CHAPITRE I
DU DEPLACEMENT A UN PARAMETRE; APPLICATION A LA THEORIE DES COURBES GAUCHES.
Déplacement d'un système invariable ayant un point fixe. — La vitesse absolue d'un point rapporté au système invariable est la résultante de sa vitesse relative et de sa vitesse d'entraînement. — • On donne d'abord les formules qui permettent de définir un déplacement fini, c'est-à-dire le passage d'un système fixe d'axes rectangulaires à un système mobile de même nature, et l'on rappelle les expressions des neuf cosinus en fonction des angles d'Euler. — On donne également les expresssions des mêmes cosinus en fonction des quantités ~k, \i, v, p qui font connaître simplement la rotation finie par laquelle on, réalise le passage des axes fixes aux axes mobiles. — Définition des paramètres quaternioniens.
On définit le mouvement du trièdre mobile par les composantes p, q, r de la rotation instantanée, relatives aux axes de ce trièdre. — Expressions des dérivées des neuf cosinus. — Solution d'un problème fondamental : déterminer le mouvement quand on se donne les composantes />, q, r en fonctipn du temps. — La solution est unique et exige l'intégralion d'un système linéaire à trois inconnues.
Cas où le système mobile n'a plus de point fixe. — Il faut joindre à p, q, r les trois composantes par rapport aux axes mobiles de la vitesse de l'origine de ces axes. — Ici encore il y a un seul mouvement correspondant à des valeurs données de ç, i\, Ç, p, q, r. — Composantes de la vitesse absolue d'un point
rapporlé aux axes mobiles. — Détermination de l'axe du mouvement hélicoïdal instantané. Cas où ce mouvement se réduit à une rotation. — Réduction du mouvement instantané à deux rotations. — Droites conjuguées. Application de la théorie précédente à l'étude des courbes gauches. — Les propriétés de ces coiïrbès se déduisent de l'étude du mouvement d'un trièdre formé par la tangente ,à la courbe, la normale principale et la binormale. — Propriétés caractéristiques de ce déplacement : Les translations t\, Ç et la rotation q sont nulles. Les deux composantes p et /■ représentent respectivement la torsion et la courbure de la courbe. — Distinction essentielle entre la courbure et la torsion. — Calcul de divers infiniment petits. — Théorie des développées. — Enveloppe du plan rectifiant. — Toute courbe pour laquelle le rapport de la courbure à la torsion est constant est une hélice tracée sur un cylindre quelconque. Ce cylindre est circulaire dro.it si la courbure et la torsion sont constantes. — Étude des courbes, dites de Bertrand, pour lesquelles les normales principales sont normales principales d'une autre courbe. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit, en général, qu'il y ait une seule relation entre la courbure et la torsion. — Relations entre les deux courbes qui ont mêmes normales principales. — Propriétés relatives à certaines droites conjuguées.
\. Considérons un corps solide ou système invariable, mobile autour d'un point fixe. On sait qu'à un instant quelconque Jes vitesses des différents points du système sont les mêmes que s'il tournait autour d'une droite passant parle point fixe, droite qui a reçu le nom ^ axe instantané de rotation. On démontre en Mécanique que les rotations peuvent être représentées géométriquement par des droites, comme les forces, et composées ou décomposées suivant la même loi, c'est-à-dire que, si Ton compose ou si l'on décomposé les rotations comme les forces, la vitesse imprimée par la rotation résultante à un point quelconque est la résultante des vitesses qui seraient communiquées au même point par chacune des rotations composantes, existant isolément. On sait aussi que, §i l'on considère un point mobile par rapport au système invariable, la vitesse absolue de ce point est la résultante de sa vitesse relative et de sa vitesse à? entraînement. On désigne sous ce nom la vitesse qu'aurait un point qui, à l'instant considéré, coïnciderait avec le point mobile, mais demeurerait invariablement lié au système solide.
Il résulte de ces propositions qu'on pourra construire, à un instant quelconque, les vitesses de tous les points du système invariàble\dès qu'on aura, en grandeur et en direction, la rotation à cet mstant. Il semblerait naturel de déterminer à chaque instant cette rotation par ses composantes relatives à trois axes reclangu-
laires, fixes dans l'espace et ayant pour origine le point fixe du système solide. En réalité, les éléments les plus importants, les seuls qui permettent le plus souvent une étude approfondie du mouvement, ce sont les composantes de la rotation relativement à des axes mobiles, entraînés dans le mouvement du système invariable. Rappelons rapidement la méthode employée en Mécanique. Soient OX, OY, OZ trois axes fixes passant par le point fixe O du système et Ox, Oy, Os trois axes rectangulaires invariablement liés au système mobile. Nous supposerons que les deux systèmes d'axes aient la même disposition, c'est-à-dire qu'ils puissent être amenés à coïncider. De plus, nous supposerons que les sens des axes aient été choisis de telle manière que la rotation autour de OZ, qui déplacerait OX du côté de OY, soit représentée par une droite dirigée suivant la partie positive de OZ. Nous déterminerons les axes mobiles par les cosinus des angles qu'ils forment avec les axes fixes. Pour cela nous écrirons le Tableau
qui fait connaître les cosinus des angles formés par chacun des axes fixes avec les axes mobiles.
On a les relations
aa1 '-+- bb' -+- ce' = o, ab -\-a' b'-\- a" c" == o,
abc
auxquelles il faut joindre toutes celles qu'on obtiendrait par des permutations circulaires effectuées, soit sur les lettres, soit sur les indices. Rappelons encore que les neuf cosinus peuvent être
exprimés par les trois angles d'Euler, au moyen des formules (')
/ a = cos6 sincp sini}; -+- coscp cosJ/, b = cos6 siinj; coscp — cos^ sincp, c = siri 0 sin ^, a' = cos G cos 41 sincp — sin <1> coscp,
(2) l b"^= cos 8 cos*}1 coscp -+- sin ^ sincp, c' = sinô cosd', a' = — sinO sincp, b" — — sinô coscp,
i c" = COS0.
Un autre système de formules, également dû à Euler, doit être rappelé ici. On sait que les axes fixes peuvent être ramenés à coïncider avec les axes mobiles par une rotation d'angle fini autour d'une droite passant par le point O. Si l'on désigne par 9 l'angle de cette rotation, par a, [3, y les angles de son axe avec les axes fixes (et aussi avec les axes mobiles) et si Ton pose
(3) - = cos a tans;-» — = cos p tans,- > - = cos y tan 2; -, p 2 p 2 p 2
les formules qui permettent de passer des axes fixes aux axes mobiles seront
i' BX = (p2 + X2— pi2 — v*)x-\- 2(X;ji -t- vp)jK -H 2(Xv — \J-p)z
(4) ) BY =2(X|JL — Vp)a7-h(p2+^-X2-V2)j+ 2([JIV-+-Xp)5,
( BZ = 2(Xv -+- p.p ) ar -+- a ( p.v — Xp)j + (p2-j-v2 — X2— ^)z, B désignant, pour abréger, la somme
(5) B = X2-i- |j.2-f- v2-hp2.
(') Dans ces formules, 4* désigne l'angle de OX avec l'intersection commune ON des deux plans des xy et des XY, cp désigne l'angle deO^c avec la même droite ON ; enfin 9 est l'angle de Os et OZ. L'angle cp mesure la grandeur de la rotation qu'il faut imprimer à ON dans le plan des xy, et dans le sens direct, pour faire coïncider ON avec Ox; on peut supposer qu'il varie de o° à 1800. De même, <\> mesure la rotation que. l'on doit imprimer à ON dans le plan des XY, toujours dans le sens direct, pour amener cette droite à. coïncider avec OX : cet angle varie de o° à 36o°.
De là résultent les valeurs suivantes des neuf cosinus :
!B«=p2-l-X2 — fa2 — v'2, Bb = aXjji -t- avp, Bc = ilv — i \xp,
Brt' = 2Xfi. — 2Vp, B 6' = p2 -H [Jt.2 — X2 V2, Bc' = 2 [JLV -+- 2Xp,
Ba"= 2Xv +.2[jip, B6" = 2(i.v — aXp, B c" = p2+- v2 — X2-
qui sont cette fois des fonctions algébriques des trois arbitraires ('). Les valeurs des cosinus ne dépendent que des rapports mutuels de X, a, v, p. Gomme B n'est pas nul, il y aura souvent avantage à le prendre égal à i . Si l'on suppose
(7) XM-^ + ^H-p^i,
les formules (3) nous donneront les valeurs suivantes :
(8) X = cosasin-j \x = cos S sin - > v=cosYsin-5 p = cos->
de A, [x, v, p. Nous dirons que ces valeurs sont les paramètres quaternioniens du déplacement. Il est clair qu'elles le déterminent complètement.
Remarquons qu'on peut changer simultanément tous les signes des paramètres quaternioniens. Cela revient à remplacer 6 par
Désignons maintenant par/), q, r les composantes de la rotation à l'instant t par rapport aux axes mobiles. Considérons un point dont les coordonnées soient a?, y, z, relativement aux axes mobiles, et cherchons les composantes de sa vitesse absolue par rapport aux mêmes axes. En écrivant que celte vitesse absolue est la résultante de la vitesse relative et de celles qui seraient dues aux trois rotations />, q, /', on obtiendra les expressions suivantes de ces composantes :
dy
(9) ( vr=-^--t-ra?— pz,
dont nous aurons souvent à faire usage.
(') Pour la démonstration de ces formules, on pourra consulter soit les Leçons de Cinématique théorique de M. G. Kœnigs, p. 344, s0't la Note Vde la 4° Partie de cet Ouvrage, ire édition.
Nous allons montrer, dès à présent, comment on peut en déduire les expressions de />, q, r en fonction des neuf cosinus et de leurs dérivées par rapport au temps. Pour cela, considérons le point pris sur l'axe OX à la dislance i . Ce point a pour coordonnées relatives (c'est-à-dire relativement aux axes mobiles) «, b. c. En exprimant que sa vitesse est nulle et en appliquant Jes foi'mules (g), nous obtiendrons les équations fondamentales
da -, db de 7
(,o) -dï=br-cq' -dl = cP-ar' Tt = aq~h?>
auxquelles on peut joindre les suivantes :
. , da' 7 , . db' , , de' , , ,
(I0) =è/.cgrj = c/>«,., —=ag bp;
. .„ da" ,; db" „ „ de" „
(10) ~ = br-eq, —=cp-ar, — =aq-bp,
qu'on démontrera de la même manière.
On déduit de là les formules
/ p dt = Sc db = — S 6 de,
(11) ' q dt = Zade — — Zc da, \ r dt = S b da = — S a db,
qui donnent les valeurs cherchées des rotations. Si l'on remplace les cosinus par leurs expressions en fonction des angles d'Euler, on aura le système
. . dû d%
^smcpsinô — -cosep-,
. adty . d%
(12) < q = coscpsmt) —j- -+- sincp-— ,
dt dt
qu'il serait aisé de démontrer géométriquement. En résolvant par rapport aux dérivées des angles, on trouve
/ dï)
l -7- = q sincp — />coscp,
(i3) '. si nQ -~- = q cosep-f-jt? sincp,
[ ~~ = /• -|- cotOCjo sincp -+- q cosep).
Si, au lieu d'employer les premières formules d'Euler, on utilisait les secondes avec les arbitraires X, ui, v, p, on trouverait de même
; 1 „ du cfa . do dk
l 2 J dt ' dt dt ' dt
} 1 , . </v <7X e?o rfiJt
K *' I '2 dt dt ' dt ' dt
1 „ dk . du. do dv
On pourrait faire dans ces formules p = i; mais il vaut mieux conserver l'homogénéité, ce qui permet de considérer les rotations de 1800, pour lesquelles onap = o.
En introduisant la dérivée de B, on peut résoudre ces équations par rapport aux dérivées de X, pi, v, p, ce qui donne
[ d\ dlosB.
