CHAP

de x,

;, t et

élimination

le ces

coordonnées conduit à l'équa-

tion

~àà

dv àâ

àv

dxd$ d*v

dzà$

àw

dj dp

d* w dad,3 d*p

dxd$

qui ne contient plus que les coordonnées tangenlielles.

Inversement, toutes les fois que l'équation (17) sera satisfaite, il existera des valeurs de a?, y, z, t vérifiant les équations (12) el la troisième des équations (16) ; ces équations expriment que x, y, z, t sont les coordonnées du point de contact du plan défini par l'équation (10) avec la surface qu'il enveloppe et, en outre, que les deux familles (a), (J3) tracées sur cette enveloppe sont conjuguées. L'équation (1 7) est donc, dans tous les cas, caractéristique des systèmes conjugués.

De même, en éliminant u, v, w, p entre la première des équations (12), les deux équations (i3) et la seconde équation (16), on trouvera la condition à laquelle doivent satisfaire les coordonnées ponctuelles

~dH.

àj

àadfi

do.

dzdfi

àH

dot.

dzdfi

et l'on démontrera comme précédemment que cette condition, qui est nécessaire, est aussi suffisante.

En répétant le raisonnement déjà donné au n°83, on obtiendra immédiatement la proposition suivante :

La condition nécessaire et suffisante pour que deux familles de courbes, de paramètres a. et [3, soient conjuguées, est que, soit les coordonnées ponctuelles homogènes, soit les coordonnées

tangentielles, satisfassent toutes les quatre à une équation aux dérivées partielles de la forme

(19) j— jô + A — h- B -^ -h ce = o,

dxd$ d% dp

où A, B, G désignent des fonctions quelconques de a et de fi (*).

La transformation homograpliique ne changeant pas les coordonnées homogènes, pourvu que Ton fasse varier le tétraèdre et les paramètres de référence, et la transformation par polaires réciproques étant équivalente à un échange des coordonnées ponctuelles et des coordonnées tangentielles, on voit que la méthode précédente met bien en évidence le caractère projectif et dualistique de la définition des systèmes conjugués.

Si l'on emploie les coordonnées cartésiennes ordinaires, la coordonnée t devra être égalée à l'unité; par suite, l'équation (19) devra être vérifiée par la valeur Q — 1 . On devra avoir

et l'on retrouvera le résultat du n° 83.

108. En terminant ces développements, je remarquerai qu'il est impossible de trouver deux équations de la forme (19) auxquelles satisferont en même temps les quatre coordonnées ponctuelles, tant que la surface ne se réduira pas à une courbe, ou les quatre coordonnées tangentielles, tant que la surface ne sera pas développable.

En effet, supposons que les quatre coordonnées vérifient deux

équations linéaires de la forme fio). L'élimination de - — -^ entre ^ v z" d<zdp

ces deux équations nous conduira à une équation du premier

ordre

c'a dp

à laquelle devront encore satisfaire ces coordonnées. Or, la solu-

(l) Il est utile de remarquer que l'équation linéaire à laquelle satisfont les quatre coordonnées ponctuelles n'est pas, en général, la même que celle à laquelle satisfont les quatre coordonnées tangentielles.

lion générale de cette équation est de la forme

0 = eoF((jo),

F désignant une fonction arbitraire et 90, o"o des fonctions déterminées ; par conséquent, si l'on divise toutes les coordonnées homogènes par 0o, on les réduira à des fonctions de la seule variable <70. Si les coordonnées sont ponctuelles, le point décrit une courbe, et si elles sont tangentielles, le plan enveloppe une développable.

Ainsi, à toute surface non développable, et à tout système conjugué tracé sur cette surface, correspondent deux équations, et deux seulement, de la forme (19). L'une est vérifiée par les coordonnées d'un point quelconque de la surface, et l'autre par les coordonnées d'un plan tangent quelconque de la surface.

109. Le théorème précédent permet évidemment de construire une infinité de surfaces sur lesquelles on connaîtra des systèmes conjugués (' ). Nous allons, dès à présent, en faire une application en cherchant les surfaces pour lesquelles il existe deux familles conjuguées formées exclusivement de courbes planes.

Si les coordonnées tangentielles satisfont à l'équation

d*Q dïûH °'

la surface correspondante la plus générale sera l'enveloppe du plan défini par l'équation

Or, on reconnaît sans difficulté que cette surface jouit de la propriété indiquée ; car, pour avoir l'enveloppe du plan tangent, il faut joindre à l'équation (20) les deux suivantes :

fi(a)x 4-/; (a) y +/8 ( oc) z +/t (a) t = o, ?ï(P)^-H'P'»(P)^ + ?i(P)aH-«p'4(P)**o1

(') Darboux, Mémoire sur la théorie des coordonnées curvilignes et des systèmes orthogonaux (Annales de V École Normale, 2° série, t. VII, 1878, p. 293 ).

qui ne contiennent chacune qu'une seule des variables a, [i et montrent ainsi que les deux familles conjuguées a = const., (3 = const. sont composées de courbes planes.

La solution que nous venons d'obtenir est très générale ; on peut démontrer qu'il n'y en a pas d'autre. Pour cela, nous définirons la surface cherchée comme enveloppe du plan

(22) [iX + cY+icZ + pT^o.

Prenons la dérivée de cette équation par rapport à a, nous aurons

, o ^ au „ dv „ dw dp

(23) X- + Y-+ZT+Tf=o.

0% ôa. c'a c'a

Ces deux équations représentent, on l'a vu, la tangente à la courbe a = const., toutes les fois que les deux familles (a), ([3) sont conjuguées.

Or, si les courbes de paramètre a sont planes, elles seront déterminées par une équation de la forme

et, par conséquent, les trois plans définis par les équations (22), (23), (24) contiendront une même droite, la tangente à la courbe a = const. ; l'une de ces trois équations devra donc être une combinaison linéaire des deux autres. Ecrivons que la troisième s'obtient en ajoutant les deux autres, respectivement multipliées par tji et parX ; nous aurons le système

/i(a;= jj.w+ A—,

En éliminant, par une difierentialion, les fonctions f{ (a), ..., on verra que u, v, w, p doivent satisfaire à la même équation du second ordre

ip(^-+-xË) = 0'

c'est-à-dire

, d^O dO dX d8 du.

dadp da dp dp dp

En considérant de même les courbes (3 = const., on trouverait que les coordonnées tangentielles doivent aussi satisfaire à l'équation semblable

,, d*0 , dO dX' dO n du.'

dadp da da dp da

Or, nous avons vu que u, v, w, p ne peuvent satisfaire en même temps à deux équations delà forme précédente, au moins tant que la surface n'est pas développable. Il faudra donc que les équations (25), (26) soient identiques; ce qui donne les conditions

u' dlogX \x dlogX' I du. 1 du.'

W = d[i ' X = da ' X dp7 = V dâ~'

En portant les valeurs de y. et de u.' dans la dernière équation,

nous trouvons

d2logX d2logX' dad^ "" docàfi '

d'où l'on déduit, en intégrant,

ce qui donne

Si nous portons cette valeur de u. dans l'équation (25), elle prend la forme

On voit que, si nous multiplions les quatre coordonnées u, v, w, p par une même fonction A/(a), ce qui est évidemment permis, elles satisferont à l'équation

dadp °'

et l'on retrouve la solution que nous avons donnée a priori.

Il est vrai que nous avons écarté de notre raisonnement l'hypothèse où la surface serait développable. Mais, pour obtenir une

SYSTÈMES CONJUGUÉS. 17g

telle surface, il suffira de supposer nulles, dans la formule (20), toutes les fonctions de j3. Ainsi, notre première solution donne, sans aucune exception, toutes les surfaces pour lesquelles il peut exister un système conjugué composé de deux familles de courbes planes.

Il nous reste à indiquer un mode de génération simple des surfaces que nous venons d'obtenir. Pour cela, faisant t = 1, nous envisagerons les deux familles de sphères définies par les équations

(27) x2^-y2-hz2—if1(cX.)x — ifz{a-)y — 2.f3(a)s — if {a) = o,

(28) x2 -+- y2 ■+- z2 -±- 2cpi(3).r -+- ■2cp2(p)jK-i- 2cp3((3),z -t-2cp4([3) = o.

Ces deux familles de sphères sont absolument quelconques, et d'ailleurs leur plan radical est précisément le plan tangent de la surface cherchée, représenté par l'équation (20). Nous sommes donc conduits au théorème suivant :

Si l'on considère dans i espace deux familles de sphères définies de la manière la plus générale, le plan radical d'une des sphères de la première famille et d'une des sphères de la seconde enveloppera la surface la plus générale admettant deux familles conjuguées formées exclusivement de courbes planes.

Pour déterminer la surface par points, on remarque que les deux équations (21) sont les dérivées par rapport à a et à (3 des équations (27), (28). Donc,

Si l'on associe à deux sphères de familles différentes les sphères infiniment voisines, le centre radical de ces quatre sphères décrira la surface cherchée. Le plan radical de deux sphères infiniment voisines de la même famille contiendra une des courbes de l'un des systèmes conjugués,

110. Les surfaces que nous venons d'étudier dans les deux numéros précédents et qui admettent deux familles conjuguées formées exclusivement de courbes planes ont évidemment pour polaires réciproques des surfaces qui admettent deux familles conjuguées formées, l'une et l'autre, avec des courbes de contact de cônes circonscrits à la surface. C'est, d'ailleurs, ce que l'on peut vérifier directement.

l8o LIVRE II. — CHAP. I.

Les polaires réciproques des surfaces définies par l'équation (20) sont définies par des équations de la forme suivante :

f « =/i(a) + çt(P),

où x, r, S, £ sont des coordonnées homogènes quelconques. Leur plan tangent

sera évidemment défini par la première des équations (12)

ux -+- vy -+- wz -\- pt = o et les deux équations (i3), qui deviennent ici

1 «cp'l(P)+(;cp'2(P)-4-W(p'3(P) + ^T'4(P) = o

et qui mettent en évidence la propriété annoncée. Car la première exprime que le plan tangent en tous les points de la courbe de paramètre a passe par le pointde coordonnées

et la seconde exprime que le plan tangent en tous les points de la courbe de paramètre fi passe parle point

On voit que, si a?, y, 5, £ désignent des coordonnées cartésiennes homogènes, les cônes circonscrits suivant la famille de paramètre a deviendront des cylindres lorsque la fonction fA (a) se réduira à une constante. Et il en sera de même des cônes circonscrits de l'autre famille si ©4 ((3) se réduit à une constante. Lorsque les deux fonctions se réduisent à des constantes, on retrouve les surfaces de translation.

A la classe générale que nous venons de définir appartiennent

SYSTEMES CONJUGUES. l8l

évidemment celles qui sont définies par les équations

/ j: = Aa+ / Pi! a du,

(33) j = A16+ f k'bdu,

( z = Ay-+- / A'c ^,

où x, r, ^ désignent des coordonnées rectangulaires; où a, [3, y désignent des fonctions quelconques de v; A, a, &, c des fonctions quelconques de u, A' étant la dérivée de A. L'élément linéaire de ces surfaces sera défini par l'équation

ds*= A'2[(a-{-a)2-h(3 + 6)2^-(T + c)2] o?«M-A2(a'2-i- p'« + ya.) rfp« H- 2ÂA'[(« -+- a)a' + ((3-4- è)p'-)- (y-+- c)y'] afo rfc.

Il suit de là que si l'on considère une seconde surface définie par les équations

(a?i = Aa1-+- / A'aidu, r yt— APi+ / k'bxdu,

\ «1==Ayi+ y A.' ci du,

où a,, pi, y, sont, comme a, [3, y, des fonctions de v et a(, 64, c, des fonctions de m, cette nouvelle surface sera applicable sur la première si l'on a

( (a-ha)2+(è-t-p)2-4-(C-+-Y)2=(a1+a1)2+(6i+pi)2+(ci + Tir- } j a's-i-P'*+Y'*= a'^+P'^+Yi1-

Les coefficients de cfo t/c seront alors les mêmes dans les deux éléments linéaires.

111. Nous laisserons au lecteur le soin d'obtenir la solution générale des équations précédentes dont la première est aux variables mêlées. Nous nous bornerons au cas particulier où l'on

suppose

(36) a = b = y = o, ax = 6t = yi = o.

Alors, les équations (33), (34) deviennent

(37) x = Aa, jK = Af}, z= ! A'cdu,

(38) a?1=Aa1, yt= A$u zt = JA'cidu

et les équations (35) à résoudre prennent la forme

Leur solution est évidente. On a (4o) cl=cî—h, a? -+^Pï =^-+-a2-+-p2)

A désignant une constante. Posons

6, Pi = P s'n ^'

'J.\ = p cos

il viendra

A(^+ P'M + («p'— pq')a /i + aJ+ p2

Les valeurs de a,, (3,, C| seront alors fournies par les équations (4°)? (4 •)•

Interprétons géométriquement le résultat obtenu.

On verra aisément que les équations (33), (34) représentent les surfaces les plus générales pour lesquelles une des familles conjuguées est formée des courbes de contact de cylindres circonscrits, tandis que l'autre est formée de courbes de contact de cônes circonscrits. Mais, si l'on introduit les hypothèses (36) et si l'on prend les surfaces particulières représentées par les équations (3^), (38), on voit, de plus, que les courbes conjuguées de paramètre ç sont planes et ont leurs plans passant par l'axe des ,s, car elles sont telles que, sur chacune d'elles, le rapport de y à x demeure constant. Quant aux courbes de paramètre «, elles sont évidemment dans des plans parallèles au plan des xy.

Ainsi, les surfaces que nous obtenons ont une double propriété. Les sections planes formées par les plans parallèles au plan des xy et celles qui passent par l'axe des z engendrent d'abord deux familles conjuguées. Mais, en outre, ces deux familles conjuguées sont telles que les développables circonscrites à la surface le long

SYSTÈMES CONJUGUÉS. l83

des sections parallèles au plan des xy sont des cônes, dont les sommets se trouvent sur l'axe des s, et que les développables circonscrites le long des courbes dont les plans passent par l'axe des z sont des cylindres, dont les génératrices rectilignes sont parallèles au plan des xy. Et l'on voit que l'on peut les déformer dune manière continue, en introduisant un paramètre A, de manière à conserver toutes ces relations géométriques.

Ces relations sont toutes évidemment vérifiées si, considérant une surface générale du second degré, on y trace les sections dont les plans passent par un des trois axes principaux et celles qui sont perpendiculaires à cet axe. Ainsi, les surfaces du second degré sont, de trois manières différentes, des cas particuliers de celles qui sont définies par les formules (3l)- C'est ce qu'il est aisé de vérifier.

Si Ton prend l'équation

on peut toujours poser

(44) x — l cos u cosi>; y = m cos u sinp, z = ns\nu.

On a donc ici, en comparant aux formules (3^) à (42), les valeurs

a = £cose, S = m sin t>, \ = cosu, c= — ncolu.

L'application de la méthode générale nous donnera

a?t = p cosu cosO, / yi= pcosu sin G,

i = / y n'1 cos'- u — h sin2 u du,

o et 9 étant définis par les formules

l p2 = /2cos2p -+- m-s'\n2v -4- h, (46) \ s/hjl*- sin2 v -+- m2 cos2 v ) -+- l* m*

\ h -\- l% cos- v -\- m- sin1 v

Nous obtenons ainsi une famille de surfaces applicables sur les surfaces générales du second degré.