx

202 DEUXIÈME SECTION. — THÉORIE DYNAMIQUE DES MARÉES, ETC. L^^^l

avec Téquation de continuité (4)» pour le cas d'une rivière de largeur constante

et celle

En faisant de nouveau

(4'') z — y-hh, ts^l — gy,

elles peuvent s'écrire

ô.r dx ^ \ y/ '

à'c . , A' F/ hv-' mJ"^ \/"^ y)

ut' " " y \ 7/ 2 Ox.

ou, à cause de la faiblesse du frottement,

La lettre F représente le frottement par unité de surface de paroi mouillée. C'est une fonction de la vitesse. Dans les canaux, nous l'avons supposée simplement proportionnelle à la vitesse. Pour les vitesses comme celles des rivières on admet d'ordinaire la proportionnalité au carré de la vitesse. Pour comprendre tous les cas, prenons la formule de Prony

F = n(av-+-^^v«),

où Ton admet en eau douce

a :=o,oooo44>

et où V désigne la vitesse qui, dans les rivières, est toujours positive. Ici, d'après nos conventions, elle est positive pendant le courant de flot et négative pendant le courant de jusant. La force F change de signe dans les deux cas; le terme a Va, en tous cas, le signe qui convient; mais celui b\^ doit toujours avoir le même signe que celui a\ ou que V. Il faut donc mettre

le signe supérieur convenant au courant de flot, et le signe inférieur au courant de jusant.

On a

(44) F = n[«(.-u.-^|)±/.(-u,^2Jy]

avec le signe supérieur pour

>Uo

et le signe inférieur pour

En développant, on a

àc < ^••

(44') F = n [- «U, ± bVl +{n^z2bV,) f^±b (§y J.

en négligeant le terme du troisième ordre.

Posant, pour abréger,

(45) \ fia=;z:tùl]o) = c,

l'équation (42) devient

dt* et y \àtj y dt 2 ôv

avec l'équation de continuité

pour définir les deux fonctions inconnues h et ^. On remarquera que, pour les courants de jusant,

Or, réquation du mouvement permanent est

d'où résulte que, pendant le courant de jusant, le terme constant g'sin I -\- g est nul. Mais il n'en est pas de même pendant le courant de flot. On a alors

d'où, à cause de (a),

^-siiiI + .i^' = M^Lj.

Ainsi, on a

io pour les courants de jusant, -— bVl pour les courants de flot.

La constante ne serait nulle toujours que pour 6 = o, c'est-à-dire si l'on admettait que le frottement est proportionnel à la vitesse.

Si Ton différentie l'équation (46) par rapport à x, en ayant égard à celle (47)» on obtient

01* 2 ÔX* Ôt ^ dx

ùx J ôt y Ot

Développons celte équation jusqu'au second ordre inclusivement. On aura

Par suite,

~" y Ol^ '^ f Uï^ "^ '''^ [y âx* "^ ^7 ^^^ /

c ôh Zc ôlr g' âJi / 2b^ ôh c dh\ d\ y ÔL 2y^ ôt y ôx \ y ôt y ôx ) ôt

OU, si l'on néglige les termes du second ordre qui sont multipliés par les coefficients de frottement, il vient pour l'équation différentielle qui régit la hauteur de la marée,

^^^ -ôï^^^'ôF^-^'TI'^^'T.'-yKlJF-^Tdlc^}

avec l'équation de continuité (47) qui donne, une fois que h est déterminé,

(5o) x'z=zx — {}^t^l.

139. Première approximation. — En négligeant d'abord les termes du second ordre, on a

,,Q,, ir-h .d'il dii ,dh

ox y

Nous supposerons la hauteur de la marée à l'embouchure, développée sous forme d'ondes harmoniques, soit

(5i) /* =r y^/içSino'(/ — Os)-

En première approximation elles se superposent. Il suffît donc d'en examiner une

(5i') /i=ih^%m(j{t — Bs)

et, pour simplifier les écritures, nous pouvons prendre / = 0<y pour origine du temps et la réduire à

sauf à remplacer dans notre résultat final, / par / — 0^. II s'agit donc d'intégrer l'équation (48) de façon :

I** Que pour a?' = o on ait pour h l'expression (5i'); 2° Que pour x' = x), on ait

Prenons

«étant le symbole imaginaire sj— i et m étant une quantité complexe dont la partie réelle est supposée positive. Il s'ensuivra qu'on satisfera à la condition 2°, quel que soit m. En remplaçant oo' par sa valeur en a?, on aura au degré d'approximation admis

En substituant dans (4^)» ^t changeant tous les signes, on aura, pour déterminer /n, l'équation

— ( / 0" -+- m Uo )* -h ûjj m* — c( 10" -h m Uo ) -f- ^' /?! = o

ou d'où

Soit en posant

?= .-777» Tmi^*^'»*^

-(-A''-+-cUo)'-^4<T'o);-hv'[(-^''-hcUo)»-4^'coîpH-i6(7«(-y^'no4-r(.»;,-'

On a donc

h = Ke^i9t-i^')-p^

^ — - ^^/[(ff-^-^Uoi/— ^.ïl-fXJ-— U,/),

donc

yip-^qi)

Enfin, pour le courant.

En exprimant toutes les grandeurs à l'aide de l'abscisse actuelle, on aura

en appelant -j-9 la dérivée partielle de h exprimée à l'aide des variables / et a?', ou

ôx' __ wT [Uo(/>*-f-< 7')-i- fj q -h(jpi]h dt ~ ' yÇ^ir^ij^)

(C*) -^7--Uo-+-

^^, [Uo(/?--+-7')-+-a^7]/'-+-/^

dt ~~ 7(p^-^q*)

De la solution imaginaire (c) on passe à la solution réelle

(53) h— h^e-P^' sin (crt —qx')

qui satisfait à la question.

Les formules {c') et {c" ) donnent ensuite

(54) $= yijjzZir^j [pS\n((7t—qx')—qC0S{(Tt—qx')l

et, pour le courant,

dx' h(je''P''^' i

De là résultent les conséquences suivantes :

(a). Hauteur. — I/onde se propage avec une hauteur décroissant suivant le coefficient d'extinction e~P" ,

(b). Vitesse de propagation, — La vitesse de propagation est

(c). Courant. — La vitesse du courant peut s'écrire

en posant

(56') langX= j^^^ ^.

On voit que les courants les plus grands diminuent à mesure qu'on s'éloigne de l'embouchure; tandis qu'en première approximation, lorsqu'on ne tient pas compte du frottement, ils coïncident avec les pleines et basses mers, il n'en est plus de même ici. Les pleines et basses mers, en un point distant de x' de l'einbouchure, ont lieu respectivement aux heures données par les équations

dt^qx' -=1 — h aATTT

(Jt — qx' =: h aATTT,

tandis que les plus grands courants de flot ont lieu aux instants définis par

vt — qx' == — X H h 2 Arit

et les plus grands courants de jusant aux instants définis par

(Jt — qx' — — A 4 h 2^71,

d'où une avance sur les heures de pleines et basses mers de -•

(rf). Dèpldcements , — Le déplacement subi à l'instant t par une section ayant, à l'instant initial ou à mi-marée, l'abscisse x, est

en posant

(57') tang|x=?

(e). Volume d'eau (ï une marée sinusoïdale. — La profondeur d'eau à Tembouchure est

y 4- ^ = y 4- ^ff sin a ^.

Si on laisse de coté le terme — U^^ qui entre dans l'expression de la vitesse, on voit que le débit, par mètre de largeur du fleuve, est

— y -^-^ V^ 1 I {y -hhfjsm(jt)sin{(jt-hl)dt,

l'intégrale étant prise pendant la durée du courant de flot, soit de

tz:z à t—

On trouve pour l'intégrale

cosX,

COSA=-- ^=r- -■^— - :

et le débit cherché est

140. Cas d'une marée quelconque développée sous forme harmonique. — Si Ton a, à l'embouchure, une hauteur de marée comptée depuis le niveau moyen et développée harmoniquement sous la forme

h -z\hasïn(7{t — 6^)y

Hq et 0(y étant des constantes données par l'observation, on aurait à la distance x' de l'embouchure :

I** Pour la hauteur, comptée k partir du niveau moyen de chaque section,

2° Pour la vitesse, comptée positivement dans le sens du flot,

26o DEUXIÈME SECTION. — THÉORIE DYNAMIQUE DES MARÉES, ETC. [142]

Dans ces formules, on a mis p^ et q^ à la place de /> et y pour les expressions (53) et (5G)qui correspondent à Tonde caractérisée par la période -^'•

{41. Seconde approximation. — En portant la valeur ci-dessus de h dans le second membre des équations (/iS) et (19), on obtiendrait une seconde approximation en suivant une marche analogue à celle développée plus haut (n** 128), lorsqu'on a fait abstraction du frottement. On verrait qu'ici x' n'apparaitrait pas en facteur linéaire, mais seulement en exponentielle de la forme 0"^"^ , n étant un entier, en dehors des lignes trigonométriqucs, de sorte que toutes les ondes obtenues s'éteindraient à mesure qu'on s'éloigne de l'embouchure, ainsi que cela doit être.

Les calculs, tout en étant réalisables, surtout si l'on remplace provisoirement les lignes trigonométriqucs par des exponentielles imaginaires, seraient néanmoins d'une grande complication, et les données du problème ne paraissent pas assez précises pour qu'on pousse ces calculs jusqu'au bout. Il semble naturel, dans la seconde approximation, de négliger le frottement et, par suite, d'ajouter aux résultats des n*** 139 et suivants, les termes de seconde approximation obtenus aux n**' 128 et suivants, sauf à les multiplier par un coefficient d'extinction e~^-^\ en prenant pour p la valeur qui, d'après la formule (32), convient à l'onde la plus importante.