k-hru. — ov — pp
dt dt r . 2 /- n
do . dlosB
-= /,X + gr[,+rv+— 77-
Si les paramètres sont ceux que nous avons appelés quaternio-
1 1 r» 1 «flocB , . ,
mens et pour lesquels on a t> = i , le terme — -y2 — devient nul, et
les formules se simplifient.
2. Tout cela étant rappelé, nous allons étudier la question suivante, qui est fondamentale dans notre théorie : On donne p, g, r en fonction du temps t, et Von propose de déterminer complètement le mouvement.
Il est clair que la question sera résolue si l'on aies expressions des neuf cosinus en fonction du temps. Or il résulte immédiatement des formules (10) que, si l'on sépare les cosinus en trois groupes, formés respectivement de «, b, c; a', b', c' ; a", b", c", les trois cosinus de chaque groupe sont des solutions simultanées
8 LIVRE I. — CIIAP. I
du système
(16) < -£ = y/> — ar,
= aq — p/».
Toute la difficulté se réduit donc à l'intégration de ce système. L'étude détaillée de cette intégration fera l'objet du Chapitre suivant. Pour le moment, nous nous contenterons de signaler les propriétés du système.
D'abord, par suite de sa forme linéaire, il admettra toujours une solution, et une seule, pour laquelle les valeurs initiales de a, [3, y seront données.
En second lieu, si a, [i, y; a', jii', y' désignent deux systèmes de solutions quelconques, les expressions
a2 + p2 + Y25 aa' + pp' + n's a"2 + p + y'2
seront des constantes. On le reconnaît aisément en les différenliant et tenant compte des équations (16).
Ces propriétés vont nous permettre d'établir qu'il y a toujours, quelles que soient les expressions de/?, g, /en fonction du temps, une infinité de mouvements dans lesquels ces trois quantités sont les composantes de la rotation relativement aux axes mobiles.
Considérons en effet un trièdre trirectangle (T0), de même sens que le trièdre OXYZ, formé par les axes fixes et soient a0, b0, c0, ... les cosinus directeurs de OX, OY, OZ par rapport aux axes de (T0). Déterminons les trois systèmes de solutions des équations (16), a, b, c; a', b', c' ; a", b'\ c" , qui correspondent respectivement aux valeurs initiales suivantes : a0l b0, c0; #„, b'0,
Les fonctions, telles que
a- -h b°-+- c2, a a' -+- bb' -+- ce', ...,
ayant pour valeur initiale 1 ou o, et devant rester constantes d'après les propriétés du système (16), ne cesseront pas de conserver leurs valeurs initiales; par conséquent, les neuf quantités
<7, a' , d' 1 . . . seront à chaque instant les cosinus directeurs de trois droites rectangulaires formant un trièdre mobile (T) dont la position initiale sera (T0). Comme cette position initiale peut être choisie à volonté, on voit qu'il existe une infinité de mouvements pour lesquels p, q, r sont des fonctions données du temps.
Tous ces mouvements, qui dépendent de Irois constantes arbitraires, se réduisent au fond à un seul, mais qui serait rapporté à des axes fixes différents.
En effet, considérons, dans l'un quelconque d'entre eux, la position occupée par le Irièdre mobile à l'instant initial, et choisissonsla pour le système d'axes fixes auquel nous rapporterons le mouvement du système mobile. Les valeurs initiales des neuf cosinus sont alors i ou o; la solution qui correspond à ces valeurs numériques ne contient aucune constanle arbitraire et est bien déterminée.
Il résulte de ce qui précède que, lorsqu'on aura obtenu une solution quelconque du problème, c'est-à-dire un système de valeurs des neuf cosinus, il suffira, si l'on veut avoir la solution la plus générale, de changer d'axes fixes, ce qui introduira trois constantes ; puis de supposer que les nouvelles formules se rapportent aux anciens axes.
3. Nous allons maintenant étudier le cas où le système mobile n'a plus de point fixe. Alors il faut joindre aux composantes /j», q, r celles de la vitesse de l'origine O des axes mobiles, prises toujours relativement aux axes mobiles Ox, Oy, Oz. Désignons-les par £, tj, Ç; jointes aux trois rotations, elles interviennent dans toutes les questions relatives à l'étude du mouvement. Supposons que l'on connaisse les expressions de ces six quantités en fonction du temps, et cherchons comment on déterminera le mouvement du trièdre mobile. Désignons par (T) ce trièdre mobile, et soit (T') le trièdre dont l'origine est un point fixe quelconque et dont les axes sont parallèles à ceux de (T). A un instant quelconque, les deux trièdres sont animés de la même rotation et, par conséquent, les neuf cosinus se détermineront au moyen de/), q, r comme dans le cas précédent; d'ailleurs, si X0, Y0, Z0 désignent les coordonnées de l'origine mobile O par rapport aux axes fixes, on a évidemment, en projetant la vitesse de cette origine sur les
axes fixes,
(17) ^=a'Ê + 6'r):Vc'£
\ dt s '
Quand on aura déterminé les cosinus, ces formules feront connaître X0, Y0, Z0 par de simples quadratures, qui introduiront trois constantes nouvelles.
Ici encore, tous les mouvements possibles correspondant aux différentes valeurs des six constantes arbitraires se réduisent à un seul et même mouvement, observé par rapport à des axes différents; car l'intégration n'introduit aucune constante arbitraire et ne donne qu'un seul mouvement, si l'on suppose que les axes fixes coïncident avec la position initiale des axes mobiles.
Je rappellerai, relativement au cas que nous venons de considérer, que, si x, y, z sont les coordonnées d'un point relativement aux axes mobiles, la vitesse absolue de ce point aura pour composantes, relatives aux mêmes axes, les trois quantités
Considérons, par exemple, les points invariablement liés au système mobile et cherchons ceux pour lesquels la vitesse est minimum. Il faudra déterminer les valeurs de x,y, z rendant minimum la somme
(ê -+- gz — '7')2+ ('i -+- rx — pz)*+ (X +py — g*)--
En égalant à zéro les dérivées par rapport à #, à jet à s, on obtient trois équations qui se réduisent aux deux suivantes :
jj -+- gz — ry f] -h rx — p z Ç -\- py — q x (19) - - - - -
Ces deux équations représentent une droite, l'axe central du
qz
— ry
dx ~di
Vy =
rx
— pz
dy ~di
py
dz ~di
mouvement à l'instant considéré. On trouve facilement, pour la valeur commune des rapports précédents,
ce qui donne, pour la valeur minimum de la vitesse,
La condition nécessaire et suffisante pour que le mouvement du système se réduise à une simple rotation est donc la suivante :
(20) Zp + r.q + £>• = 0,
et, dans ce cas, l'axe de rotation est représenté par les trois équations
/ £ -hqz — ry = o,
(21) / T) -+- rx — pz =0,
( ? +py — qx = o,
qui caractérisent en effet les points dont la vitesse est nulle, comme le montrent les formules (18).
D'après ces remarques, il est aisé de trouver les formules qui décomposent le mouvement en deux rotations infiniment petites.
Ce mouvement, en effet, résulte de la composition de celui qui correspond aux valeurs., choisies arbitrairement, ?des rotations et des translations,
et du mouvement qui correspond aux valeurs
des mêmes éléments. Pour que les deux mouvements composants se réduisent à des rotations, il faut et il suffit que l'on ait à la fois ,
1 a~^") (P -P') -^ (■n-r/)(q - q') + (£-1:') (r - r') = o, en sorte que les axes des deux rotations conjuguées sont définis
respectivement par les équations
Si ion prend les équations d'une droite quelconque sous la forme Huckérienne
[ a' 4- bz — cy = o,
(24) •! b' -\- ex — az = o, [ c' -+- a y — bx = o,
avec la condition nécessaire
(25) • aa' -+- bb' -+- ce' = o,
on voit que, pour qu'il soit possible de la choisir pour axe d'une des deux rotations conjuguées, il faut qu'on puisse prendre
X étant une arbitraire à déterminer. La première équation (12) étant vérifiée d'elle-même, la seconde nous donnera
(27) p\ -+- qrx -1- rt — \{a' p ■+■ b' q -+- c' r -+- a\ -4- bq -H c£) = o,
équation qui déterminera une valeur de X, à moins qu'on n'ait ( 28 ) a! p -+- b' q -h c' /■ ■-+- a\ -+- 5tj -(- c Ç = o.
Cette relation caractérise les droites qui sont perpendiculaires au déplacement d'un de leurs points et, par conséquent, de tous leurs points. Nous retrouvons donc ce résultat connu que toute droite peut être choisie pour axe d'une des deux rotations conjuguées en lesquelles on peut décomposer le déplacement, à, moins qu'elle n'appartienne au complexe des droites qui sont perpendiculaires aux déplacements de tous leurs points.
Ce complexe est défini par l'équation (28), on sait d'ailleurs
if =Xa',
p' = Xa,
q'=lb,
DU DÉPLACEMENT A UN PARAMÈTRE. l3
qu'il comprend toutes les droites qui rencontrent deux axes conjugués de rotation.
4. Pour indiquer, dès à présent, une application des propositions précédentes, considérons une courbe gauche quelconque et étudions le mouvement du trièdre (T) formé par la tangente, que nous prendrons pour axe des x\ par la normale principale, que nous prendrons pour axe des y, et par la binormale, qui sera l'axe des z.
Prenons l'arc s comme variable indépendante ou, ce qui est la même chose, supposons
ds
dt
On a ici
et, si x, y, z désignent les coordonnées par rapport à des axes fixes du point de la courbe qui est le sommet du trièdre,
, dx , dy ,. dz
ds ds ds
Les formules générales. (10) nous donnent
(3o) da — (br — cq)ds, db = (cp — ar) ds, de — (aq — bp)ds.
Exprimons que la binormale, dont les cosinus directeurs sonte, c', c", est perpendiculaire au plan oscillateur, c'est-à-dire aux deux droites dont les cosinus directeurs sont respectivement «, a', ce' et a -+- da, a! -\- dd ', a"-\-da". L'une des équations sera vérifiée d'elle-même; l'autre nous donnera la condition
S c da = — q ds = o .
Ainsi la composante q doit être nulle et les formules (3o) se réduisent aux suivantes :
. „ . da 7 db de 7
(3l> dJ = br' ds~ = Cp-ar' Ts=~bp'
où l'on peut remplacer a, b, c par a', b', c'\ a", b'r, c". Il reste à obtenir la signification géométrique de p et de r.
Menons, par un point fixe quelconque, des parallèles aux axes du
trièdre (T). Elles forment un Irièdre (T,) dont les translations sont nulles et dont les rotations sont évidemment les mêmes que celle du trièdre (T). Un point situé à la distance i sur l'axe des x du trièdre (T\) aura une vitesse dont les composantes seront, d'après les formules (9),
et, par conséquent, lorsque s augmentera de ds, ce point décrira le chemin rds. En d'autres termes, la tangente à la courbe tournera de l'angle rds, quand son point de contact décrira l'élément d'arc ds. Par suite, la composante r sera égale à la première courbure - de la courbe. Nous poserons donc P l
Prenons de même un point situé à la distance 1 sur l'axe des z du Irièdre (T,), les composantes de sa vitesse seront
et, par conséquent, Je plan osculateur tournera de l'angle pds quand le point de la courbe décrira l'arc ds. En d'autres termes, p sera la torsion de la courbe. Ainsi nous pourrons poser
Les. formules (3i) deviendront alors
da b db c a de b
ds p ds t p ds x
On reconnaît, avec un très léger changement de signe sur lequel nous allons revenir, les formules qui portent le nom de Serret- Frenet, et qui jouent un rôle si important dans la théorie des courbes gauches.
5. La méthode qui nous a permis de les établir met en évidence quelques propositions dont on fait un usage continuel dans les démonstrations géométriques.
, Etant donnée la courbe gauche (G), si l'on mène par l'origine une
droite de longueur égale à i parallèle à la tangenle, l'extrémité de cette parallèle décrira une courbe sphérique (C^), que M. Paul Serret a considérée le premier et qu'il a appeléel'indicatrice sphérique de la courbe proposée. Il résulte de ce qui précède que la tangenle à l'indicatrice sphérique est parallèle à la normale principale de (C); car le point qui décrit l'indicatrice sphérique est celui qui est situé à la distance i sur l'axe des x du trièdre (T,): et nous
avons vu que la vitesse de ce point, égale à -s est parallèle à la normale principale.
De même si. par l'origine, nous menons une droite de longueur i parallèle à la binormale, l'extrémité de cette droite sera le point situé à la distance i sur l'axe des ; du trièdre (T,), ce point aura
une vitesse qui sera égale à — -et sera encore parallèle à la normale
principale. Il décrit une courbe sphérique (G2) à laquelle nous donnerons le nom à' indicatrice sphérique des binormales, réservant le nom d'indicatrice des tangentes à la courbe (C,). On obtiendra l'indicatrice des binormales en portant, sur les grands cercles normaux à l'indicatrice des tan°enles. une longueur éçale à un quadrant. En d'autres termes, les deux indicatrices seront des courbes polaires l'une de l'autre.
L'indicatrice des normales principales, s'il y a lieu de la considérer, sera la courbe polaire de l'enveloppe des normales communes aux deux premières indicatrices.
6. Supposons que les coordonnées x, y, z des points de la courbe gauche (Ci, rapportées à des axes fixes, soient des fonctions connues d'une variable u. Les formules que nous avons données plus haut nous permettront de calculer la courbure et la torsion. ?Sous allons faire ce calcul, car il nous permettra de faire remarquer une différence essentielle entre la courbure et la torsion.
Désignant par des lettres accentuées les dérivées de x, y. s, nous aurons d'abord
d s = yjx'1^- y- — z- du = \du.
Puis les formules (29) nous donneront
l6 LIVRE I. — CHAP. I.
On déduira ensuite des formules (3i), par un calcul facile,
Ainsi, tandis que la courbure ne peut être obtenue, en général, que par V extraction cVune racine carrée, la torsion s'exprime au contraire rationnellement.
Il j a là une différence essentielle entre les deux éléments que l'on confond très souvent en les réunissant dans l'appellation commune : courbures de la courbe.
On verra facilement qu'avec la convention inlroduite dans les formules (34), une hélice dextrorsum aura sa torsion posilivé; une hélice sinistrorsum aura, au contraire, sa torsion négative.
La dernière formule (36) est susceptible d'une interprétation géométrique élégante. Soit M un point quelconque de la courbe gauche et prenons sur cetle courbe quatre points quelconques Mt , Mo, M3, M4, infiniment voisins de M. Proposons-nous d'évaluer le volume du tétraèdre M, M2M3M4. 11 sera défini, en grandeur et en signe, par la formule
[ xv yt z i x2 y% z i x3 ys z i xw yk z
où Xi, yi, z-i désignent les coordonnées du point M*.
Si le point M; correspond à la valeiir u -+- ht du paramètre u, on aura évidemment
Xi = x -+- x h ; -+- x 1- x — h . : . ,
yt=y-±-y ht+y — +j -g- -+-••-,
i'-hi-h z"— -+-
Le volume V du tétraèdre deviendra donc
i Ai -L — i- 2 6
Af A|
AI Aï
en négligeant la quatrième puissance et les puissances supérieures de hi.
La formule précédente nous donne
72 V = Ç(hi, hi} A3, K)
Ç(/i(, Aa? A33 /*4 ) désignant le produit suivant
(hK — Ai) (A4— A2) (A4 — A3) (A3— Ai) (A3— A2) (A, — A,).
D'après la dernière formule (36), on a
Tp»
D'autre part, le premier terme du développement de l'arête M /M a
est évidemment
On peut donc, en négligeant les infinimenl petits d'ordre supérieur, écrire la formule entièrement géométrique
72 V = — MtM2 M, M3 Mt M4 M2M3 M2Mt M3 M4,
Xp2
qui résout complètement le problème proposé. Elle est tout à fait analogue à la suivante
4 S = -MiM2 M,M3M2M3,
qui donne, sur une courbe plane ou gauche, l'aire du Iriangle formé par les Irois poinls infiniment voisins M,, M2, M3.
La formule (37) prêle à un grand nombre d'applications. Nous signalerons seulement la suivante. On sait que le volume V admet l'expression
v = ^mTmI i\MMsine,
6 désignant l'angle des deux arêtes opposées M,M2, M'3M4 du tétraèdre et S étant leur plus courte distance. En remplaçant V par cette expression dans la formule (27), on aura donc
