IO
ds*
PREMIERES NOTIONS SUR LES COORDONNEES CURVILIGNES. Iig
Si b est, au contraire, plus grand que «, ;* a un minimum qui est \J b- — a-, et les méridiens ne rencontrent plus l'axe. La sur-
Fig. 4.
face admet alors deux parallèles de rebroussement et un cercle de
gorge DE (fig. 4).
Si l'on pose
n e" -4- e~u av'
r=sjb*- — «2 , v — ,
l'élément linéaire devient
(n) ds* = «2 \du* + l 6" "*" 6~~" \ 2 dv'A .
67. Après les surfaces de révolution, nous examinerons le groupe si important formé par les surfaces réglées. Elles peuvent être définies par les trois équations
x = at u -t- bi,
où a, b, ... doivent être considérées comme des fonctions d'un paramètre v. Si l'on suppose
a désignera la longueur portée sur chaque génératrice rectiligne de la surface à partir de la courbe définie par les équations
x = bu y = b2, z = b3.
On déduira des formules (12) l'expression suivante de l'élément linéaire
(i4) ds2 = du"- -+- 1 D du dv -+- ( A 11"- -+- 2 B u -+- C) dv2,
où A, B, C, D sont les fonctions de v définies par les relations
Si l'on suppose que la courbe u = o, définie par les équations (1 3), ait été choisie parmi les trajectoires orthogonales des génératrices, on aura
et l'élément linéaire prendra la forme plus simple
(i5) ds"- = du"- -h (à«2+2B« + C)dv*.
Dans ce cas, le système de coordonnées sera formé des génératrices rectilignes ^ = const. et de leurs trajectoires orthogonales.
Pour ramener l'élément linéaire général, donné par la formule (i4)j à la forme (i5), il suffira de substituer à « la variable suivante :
u' = u-+- j D dv.
On reconnaît ainsi que, dans toutes les surfaces réglées, les trajectoires orthogonales des génératrices rectilignes sont déterminées par une simple quadrature.
68. Considérons, par exemple, la surface formée par les normales principales de l'hélice on hélicoïde gauche à pian directeur. Elle est définie par les trois équations
!z = av, X = U COSP, y = u sin^; d'où l'on déduit
(17) ds*= (a2 + w2) dv*+du*.
La comparaison des formules (7) et (17) nous montre que, si l'on fait correspondre sur l'hélicoïde et sur la caténoïde les points pour
lesquels les valeurs de u et de v sont les mêmes, les arcs de deux courbes correspondantes seront rigoureusement égaux. On dit dans ce cas, nous l'avons déjà remarqué, que les deux surfaces sont applicables l'une sur l'autre. Il est clair, en effet, que si l'on considère une surface comme un tissu flexible et inextensible, et si l'on admet le possibilité de déformer cette surface sans déchirure ni duplicature, la longueur de toute courbe tracée sur la surface sera demeurée invariable dans la déformation. Sans examiner la question de savoir s'il est possible d'amener la première surface à coïncider avec la seconde par une suite continue de déformations, on dit que deux surfaces sont applicables l'une sur l'autre quand elles satisfont à la définition géométrique que nous venons de donner. Le problème de la recherche des surfaces applicables sur une surface donnée est un des plus intéressants, mais aussi un des plus difficiles, que l'on rencontre dans l'application de l'Analyse à la Géométrie. Dans le cas qui nous occupe, l'hélicoïde est applicable sur lacaténoïde; les génératrices rectilignes de la première surface correspondent aux méridiens de la seconde et les hélices aux parallèles, et nous verrons que les deux surfaces peuvent être amenées à coïncider, l'une avec l'autre, par une déformation continue.
69. Revenons aux surfaces réglées. Il est aisé, lorsqu'on a seulement l'expression (io) de l'élément linéaire, de distinguer les surfaces gauches des surfaces développables.
En effet, on a identiquement
Ait2+2B« + C = (a'i u + b\y-^-(a^ii-^b'v,y--^(al.iu^rb'iy.
On voit donc que le trinôme premier membre sera une somme de carrés, et l'on aura
tant que les équations (18)
B2— AC<o,
ne seront pas satisfaites. Or ces dernières équations caractérisent les surfaces développables.
En effet, les équations (12) nous donnent
dx = «i du -+- ( a\ u -+- b\ ) dv, dy = a-2 du -+- (a'2 u -+- 6'2 ) «fc, cfe = a3 <f«t -l- (a3 u ■+■ b'z ) dv.
Exprimons qu'il existe un point de la génératrice qui décrit une courbe tangente à cette génératrice; il faudra qu'en prenant pour u une fonction convenable de p, on ait
dx dy dz
CL\ Ct-2 a3 '
ce qui donne, en remplaçant dx, dy, dz par leurs valeurs,
Cli Cli «3
Si l'on tient compte de l'équation D = o, on trouvera que la valeur commune des trois rapports précédents doit être égale à zéro.
On devra donc avoir
et, par conséquent, les équations (18) expriment les conditions nécessaires et suffisantes pour que la surface soit développable.
Enfin, en substituant à v une fonction convenable de v, on pourra réduire le coefficient A à l'unité. Nous avons donc, comme forme réduite de l'élément,
(19) ds*=du*-h[(u — a)* -+-$*] dv* dans le cas des surfaces gauches, et
(20) ds*= du9- -+-(11 — a)2 dv"-
dans celui des surfaces développables, a et (3 désignant des fonctions de v (').
(') Cette théorie laisse toutefois de côté les surfaces réglées imaginaires pour lesquelles on a
et qui sont engendrées par des droites rencontrant le cercle imaginaire de l'infini.
70. De la forme de l'élément linéaire des surfaces développables, on déduit facilement qu'elles sont applicables sur le plan.
Reprenons, en effet, la formule (20) et décomposons le second membre en deux facteurs
du -+- i(u — a) dv, du — i(u — a) dv.
Si l'on multiplie ces facteurs respectivement par eiV, e"lv, ils deviennent des différentielles exactes, et l'on peut poser
( eiv[du -+- i(u — a) dv] = dx -+- i dy, (21) \
[ e~lv[du — i(u — a) dv] = dx — idy.
On a, en intégrant,
x -+- iy = ueiv — il cteiv dv, x — iy — ue~iv-+- i f a. e~iv dv.
D'ailleurs, en multipliant membre à membre les formules (21),
on obtient, pour l'élément linéaire de la surface développable,
l'expression
ds^= dx*~h dyt,
qui démontre la propriété annoncée.
Les formules (22) peuvent être remplacées par les suivantes :
x = u cos v -+- I a sin v dv, y = u sin v — / a cos v dv.
On voit qu'aux génératrices rectilignes de la surface, définies par la relation e = const., correspondent des droites du plan; par conséquent, les trajectoires orthogonales des génératrices ont pour transformées les courbes parallèles, trajectoires orthogonales des droites du plan qui correspondent aux génératrices rectilignes. A l'arête de rebroussement, u = a, de la développable correspond l'enveloppe de toutes les droites du pla-n. Tous ces résultats, que nous ne nous arrêtons pas à vérifier, sont bien d'accord avec les opérations mécaniques par lesquelles on réalise le développement de cette classe si importante de surfaces.
71. Nous venons d'indiquer un moyen d'appliquer la surface développable sur un plan. Il est naturel de se demander s'il n'y en a pas d'autre, et si, par exemple, on ne pourrait pas réaliser cette application de la surface en faisant correspondre aux génératrices reclilignes de la surface des lignes courbes du plan. Le raisonnement suivant donne la réponse à celte question.
Supposons que l'on ait, de deux manières difiérenles, appliqué la développable sur le plan, c'est-à-dire qu'on ait mis son élément linéaire sous les deux formes
dsz = dx"- -+- dy"-, ds'* = dx'2 + dy'2 ;
on en déduira
(24) dx2-\- dy2 = dx'2-+- dy'-.
Il est aisé de résoudre cette équation de la manière la plus générale*, on peut, en effet, la remplacer par l'un ou l'autre des systèmes
dx' = cosa dx — sina dy. dx' = cosa dx -+- sina dy, dy' = sina dx ■+- cosa dy, dy' = sina: dx — cosa dy,
où a est une inconnue auxiliaire, et qui se déduisent l'un de l'autre par le changement de y en — y. Considérons, par exemple, le premier. En écrivant que les seconds membres des équations sont des différentielles exactes, nous obtenons les relations
dct doc doi. . dct
sina-— = cosa — -, cosa- — = — sina-—,
dy dx dy dx
qui donnent
dx da
dx dy '
a est donc constante. En intégrant les formules (20) et désignant par x0, y0 deux nouvelles constantes, on aura
a/ = # cosa — y sina-t- x0, y' = x sina -\- y cosa -1-jKo-
Ce sont les formules de la transformation des coordonnées. Par suite, #, y et x', y' peuvent être considérées comme les coordonnées d'un même point du plan, rapporté à des axes différents; et les deux représentations de la surface développable ne doivent pas être regardées comme réellement distinctes.
72. Une autre question très intéressante se présente ici. Nous venons de voir que l'enveloppe d'un plan mobile est applicable sur le plan. La réciproque est-elle vraie, et toute surface applicable sur le plan est-elle l'enveloppe d'un plan mobile? Cette proposition a toujours été admise par Monge et les au 1res géomètres de son époque, comme le prouve le nom même de surface développable donné dès le début à l'enveloppe d'un plan mobile ('). Elle est un corollaire immédiat des propositions générales que nous aurons à développer dans la suite; mais nous pouvons, dès à présent, en donner une démonstration directe et très simple, due à M. O. Bonnet (2).
Soient se, y, z les coordonnées d'un point de la surface cherchée, applicable sur un plan, et soient a, (3 celles du point correspondant sur le plan. On doit avoir
(26) dxï^-dyï-h dz2 = c/a2-+-dp2,
ce qui donne les trois équations
) (dx\~
H%hm
| dx dx
dy dy dz dz
+ dâ dp + dâ~ dp
Difïérentions les deux premières de ces équations ; nous aurons
/ dx d%x 1 dv. da2
dy d2y da doc%
dz à2z da da2
1 dx à2x
dy d2y
df dp
dz d*z
"^ d8 dp2"
\ dx à2x
dy à2 y
dz d*z
1Ô 3ÔT = °>
da da dp da da dp da da à$ dx d-x dy d% y dz d2z
dp dadp d^ da dp dp da dp Difïérentions maintenant la dernière des équations (27); en tenant
(') Voir, en particulier, le Chapitre sur les surfaces développables dans Y Application de V Analyse à la Géométrie de Monge. (:) Annali di Matematica, 2° série, t. VII, p. 61.
compte des précédentes, nous trouverons
dz d*
dx ~àx~
+ dx
dp
du
d*z dfi
dx
dp dtf
dz
d*z ~dxJ
En comparant les équations (28) et (29), nous voyons que l'on doit avoir
dx2 d\y
dx-
d'lx
dx à$ d'1x
dxdp
à-y dx d$ d\y
(Jp2
d<xd'{> d*z
da.à$
dxà[i
, , . . N -, dx dy àz c ,,
Le système (A) nous apprend que — , j-> — sont Jonctions d une
même variable, le système (B) établit qu'il en est de même pour
—t, -jp-, -7g- Mais, par suite de la dernière équation (27) ou de
l'une des équations (29), les deux variables dont dépendent ces deux groupes de dérivées sont fonctions l'une de l'autre et, par conséquent, les six dérivées de x, y, z sont fonctions d'une même variable, que nous désignerons par t.
Cela posé, si l'on désigne par/) et q les dérivées de .s considérée comme fonction de x et de y, p et q seront déterminées par les équations
dz dx dy dz dx dy
dz~=Pdx~+9àx~: df,==P^ + q^:
qui montrent que p et q sont fonctions de t ; donc p est fonction de q, ce qui caractérise, on le sait, les surfaces enveloppes d'un plan mobile.
Le nom de développables donné à ces surfaces est ainsi pleinement justifié.
SURFACES DEFINIES PAR DES PROPRIETES CINEMATIQUES. 127
