C. FLEUVES DE LARGEUR LENTEMENT VARIABLE

142. Équations du mouvement. — Essayons à présent d'examiner Tinfluence que peut avoir un rétrécissement graduel, très lent, du fleuve à partir de son embouchure.

Les deux équations du mouvement sont alors celles (1) et (4). qu'on peut écrire, si l'on suppose le frottement proportionnel au carré de la vitesse.

âz

ÔJC

où L et V sont les largeurs respectives du fleuve aux distances x et x' de l'embouchure.

Il serait ici peu commode d'avoir à considérer ces deux largeurs, dont la dernière seule doit intervenir définitivement. Il est préférable d'éliminer la variable ic, c'est-à-dire l'abscisse initiale de la section considérée. Pour cela, il

suffit, à la façon d'Euler, de prendre comme inconnues la vitesse que nous appellerons U' dans chaque section, cette vitesse étant toujours regardée comme positive dans le sens du flot, au lieu de Tabscisse actuelle x' de cette section, et de prendre, au contraire, cette dernière comme variable indépendante avec le temps.

Les inconnues du problème seront donc l«i vitesse U' et la profondeur z de chaque section, considérées comme fonctions des variables x* et / substituées à celles X et /.

Entourons pour un instant, d'une parentbèse, les dérivées partielles relatives à ces nouvelles variables.

Nous aurons, pour une fonction quelconque, 9(/, x'^ — (p, les formules de transformation

do fôo\ fOo\dy . '(}9\ îj.^^l ~0t \àtj "" \()u:' ' (H ' \âij "■ \dx''J'

do f ôo . ôr'

La première équation (58) devient, par suite,

La seconde, différentiée par rapporta ^, avec les variables / et a? qui y entrent, donne

I ôL'z ôx

ôx

soit, avec les nouvelles variables,

I [â\Jz ,ydh'z\ fd{]'\

OU, en supprimant à présent les parenthèses, nous aurons les deux équations qu'il eût été facile d'établir directement

ôt ôx'

143. Leur transformation. — Supposons que la largeur L décroisse suivant la loi exponentielle

a étant une quantité très petite et L» étant la largeur à Tembouchure.

La dernière équation (58') devient

Je pose

(59) U'=Ve'^', z-Ze'

et je prends V et Z pour inconnues.

Les équations (58') deviennent

dZ dVZ __

144. Remarques sur ces équations. — Ces équations donnent lieu aux remarques suivantes :

1° Pendant le mouvement permanent, le terme -r- est nul. Pendant la marée, il reste petit. La grandeur a, qui a pour expression

«---^Logj-

en appelant Lo et L, la largeur du fleuve à l'embouchure et à la distance A où la marée cesse de se faire sentir, est aussi une grandeur extrêmement petite, en raison de la faible variation de la largeur par mètre courant de rivière. En négligeant le produit de ces deux grandeurs, on peut, dans le premier terme de

la première équation, remplacer e ' par l'unité;

2° De même, la parenthèse du dernier terme de cette équation, nulle pour a == o dans le mouvement permanent, et concernant le frottement dans le mouvement de la vague, est aussi très petite et, en négligeant son produit para,

sa — r.i'

on peut remplacer par l'unité le facteur e ' qui la multiplie;

3® Les termes qui contiennent en facteur la petite quantité a, peuvent

être multipliés par le rapport, peu différent de l'unité, ^ de la profondeur

moyenne à la profondeur variable Z.

Par suite, et, en posant, pour abréger,

sinl-i — ^= smr.

S =t ^, -= bt,

les équations du mouvement deviennent

dZ d\Z

dt dx

Ces équations ne sont autres que celles relatives à un fleuve de largeur uniforme, avec la pente fictive l\ le coefficient de frottement fictif 63, les vitesses et la profondeur de ce fleuve fictif étant V et Z. Ces grandeurs se déterminent donc par les formules données ci-dessus pour les fleuves de largeur uniforme. Une fois qu'on les aura trouvées, on en tirera les vitesse et profondeur vraies, U' et 2, par les expressions (Sq), et, si Ton remarque que

gOut'- 11£

La L'

L étant la largeur à la distance a/, de sorte que

on arrive à la règle suivante :

Pour étudier, soit le régime permanent, soit le régime variable des marées ou des crues, dans une portion de fleuve ou de rivière de largeur très lentement variable et à plafond d'inclinaison constante, on procédera comme si la largeur était constante, en remplaçant la pente de fond et le coefficient de frottement par les valeurs fictives que fournissent les expressions (60). On obtiendra ainsi une vitesse de courant V et une profondeur Z pour chaque section transversale du cours d'eau fictif ainsi envisagé.

Pour obtenir ces grandeurs U' et z dans le cours d'eau véritable, on multipliera :

I® La vitesse V par la racine cubique de l'inverse du rapport de la largeur de la section considérée à la largeur de la section origine (section d'embouchure dans les fleuves à marée) ;

2^ La profondeur Z par la puissance | de ce même rapport.