SURFACES DÉFINIES PAR DES PROPRIÉTÉS CINEMATIQUES

Propriété cinématique commune aux surfaces de révolution, aux cylindres et aux hélicoïdes. — Ces différentes surfaces peuvent être déplacées d'une manière continue sans cesser de coïncider avec elles-mêmes.

Définition des hélicoïdes les plus généraux. — Leur élément linéaire lorsqu'on forme un sjrstême de coordonnées curvilignes avec les hélices tracées sur la surface et leurs trajectoires orthogonales. — Théorème de Bour : La forme de l'élément linéaire ainsi obtenu convient à une double infinité d'hélicoïdes parmi lesquels se trouvent des surfaces de révolution en nombre simplement infini. — Etude des surfaces de révolution qui sont toutes applicables les unes sur les autres. — Si l'on considère les points qui se correspondent sur toutes ces surfaces, le produit des rayons de courbure principaux de la surface est le même en tous ces points; la tangente au méridien, prolongée jusqu'à l'axe, a la même longueur pour toutes les surfaces. — Application à la sphère et à la surface pseudosphérique.

Des surfaces les plus générales qui peuvent être engendrées par le mouvement d'une courbe invariable de forme. — Leur élément linéaire. — Application aux surfaces réglées. — Cas où le mouvement de la courbe invariable se réduit à une translation. — Surfaces de translation, leur étude directe. — Définition duc à Lie des surfaces de translation. — Elles peuvent être considérées comme lieux des milieux de toutes les cordes qui joignent un point d'une courbe (C) à un point d'une autre courbe (C). — Cette nouvelle définition montre bien qu'elles peuvent être engendrées de deux manières différentes par la translation d'une courbe invariable. — Propriété géométrique tout à fait générale des surfaces de translation : Les deux courbes dont la translation peut engendrer la surface déterminent sur cette surface un système de coordonnées curvilignes conjuguées c'est-à-dire un système tel que les tangentes aux deux lignes coordonnées qui se croisent en chaque point de la surface sont conjuguées suivant la définition de Dupin. — Pour établir cette proposition, à laquelle la Géométrie conduirait aisément, on donne un théorème général, sur lequel on aura à revenir, relatif aux systèmes de coordonnées curvilignes qui sont formées de courbes conjuguées.

— On revient aux surfaces les plus générales engendrées par le mouvement d'une courbe invariable pour examiner le cas spécial où cette courbe est plane et où les vitesses de tous ses points sont normales au plan qui la contient. — Elément linéaire de la surface. — Cas spécial où le plan de la courbe roule sur un cylindre.

— Surfaces moulures C}rlindriques. — Bour a montré qu'il existe une infinité de telles surfaces applicables les unes sur les autres.

Extension de la méthode cinématique précédente au cas où la courbe qui engendre la surface varie en même temps de forme et de position. — Surfaces engendrées par un cercle. — Détermination des trajectoires orthogonales de tous les cercles de la surface. — Elle se ramène à l'intégration d'une équation de Riccati. —

Elude du mouvement d'un système qui se déplace en variant de grandeur, mais en restant semblable à lui-même. — Loi de variation des vitesses de ses différents points. — Surfaces spirales de Maurice Lévy. — Leur élément linéaire. — Extension du théorème de Bour. — Il y a une double infinité de surfaces spirales applicables sur une surface spirale donnée.

73. Les surfaces de révolution jouissent d'une propriété cinématique importante. Elles ne cessent pas de glisser sur elles-mêmes lorsqu'on leur imprime un mouvement de rotation autour de l'axe. Celte propriété qu'elles possèdent, de pouvoir être déplacées d'une manière continue sans cesser de coïncider avec elles-mêmes, appartient aussi aux cylindres et à une classe plus étendue de surfaces, les hélicoïdes, qui comprennent comme cas limites et les cylindres, et les surfaces de révolution.

Considérons, en effet, un système solide animé d'un mouvement hélicoïdal. Nous savons que tous les points de ce système décrivent des hélices de même axe et de même pas; chacune de ces hélices est animée d'un mouvement dans lequel elle ne cesse de glisser sur sa position primitive. Si donc on associe toutes les hélices rencontrant une courbe donnée (C), elles formeront une surface qui pourrait être engendrée par le mouvement hélicoïdal de la courbe (C), et qui possédera évidemment la propriété de glisser sur elle-même dans le mouvement. Cette surface est un héiicoïde général. Nous allons donner les équations qui la déterminent et chercher son élément linéaire.

Les hélices décrites dans le mouvement hélicoïdal permanent sont définies par les équations

t X = p COSCi,

(i) y = psinet,

/ z = z0-\- hvu

où h désigne le pas réduit, c'est-à-dire le pas commun des hélices divisé par 27t. Si l'on prend pour z0 une fonction quelconque de p, les coordonnées #, y, z deviendront des fonctions des deux variables p et vK ; les formules précédentes définiront la surface héiicoïde la plus générale. Faisons

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et calculons l'élément linéaire de l'hélicoïde. Nous trouverons

ds- = (i -+- o'-) dp--}- i /î cp' dp «?Pi+ (p2-H h- ) dv\. En transformant le second membre, on obtient

Si l'on introduit les deux nouvelles variables w, t' définies par les quadratures suivantes :

rfa = <r/o 1 / i

7 Ad) cfo

rfP = rit'l + — -1 — — 5

p2-f- A2 deviendra une fonction de u que nous désignerons par U2, et l'élément linéaire sera ramené à la forme

( 4 ) ds2 = du- -+- U2 dv- .

Les courbes u = const. sont les hélices tracées sur la surface, et, par suite, les courbes v = const. sont les trajectoires orthogonales de ces hélices. On reconnaît ainsi que ces trajectoires se déterminent par une simple quadrature.

74. La forme (4) de l'élément linéaire est identique à celle que nous avons déjà obtenue pour les surfaces de révolution (n° 64). On sait, d'ailleurs, que ces dernières surfaces peuvent être considérées comme des formes limites des hélicoïdes généraux, correspondantes au cas où le pas commun des hélices devient nul. On peut donc prévoir que les hélicoïdes sont applicables sur des surfaces de révolution. Ce beau théorème est dû à Bour, qui l'a établi dans son Mémoire sur la déformation des surfaces [Journal de l'École Polytechnique, XXXIXe Cahier, p. 8a). Pour le démontrer, nous ferons voir que la forme (4) de l'élément linéaire, donnée a priori, convient à une infinité d'hélicoïdes, parmi lesquels se trouvent toujours des surfaces de révolution.

Les formules (i), où l'on considère z0 comme une fonction de p, définissent l'hélicoïde le plus général, et la formule (2) fait connaître l'élément linéaire de cette surface. Pour le rendre identique D. -I. 9

à l'élément linéaire donné par l'équation (4 ), il suffira évidemment de poser

d-j'1 = du2,

dv!+ ['.??j'iy='V*dv*-

ou, en extrayant les racines carrées,

du = ± 4 /do2 ■+■ IlÉîL , ( 5 ) Kl

La première de ces formules montre que p est une fonction de u. Pour que la seconde puisse avoir lieu, il faut évidemment

que le rapport — == soit égal a une constante que nous designey/p2+A2

rons par — On aura donc

(6) | • h do dv

dvx~^-

Les formules (5) et (6) nous conduisent, par des éliminations faciles, aux valeurs suivantes de p, do, dvt :

mzXJ du . /„„, ,„., /r2

= .„,,,, ,,yu2(i-m2U,2)-

( 7 ) { 7 <ic //& «if /i a?«

m m2U2 m U(/?i2U2 — h \ p = sj m2 U2 — /i"2.

Toutes les quantités qui figurent dans les formules (i) sont ainsi exprimées en fonction de u et de v; la question proposée est donc complètement résolue.

75. Les hélicoïdes que nous venons de déterminer dépendent de deux paramètres arbitraires h et m. Il est aisé de s'assurer qu'ils ne sont pas superposables. Considérons, en particulier, le cas où l'on a

SURFACES DÉFINIES PAR DES PROPRIÉTÉS CINÉMATIQTJES. l3l

et supposons m = i . Les formules précédentes deviendront

do = — — \Ju2 ■+- a2 du,

, . li do

dv\ = dv

Si l'on donne à h toutes les valeurs comprises entre o et «, on aura une série continue d'hélicoïdes, tous applicables les uns sur les autres. Ils présenteront toutes les formes intermédiaires entre la caténoïde et l'hélicoïde gauche à plan directeur, qui sont les termes extrêmes de cette série et qui correspondent respectivement aux valeurs o et a de l'arbitraire h.

76. Revenons aux formules générales (7). Si l'on y fait h = o, on obtient des surfaces de révolution, toutes applicables les unes sur les autres, aussi bien que sur les hélicoïdes généraux définis par ces équations. Elles sont déterminées par le système très simple