CHAPITRE I
On commence l'étude des systèmes conjugués par l'énoncé et la démonstration d'une belle proposition de M. G. Kœnigs. Tandis qu'il semble impossible de déterminer des systèmes orthogonaux par des opérations qui ne comportent aucune intégration, il est toujours possible d'obtenir, sur une sur/ace quelconque, sans aucune intégration, des systèmes à lignes conjuguées. Il suffit de prendre, comme première famille, les sections planes dont les plans passent paT une droite quelconque (D) et, comme deuxième famille, les courbes de contact des cônes qui sont circonscrits à la surface et ont leurs sommets sur la droite ( D). — Application de la proposition de M. Kœnigs à la solution d'un problème résolu par Joacliimsthal : détermination des surfaces admettant un système de lignes de courbure planes dont les plans passent par une droite fixe. On démontre que les lignes de courbure de l'autre système sont sur des sphères qui coupent à angle droit la surface cherchée et l'on ramène le problème à la détermination des trajectoires orthogonales d'une famille de cercles situés dans un plan et dont les centres sont en ligne droite. — Digression sur les familles les plus générales de cercles dans le plan. La détermination de leurs trajectoires orthogonales dépend d'une équation de Riccati. — Notion des familles similaires de cercles introduite par V. Rouquet. — On peut définir sans aucun signe de quadrature la famille de cercles la plus générale et les trajectoires orthogonales de ces cercles. — Retour au problème proposé. Equations qui définissent les surfaces de Joachimsthal.
On met en évidence le caractère projectif et dualistique de la définition des systèmes conjugués. — On peut rattacher à tout système conjugué deux équations linéaires aux dérivées partielles : Tune à laquelle satisfont les quatre coordonnées homogènes d'un point de la surface, l'autre à laquelle satisfont les quatre coordonnées du plan tangent. En dehors de ces deux équations, il n'y en a pas d'autre de même forme à laquelle satisfassent, soit les quatre coordonnées ponctuelles, soit les quatre coordonnées tangentielles.
Application à la détermination de toutes les surfaces pour lesquelles il existe deux familles conjuguées formées exclusivement de courbes planes. — Indication d'un mode de génération de ces surfaces.
Les polaires réciproques de ces surfaces sont celles sur lesquelles il existe deux familles conjuguées formées exclusivement de courbes de contact de cônes ou de cylindres circonscrits. — Étude du cas particulier où l'une des familles est formée des courbes de contact de cylindres circonscrits. — On essaye de déterminer des surfaces de cette catégorie applicables les unes sur les autres. On résout le problème pour les surfaces admettant deux familles de courbes conjuguées planes : les unes situées dans des plans parallèles, les autres dans des plans passant par une droite fixe perpendiculaire aux plans des sections parallèles. — Comme les surfaces du second degré admettent de trois manières différentes cette génération, on peut déterminer trois familles de surfaces applicables sur une surface à centre du second degré.
101. Dans les différentes surfaces que nous avons étudiées précédemment, nous avons rencontré et employé des systèmes de coordonnées curvilignes très variés : les uns simplement orthogonaux,, d'autres à la fois orthogonaux et isométriques, d'autres enfin formés de lignes conjuguées. 11 est évident que, sur toute surface, il existe une infinité de systèmes orthogonaux ou de systèmes conjugués; car, si l'on trace sur une surface une famille quelconque de courbes, leurs trajectoires orthogonales ou leurs trajectoires conjuguées seront définies par une équation différentielle du premier ordre et du premier degré, dont l'intégrale existe, bien qu'il ne soit pas toujours possible de la déterminer. On ne connaît aucune méthode qui permette de construire, sans aucune intégration, un système orthogonal sur une surface quelconque. Au contraire, la belle proposition suivante, due à M. G. Kcenigs, établit que, quelle que soit la surface considérée, il sera possible, sans effectuer aucune intégration, d'y tracer un nombre illimité de systèmes conjugués.
Soit (S) la surface donnée. Prenons une droite quelconque D dans l'espace. Les sections de la surface, déterminées par tous les plans qui contiennent la droite D, admettront pour lignes conjuguées les courbes de contact des cônes circonscrits à la surface, ayant leurs sommets sur cette droite.
En effet, si M est un point de la surface, Je plan tangent en M ira couper la droite D en un point A. Le cône circonscrit de sommet A admettra pour génératrice MA, et cette droite, qui est évidemment la conjuguée de la tangente en M à la courbe de contact du cône, est aussi la tangente en M à la section plane de
SYSTÈMES CONJUGUÉS. l65
la surface qui est déterminée par la droite D et le point M. La proposition est donc démontrée.
102. Pour en donner dès à présent une application, proposonsnous de déterminer les surfaces pour lesquelles les lignes de courbure de l'un des systèmes sont dans des plans qui passent tous par une droite D.
Il résulte de la proposition précédente que les courbes de contact des cônes circonscrits ayant leurs sommets sur la droite D seront nécessairement les lignes de seconde courbure; et, comme ces lignes devront être orthogonales aux premières, chacune d'elles devra couper à angle droit les génératrices du cône dont elle est la courbe de contact. Par conséquent, les lignes de seconde courbure seront spbériques ; les sphères qui les contiendront auront leurs centres sur la droite D, et elles seront coupées à angle droit parles lignes de première courbure.
Réciproquement, prenons une famille quelconque de sphères (S) ayant leurs centres sur la droite D. Leurs trajectoires orthogonales seront évidemment des courbes planes, puisque les tangentes à ces trajectoires vont passer par le centre d'une des sphères et rencontrent nécessairement la droite D. Si l'on prend une surface quelconque engendrée par ces trajectoires orthogonales, elle sera une des surfaces cherchées. En effet, soient (t), (V), {t"), ... une suite de trajectoires et M, M', M", ... Jes points où elles coupent à angle droit une même sphère (S). Les tangentes aux trajectoires en M, M7, M", ... iront évidemment concourir au centre de la sphère (5) et elles engendreront un cône, circonscrit suivant la courbe sphérique MM'M'... à la surface formée par les trajectoires (£), (Y), (t"), Les deux systèmes de lignes conjuguées
définies par le théorème de M. Kœnigs se couperont ici à angle droit et seront, par conséquent, les deux systèmes de lignes de courbure.
De là résulte une méthode très simple pour engendrer les surfaces cherchées. Considérons une famille quelconque de sphères ayant leur centre sur la droite D, et proposons-nous de déterminer leurs trajectoires orthogonales. Soit (t) une de ces trajectoires; si on la fait tourner autour de D, de manière à ramener son plan dans un plan fixe, elle ne cessera pas d'être trajectoire ortho-
l66 LIVRE II. — CHAP. I.
gonale. Nous sommes donc ramenés à un problème de Géométrie plane : Trouver les trajectoires orthogonales d'une famille de cercles ayant leurs centres en ligne droite. Voici comment on peut le résoudre.
103. Considérons d'une manière générale une famille de cercles, définie par l'équation
où a, b, /'sont des fonctions d'un paramètre u. Les trajectoires orthogonales satisferont à l'équation
dx dy
(2) - — -=zrjLîL>
et, pour former leur équation différentielle, il faudrait éliminer u entre les équations (i) et (2). Cette élimination est impossible en général ; il vaut mieux employer la méthode suivante.
Exprimons x, y en fonction de u et d'une nouvelle variable 9 par les formules
(3) x = a -H r cos6, y = b -+- /*sinQ.
La signification de 9 est évidente: 9 est l'angle que fait, avec l'axe des x, le rayon du cercle qui passe au point où ce cercle est coupé par la trajectoire orthogonale. Des formules (3) on tire les valeurs de dx et de dy, et, en les portant dans l'équation (2), on obtient pour 9 l'équation
. , . d% 1 da . ' 1 db n
(4) -7— = - -7-sina — - -^coso du r du r du
qu'il faudra intégrer. Or, si J'on prend comme inconnue
( 5) tang~ = t,
on est ramené, comme il était facile de le prévoir d'après les résultats du n° 88, à une équation de Riccati
, „ . dt 2 da 1 db
^ du 7' du r du
De là résultent plusieurs conséquences. Si l'on connaît une trajectoire seulement d'un système de cercles, on déterminera toutes les autres par deux quadratures ; si l'on en connaît deux, il suffira d'une seule quadrature; et enfin la connaissance de trois trajectoires orthogonales permettra de déterminer toutes les autres, sans aucune intégration.
Supposons, d'après cela, que l'on veuille déterminer le système orthogonal le plus g-énéral dont une famille soit formée de cercles. On pourra se donner arbitrairement deux des trajectoires orthogonales (C), (C,). Il existe, en effet, une famille de cercles coupant deux courbes quelconques à angle droit, et leurs centres se trouvent sur la courbe (L) lieu des points d'où l'on peut mener à (C), (G,) des tangentes égales. Comme on connaît deux trajectoires orthogonales, il suffira d'une quadrature pour obtenir toutes les autres. On pourra donc obtenir, avec une seule quadrature, l'équation du système orthogonal plan le plusgénéral comprenant une famille de cercles (' ).
(') Dans sa thèse si remarquable, Étude géométrique des surfaces dont les lignes de courbure cVun système sont planes, Toulouse, 1882, V. Rouquet a même montré qu'on peut obtenir, sans aucun signe de quadrature, l'équation de ce S3rstème orthogonal. Considérons, en effet, deux familles de cercles, correspondant respectivement aux systèmes de valeurs an bt, rï et a2, b2, r2 des variables a, b, r. Si l'on a, pour chaque valeur de u,
dax da„ dbt db2
les équations de Riccati qui déterminent les trajectoires orthogonales de ces deux familles de cercles sont les mêmes; et, par conséquent, la connaissance des trajectoires orthogonales de l'une des familles entraîne celles des trajectoires orthogonales de l'autre famille. Nous dirons, avec V. Rouquet, que deux familles de cercles sont similaires lorsqu'elles satisfont aux relations (1). Il est aisé d'interpréter géométriquement ces relations. Elles expriment, en effet, que les centres des cercles, qui se correspondent dans les deux familles similaires, décrivent des'courbes dont les tangentes sont, à chaque instant, parallèles; et, de plus, que les rayons des deux cercles sont dans le même rapport que les arcs infiniment petits parcourus par leurs centres dans le même temps, c'est-à-dire dans le même rapport que les rayons de courbure des deux courbes décrites par leurs centres, aux points correspondants. Cette proposition permet évidemment de construire, sans aucune intégration, toutes les familles similaires d'une famille de cercles donnés.
D'après cela, soit une famille quelconque de cercles, correspondant aux valeurs an 6,, >\ de a. b, r. On peut toujours concevoir qu'il existe trois
l6S LIVRE 11. — CHAP. I.
Il \ a néanmoins un cas particulier très étendu dans lequel la détermination du système orthogonal n'exigera plus aucune quadrature. C'est celui où l'on saurait a priori que, parmi les trajectoires orthogonales de la famille de cercles, doit se trouver une ligne droite ou un cercle (y)', car alors tous les cercles cherchés étant doublement normaux à la ligne droite ou au cercle (y), cette trajectoire orthogonale particulière devra être comptée pour deux et donnera deux solutions de l'équation de Riccali. Il suffira donc de se donner (y) et une autre trajectoire orthogonale (C) pour avoir trois solutions de l'équation différentielle.
Signalons encore cette conséquence des raisonnements qui précèdent : lorsqu'on aura un svstème déterminé de cercles coupant à angle droit un cercle donné, ou ayant leurs centres en ligne droite, la détermination de leurs trajectoires orthogonales exigera seulement une quadrature.
A un autre point de vue, il résulte de l'équation (6) la consé-
quence suivante : soient tang-, tang — , tang — > tang - quatre solutions quelconques de cette équation. Nous savons que leur rapport anharmonique est constant. Or, ce rapport anharmonique des quatre tangentes est, par définition, le rapport anharmonique des
fonctions a2, b2, i\ telles que l'on ait
da, da2 db] db2 2 2
Par suite, toute famille de cercles peut être considérée comme similaire d'une famille représentée par l'équation
pour laquelle tous les cercles passent par un point fixe, l'origine. Si l'on peut mettre en évidence, sans signe de quadrature, les trajectoires orthogonales de cette famille particulière, il en sera de même, d'après les propositions précédentes, pour la famille la plus générale. Or, une famille de cercles passant par un point dérive par inversion d'une famille de droites, et Ton peut obtenir sans quadrature les trajectoires orthogonales d'une telle famille en associant à une courbe plane quelconque toutes les courbes parallèles.
Au reste, dans beaucoup de questions, il importe peu qu'il y ait ou qu'il n'}r ait pas de signe de quadrature. L'essentiel est qu'on puisse obtenir, sous forme explicite, l'équation du système orthogonal, et les développements donnés dans le texte établissent que cela sera toujours possible.
SYSTÈMES CONJUGUES. I 69
points où les trajectoires correspondantes coupent l'un quelconque des cercles. On a donc le théorème suivant :
Le rapport enharmonique des quatre points où un cercle quelconque de la famille considérée est coupé par quatre trajectoires orthogonales fixes est constant.
Toutes ces propositions s'appliquent évidemment aux systèmes de cercles qui engendrent une surface quelconque et que nous avons considérés au n° 88.
101. Revenons à la question proposée. Il s'agit de trouver le système orthogonal le plus général dont une des familles soit formée de cercles ayant leurs centres sur une droite D.
Pour cela, on construira une courbe quelconque (C) et l'on tracera tous les cercles normaux à (C), ayant leurs centres sur D. Les trajectoires orthogonales de ces cercles se détermineront sans aucune intégration. Considérons, en effet, l'un quelconque de ces cercles normal en un point M à la courbe (C). Si 80 désigne l'angle de la tangente à la courbe en M avec la droite D, l'équation de Riccati admettra les trois solutions particulières
G0, o, tt;
et, par conséquent, son intégrale générale sera donnée par la formule
Les surfaces cherchées, qui ont d'abord été étudiées par Joachimsthal ('), admettent donc la génération suivante : Dans un plan passant par la droite D, on forme, d'après le moyen
(') Joachimsthal, Demonstrationes theorematum ad superficies curvas spectantium {Journal de C relie, t. XXX, p. 347) et Sur les surfaces dont les lignes de l'une des courbures sont planes (même Journal, t. LIV, p. 181). Voir surtout ce dernier article.
tang-
tang -tan° —
ou, plus simplement,
tang - = L tanc
que nous venons d'indiquer, la famille de courbes planes (t)
la plus générale admettant pour trajectoires orthogonales une
famille de cercles ayant leurs centres sur la droite D. On fait
tourner ces courbes (t), autour de la droite D, d'un angle qui
varie d'après une loi donnée, mais quelconque., quand on passe
d'une courbe à l'autre; le lieu de toutes leurs positions
nouvelles est la surface cherchée.
Prenons pour axe des x la droite D. Les formules qui sont la
traduction analytique de la génération précédente sont les
suivantes. Soit
(ce— ay- + y°-= /-2
l'équation du système de cercles.
L'équation de Riccali (4) devient ici
d§ = da •
Soit Q0 une de ses solutions particulières. On peut prendre
a=F(80), r=F'(6o)8ine0s>
et la solution générale de l'équation de Riccati est
tang- = L tan g — >
G désignant une constante. Si l'on fait tourner chaque trajectoire orthogonale autour de Oz d'un angle <j> variable avec C, il faut prendre pour C une fonction de <L, ce qui donne
tang- = Fj (<i;)tang-.
Les coordonnées d'un point quelconque de la surface cherchée s'expriment en fonction de 90 et de <b par les formules
(8) a? = « -H /- cos6, y = ;*sin 0 cos d*, z = /• sin G siniL.
Elles sont identiques à celles que l'on doit à Joachimsthal.
105. Après avoir développé une application de la proposition de M. Kcenigs, revenons aux systèmes conjugués quelconques. Ces systèmes possèdent deux propriétés essentielles sur lesquelles
SYSTEMES CONJUGUES. IJt
il convient que nous insistions, et qu'on peut énoncer comme il suit : Tout système conjugué ne cesse pas d'être conjugué si Von soumet la surface sur laquelle il est tracé, soit à une t/'a/isformation homographique, soit à une transformation par polaires réciproques.
Supposons d'abord que l'on soumette une surface (S) à une transformation homographique. Considérons une courbe (G) tracée sur (S). Les plans tangents à la surface en tous les points de celte courbe engendreront une surface développable (A) dont les génératrices rectilignes seront les conjuguées des tangentes à la courbe (G). Or, il est évident que la transformation homographique ne change en rien toutes ces relations. A la surface (S) correspond une surface (S'), à la courbe (G) une courbe (G'), à la développable (A) une développable (A') circonscrite à (S') suivant la courbe (C), aux tangentes de la courbe (C) celles de la courbe (C), aux génératrices de (A) celles de (A7) ; par conséquent, la transformation homographique fait bien correspondre à deux tangentes conjuguées de (S) deux tangentes conjuguées de (S').
Si, au contraire, on effectue une transformation par polaires réciproques, à la surface (S) correspond une surface (S"), à la courbe (G) une développable (A") circonscrite à (S"), et à la développable (A) la courbe de contact (G") de la développable (A"). Par suite, aux tangentes de la courbe (C) correspondent les génératrices rectilignes de (A") et aux génératrices de (A) les tangentes de la courbe (C"). D'ailleurs, à deux tangentes en un point M de (S) correspondent deux tangentes au point correspondant M" de (S"). Ici encore, on le voit, à deux droites conjuguées correspondent deux droites conjuguées.
106. Les propriétés précédentes, que l'on exprime encore en disant que la définition des systèmes conjugués est projective et dualistique, peuvent aussi être établies par la méthode analytique suivante qui nous permettra de généraliser une proposition déjà donnée (n° 83).
Soient a et (3 les paramètres de deux familles de courbes tracées sur une surface (S). Adoptons un système de coordonnées homogènes ou tétraédriques absolument quelconque, et soit
(io) «X + pY + »'Z4-/jT = o
17a LIVRE II. — CHAP. I.
l'équation du plan tangent à la surface; //, v, w, p- seront des fonctions des paramètres a et S, et l'on obtiendrait l'équation en coordonnées ponctuelles de la surface (S) en éliminant a et S entre l'équation (10) et ses deux dérivées
da da àx ai
J du dv àw dp
par rapport à a et à [j. Par conséquent, si l'on désigne par x, >', .g, t les coordonnées du point de contact du plan tangent, elles devront satisfaire aux trois équations
ux -t- vy -î- «'.s -h pt = o,
du de d<e dn
(ï2) \ OCL OOL Ô7. àx
du dv àw dp
d3 "f-r^+^df + ^=0"
Différentions la première de ces équations, successivement par rapport à a et à [3; on aura, en tenant compte des deux autres, les relations nouvelles
dx dv dz dt
da da da da
dx dv dz dt
d3+^ + W^H-^dl=°-
On aurait pu, d'ailleurs, écrire immédiatement ces équations; elles expriment que les tangentes aux deux courbes a=const., (3 = const. sont dans le plan tangent à la surface.
Les équations (12) et (i3) s'appliquent à tout système de coordonnées curvilignes. Cherchons maintenant la condition pour que les deux familles (a) et ([3) forment un système conjugué. Si l'on se déplace sur la courbe a = const., le plan tangent enveloppera une surface développable; son intersection avec le plan tangent infiniment voisin sera définie par l'équation (10), jointe àlaseconde des équations (1 1). Il faut exprimer que la droite représentée par ces deux équations est la tangente à la courbe [3 = const. Pour cela, il faudra écrire que ces équations sont vérifiées quand on y
remplace X, ^ , Z, T par
dx 7 dy , dz dt
x -\ — r- dx, y -\ — ~ dx, z -t- — dx, t H — — dot., dx c'a dx dx
En tenant compte des formules déjà établies (12) et (i3), cela ne donne qu'une seule équation nouvelle
et cette unique équation exprime, par conséquent, Ja condition nécessaire et suffisante pour que les deux familles (a) et ((3) forment un système conjugué.
Des formules (12) et (i3) on déduit par différenciation les identités suivantes, applicables à tout système de coordonnées curvilignes :
du dx dv dy dir dz dp dt
dp dx à$ dx dp dx dp dx
dp
dxdp
dx d[i
6*7.0 [} ' J dX
du dx
dv dy
dtv dz
dp dt
~ dx d'p
dx. dp
~dx dp
dx dp
du dx
de dy
dw dz
dp dt
d3 dx
dp dx
dp dx
dp dx
d'-x ~ Uàx~àp
dadp
d2z dadp
P dxd'i
Il suit de là que l'équation (i4) peut encore être écrite sous Tune des trois formes suivantes :
1 du dx dv dy àw dz dp dt
idTrdp^dâdp^da"^ "^ do" dp =°' , „, à2x d*-y d2z d2t
y ' A~ r tu A,. aQ „ „ ,ift J
dad8 dadp dadp ^ dadp
ift ~^~y a„aU ~+~ z- A„r,u "^ t
dxdp J dadp dxdp dadp
La condition pour que les familles (a), ((3) formentun système conjugué s'exprime indifféremment par l'une quelconque des quatre équations 04) ou (16).
107. Considérons, en particulier, les équations (12) et la troisième des équations (16); elles ne contiennent pas les dérivées
