CHAPITRE IL

Application d'une des propositions précédentes à la détermination des surfaces à lignes de courbure planes dans les deux systèmes. — Résolution de l'équation aux variables mêlées dont dépend la solution de ce problème. — Cyclide de Dupin. — Il y a trois classes distinctes de surfaces à lignes de courbure planes. — On indique un mode de génération très simple de ces différentes surfaces.

Retour à la théorie générale. — Définition des caractéristiques d'une équation linéaire aux dérivées partielles du second ordre. — Réduction à une forme typique. — Cas où les caractéristiques sont confondues.

Équations linéaires les plus générales auxquelles satisfont soit les quatre coordonnées ponctuelles, soit les quatre coordonnées tangentielles. Leurs caractéristiques correspondent toujours à un système conjugué. — Cas particulier où l'on obtient le système conjugué formé par les lignes de courbure.

Recherche des lignes asymptotiques. — Leur définition est à la fois projective et dualistique. — Leur équation différentielle, soit en coordonnées ponctuelles, soit en coordonnées tangentielles. — Application nouvelle de la proposition de M. G. Kcenigs. Elle fournit un moyen de débarrasser du terme rectangle l'équation différentielle des lignes asymptotiques. — Détermination des lignes asymptotiques de quelques surfaces remarquables.

Relations entre la théorie des lignes asymptotiques et celle des équations linéaires aux dérivées partielles.

112. La proposition obtenue à la fin du Chapitre précédent conduit à une méthode très simple pour la détermination des surfaces dont les lignes de courbure sont planes dans les deux systèmes. 11 suffira, en effet, de chercher, parmi les surfaces enveloppes du plan représenté par l'équation (20), celles pour lesquelles les deux familles de courbes conjuguées se coupent à angle droit.

Considérons la surface enveloppe du plan

uX -+- vY -+- tvZ -\- p = o,

où X, Y, Z désignent des coordonnées cartésiennes rectangulaires et où a, p, w, p sont des fonctions de a et de [3. La condition

d'orthogonalité des courbes de paramètre a et (j tracées sur l'enveloppe est compliquée en général, et contient les dérivées secondes des coordonnées tangentielles. Mais elle se simplifie beaucoup quand a et (3 sont les paramètres de deux familles conjuguées. En effet, si x, y, z, t sont les coordonnées du point de contact et si l'on fait £= i, on a les deux équations

àx dx

ày + 0 -f-

dz w —

àx dâ

dv ày + dS da

àw dz 1$ dâ

d'où l'on déduit les proportions

dx m dy m dz div dv du àw dv du

(l) da ''% '• do"" "dp ~WàJ '' WJ$~U~àj'' Uàp~VdJ'

On a des formules analogues pour —^y -£> -^- et, en écrivant la

° r ^ dp d§ '

condition d'orthogonalité, on trouve l'équation

/ / du dv àw\ / du dv àw

^ V da da da/ \ dp d^ dii

J . „ I du du dv cv àw àw

\ '\ da dp da dp da dp

Remarquons toutefois que cette équation serait illusoire si u, v,. w, p ne contenaient pas (3, car alors les formules (i) n'auraient aucune signification ; la surface serait développable.

Pour appliquer l'équation (2) au problème qui nous occupe, il faut faire

u = At — B1? v = A2 — B2, w = A3 — B3,

A,, A2, A3 désignant des fonctions de a et B(, B2? B3 des fonctions de j3. On reconnaît que l'équation (2) peut être ramenée à ne contenir que les dérivées de la fonction h définie par l'équation

A*=tt*+e>+ w»s=(A1— Bi)*+(A2— B2)2+(A3— B3)*. En effet, cette équation, différentiée par rapport à a et à (3, donne

SYSTÈMES CONJUGUÉS. LIGNES ASYMPTOTIQUES. iS;

successivement

dh dâ

du u —

dv dâ

àfi

dw 1$

u du

dv i

jç

1 àxàp "*" d^ Jp ~ ~dli dfi + da àfi + da ^ '

En tenant compte de ces relations, l'équation (2) prend la forme

dccàfi ~~°'

et il faut, pour qu'elle soit satisfaite, que l'on ait

On peut donc énoncer la proposition suivante :

Pour obtenir les surfaces à lignes de courbure planes dans les deux systèmes, on commencera par déterminer les fonctions de a. et de fi satisfaisant identiquement à l'équation

Quand ces fonctions seront connues, la surf ace sera l'enveloppe du plan représenté par V équation

où A., B désignent deux fonctions nouvelles qui dépendent respectivement de a et de fi. Les lignes de courbure des deux systèmes seront définies par les équations

qui ne contiennent chacune qu'une seule des variables a ou fi et représentent les plans de ces lignes.

113. Toute la difficulté du problème est ramenée, par la méthode précédente, à la détermination des fonctions les plus générales satisfaisant identiquement à la relation (3). Or, si l'on différentie cette équation successivement par rapport à a et à (3, on est

ramené à l'équation plus simple

a;b; + A2b; + a^b; = aibi,

dont J.-A. Serret a donné toutes les solutions possibles dans son important Mémoire Sur les surfaces dont les lignes de courbure sont planes ou sphériques (Journal de Liouville, ire série, t. XVIII, p. i 16). Au lieu de suivre la marche adoptée par Serret, nous nous attacherons à l'équation (3) et nous l'interpréterons de la manière suivante.

Considérons la sphère (S), variable et dépendante du paramètre a, dont le centre a pour coordonnées A,, A2, A3 et dont le rayon est égal, en grandeur et en signe, à A4 ; considérons de même la sphère (S'), dépendante du paramètre [3, dont le centre a pour coordonnées B,, B2, B3 et dont le rayon est égal àB4. L'équation (3) exprime évidemment que les deux sphères (S), (S') sont constamment tangentes. Ainsi, nous avons deux familles distinctes de sphères, engendrées par (S) et (S'), et qui sont dans une relation telle que toute sphère de la première famille est tangente à toute sphère de la seconde. On peut interpréter cette relation de diverses manières pour obtenir le résultat cherché.

Supposons, par exemple, que l'on prenne trois sphères (S',), (Sj), (S'3) delà seconde famille, correspondant à trois valeurs distinctes, mais arbitrairement choisies, du paramètre (3. Gomme les sphères (S) doivent être toutes tangentes à ces trois sphères fixes, elles formeront un système simplement infini et engendreront une famille complètement définie par cette triple condition. Il est aisé de caractériser cette famille.

Désignons, en effet, par p le rayon de la sphère (S), par Rl5 R2, R3 les rayons des trois sphères fixes(S'1), (S'0), (S'3), par dt, d2, d3 les distances du centre de (S) aux centres des trois sphères fixes. En exprimant que (S) est tangente, et tangente d'une manière déterminée, à ces trois sphères fixes, on aura les trois équations

(6) <a?i = Rx H- p, rf2=R2+p, <f3=R3-t-p.

De là, il résulte d'abord que le centre de la sphère (S) décrit l'intersection des surfaces

(7) rft — rfa=Ri— R,, dt — d3= Rj— R3,

qui sont des quadriques de révolution et se coupent suivant deux courbes planes dont l'une, il est aisé de le reconnaître, ne correspond pas aune solution du problème. Si l'on utilise, en effet, les identités évidentes

d\-d\ = V1, d\-dî = P3,

où P2 et P3 désignent des polynômes du premier degré, les formules (ij) nous donneront, en particulier, la double équation

La relation que l'on obtient en égalant le second et le troisième membre nous montre immédiatement que la courbe décrite par le centre des sphères (S) est plane.

D'autre part, comme l'équation obtenue en égalant le premier et le second membre représente une quadrique de révolution (Q) ayant pour foyer le centre de la sphère (S',), on voit que les centres des sphères (S) doivent se trouver sur une conique (C).

Comme, d'ailleurs, le foyer de la surface (Q) est nécessairement un foyer de toute section plane de cette surface et en particulier de (G), on voit que le centre de la sphère (S'() et, par conséquent, les centres de toutes les sphères (S') doivent nécessairement être des foyers de (C), c'est-à-dire se trouver sur la conique (C'), focale de (C).

Ainsi, les lieux des centres des sphères (S) et (S') doivent être deux coniques, focales l'une de l'autre. C'est là le résultat essentiel dont nous aurons à faire usage.

On peut encore raisonner comme il suit :

L'équation (3 ) exprime évidemment que les deux sphères (S) et (S') sont constamment tangentes. Il faut donc que ces deux sphères, envisagées successivement, enveloppent la même surface (2). Et, comme cette surface (S) est touchée suivant un cercle par chacune des sphères (S), aussi bien que par chacune des sphères (S'), il faut que toutes ses lignes de courbure soient circulaires.

Nous sommes ainsi ramenés à un problème bien connu, qui a été

igo LIVHE II. — CHAP. II.

proposé et résolu pour la première fois par Dupin ( ') : Déterminer toutes les surfaces dont les lignes de courbure sont circulaires. La solution fournit une surface du quatrième ordre, la cyclide de Dupin, dont les normales rencontrent une ellipse et une hyperbole, qui sont les locales l'une de l'autre et qui contiennent les centres de toutes les sphères tangentes à la surface suivant une de ses lignes de courbure. Cette surface peut dégénérer soit en un tore, et alors l'ellipse focale se réduit à un cercle, soit en une surface du troisième degré, et, dans ce cas, les deux courbes focales deviennent des paraboles.

Si l'on suppose que l'ellipse se réduise à un cercle, l'hyperbole se réduira à une droite passant par le centre du cercle et perpendiculaire à son plan. En choisissant le centre du cercle pour origine des coordonnées et la droite pour axe des z, nous obtenons une première solution de l'équation (3) donnée par les formules

suivantes :

Ai=o. A2 = o, A3 = a,

B1 = cos[3, B2 = sin[3, B3=o.

La surface à lignes de courbure planes correspondante est l'enveloppe du plan

ocs — x cos(3 — y sin (3 =/(a)-H<p(P).

Les lignes de courbure a = const. sont dans des plans parallèles

et, par conséquent, cette première classe ne comprend que les surfaces moulures déjà étudiées (n° 86).

Passons au cas général où l'une des focales est une ellipse. Comme on peut multiplier toutes les fonctions A;, B; par un même nombre, on pourra prendre, pour cette focale, les équations

et l'hyperbole correspondante sera alors représentée parle système

x = o, JK2— i~ = — T-

(*) Dupin, Applications de Géométrie et de Méchanique, 1822, p. 200 et suiv.

SYSTÈMES CONJUGUÉS. LIGNES ASYMPTOTIQUES. îgi

Un point de la première courbe sera défini par les formules

(9) ,v = Al — ci, j/ = A2=o, z — A3= l\/i — oc2,

«t, de même, un point de la seconde par les formules analogues

(10) a7 = Bj=o, y = B2=Ç>, z = B3= y/Xa— 1 v/i-h Ps.

La surface à lignes de courbure planes, correspondante à ces valeurs des fonctions A/, B/, sera l'enveloppe du plan

(„) B» pr + (x/r=^v/xrriv^ppi)« = /(«) ?(p),

lorsque a et (3 varieront.

On trouvera de même, dans le cas où l'ellipse se réduit à une parabole, que la surface correspondante est l'enveloppe du plan

(12) 2a.r + 2(3jK-+-(r — «2 — P2)* = /(a) + cp( |3).

En résumé, nous obtenons trois classes de surfaces à lignes de courbure planes dans les deux systèmes. Mais il résulte clairement des raisonnements précédents que la première et la troisième peuvent être considérées comme des cas limites de la seconde, qui est définie par la formule (n). Nous allons faire connaître un nouveau mode de génération de ces surfaces.

Si l'on difïerentie successivement par rapport à a et à (3 l'équation (i i), on obtient les deux équations

, ,, \az

(M) , + !^£ = îm

qui représentent, nous l'avons vu, les plans des lignes de première et de seconde courbure. Ainsi, les lignes de courbure de chaque système sont dans les plans tangents d'un cylindre, et les cylindres qui correspondent aux deux systèmes ont leurs génératrices perpendiculaires.

D'autre part, les deux familles de sphères considérées au n° 109 ont ici pour équations

■ y*-+-z*— i$y— ay/X* — i/i-t- p*^ + 2o(P) = o;

les centres de ces sphères sont situés respectivement sur les deux focales. D'ailleurs, leurs rayons dépendent des fonctions /(a), o((3) et varient, par conséquent, suivant une loi quelconque. En appliquant le théorème du n° 109, on sera donc conduit à la proposition suivante :

Pour obtenir toutes les surfaces à lignes de courbure planes dans les deux systèmes, on construira deux familles différentes de sphères dont les centres seront assujettis à décrire respectivement deux courbes du second degré, focales V une de Vautre, et dont les rayons varieront suivant une loi quelconque pour chacune des deux familles. Le plan radical de deux sphères (S), (S), appartenant aux deux familles différentes, enveloppera la surface cherchée. Si l'on associe à (S) et à (S) les sphères infiniment voisines (S7), (S'), le centre radical de ces quatre sphères décrira la surface; les plans radicaux de (S) et de (S'), de (S) et de (S') seront les plans des lignes de courbure des deux systèmes.

Bien que nos raisonnements aient laissé de côté le cas des surfaces développables, les résultats obtenus comprennent ces surfaces qui sont, on le reconnaîtra aisément, des surfaces moulures formées par les tangentes d'une hélice tracée sur un cylindre quelconque.

114. Nous terminerons cette étude préliminaire des systèmes conjugués en généralisant la proposition donnée au n° 107, et, pour le faire d'une manière précise, nous commencerons par rappeler la définition des caractéristiques d'une équation linéaire aux dérivées partielles.

Soit

o%1 da dp dp2 da dp

une telle équation, où les coefficients seront des fonctions données quelconques de a et de (3. Si l'on substitue, à ces variables indépendantes, les suivantes :

p = <?(«, P), pi=<K«, P)i

SYSTÈMES CONJUGUÉS. LIGNES ASY.MPTOTIQUES. Iq3

l'équation conservera sa forme et deviendra

d-0 , à-ft d-0 , d6 ., d6

a h b h c • — 7 -ha- \- b ■ 1- c 6 = o,

do- àzOoi Op\ dp Opi

«, b, c ayant les valeurs suivantes :

/ , / do \ - , dp dp , / dp \ -

l \dx dx drd \ dB/

()o dpi p/^? ^?i ^P ^Pi\ p ^? ^?i

dt dâ + ld^ d3" + d3 d7/ +2 dt "d3"

(■;) i—Aïaa+B.ï^ + Sïi +,cs

da / des d3 \ d3

Si donc on veut faire disparaître les deux termes en — — ;

r dp-

p et s, devront être deux fonctions différentes satisfaisant à l'équation

fdu\- du du (àu\-

On peut énoncer ce résultat de la manière suivante :

Considérons V équation différentielle da premier ordre et du second degré

(19) A d$- — B doc d$ -h G da.- = o ,

à laquelle nous donnerons le nom <r/'équation différentielle des caractéristiques, et qui se décompose en deux équations du premier degré admettant chacune une intégrale. Soient

les deux intégrales ainsi obtenues; il faudra prendre p, p, pour nouvelles variables si l'on veut ramener l'équation en 9 à la forme

dp c^p! dp dpi

On voit crue la transformation serait impossible si le premier membre de l'équation (ig) était un carré parfait. Mais il résulte des formules (17) crue si l'on prend alors pour 0 l'intégrale unique D. — I. i3

ig4 LIVRE II. — CHAP. II.

de l'équation (19), l'équation en H se réduit à la forme simple ( ')

à?\ àp dpt

Ho. Après avoir rappelé ces définitions et ces propriétés, revenons aux questions que nous avons en vue, et supposons que les quatre coordonnées homogènes x, y, z, t ou u, c, w, p soient exprimées en fonction de deux variables a et [3. Si l'on a obtenu, par un procédé quelconque, une équation de la forme (16) à laquelle satisfont ces quatre coordonnées, on peut la ramener, par le procédé que nous avons indiqué, à la forme (20) et l'on reconnaît alors immédiatement que les courbes (0), (o() tracent sur la surface un système conjugué. Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :

Quand on a formé, cVune manière quelconque, une équation de la forme(i6) à laquelle satisfont, soit les quatre coordonnées ponctuelles, soit les quatre coordonnées tangentielles, les caractéristiques de cette équation tracent sur la surface un système conjugué.

(') On peut même simplifier encore cette équation dès que l'on en connaît des solutions particulières; car, soient 8P 6„ deux de ces solutions: si l'on prend comme nouvelles variables indépendantes p et le rapport

et si l'on pose

6 = 0ja,

la fonction g satisfera à une équation de même forme que l'équation (21)

e)2c ds , âa

dp',2 ' dp ' dp\ '

Mais, comme cette équation doit admettre les solutions particulières

b1 et C; seront nuls, et elle se réduira à la forme binôme

rP g dG

rr; + fflT =0.

àp\ àp

Le raisonnement précédent montre d'ailleurs que cette forme n'est pas typique et peut être obtenue d'une infinité de manières.

SYSTÈMES CONJUGUÉS. LIGNES ASYMPTOTIQUES. ig5

Une équation de la forme (16), contenant cinq coefficients, n'est pas déterminée par la condition d'admettre comme solutions particulières les quatre coordonnées ponctuelles, par exemple. Mais, si Ton ajoute à cette condition celle d'admettre une cinquième solution cp, tous ses coefficients seront parfaitement déterminés, ainsi que le système conjugué formé par ses caractéristiques. En ce sens, on peut dire que, à chaque fonction o correspond un système conjugué particulier.

Ainsi, supposons que l'on prenne des coordonnées cartésiennes x, y, ;. L'équation ()6), devant alors admettre la solution 6 = t = t , ne contiendra pas le terme en 9, et tous ses coefficients seront complètement déterminés par la condition qu'elle admette, en même temps que 3?, y, s, une nouvelle solution particulière o que nous supposerons exprimée en fonction de x: y, s, par exemple. Ramenons l'équation à la forme (20) en prenant comme nouvelles variables les paramètres p, p, du système conjugué formé par ses caractéristiques, et soit alors

dp dp.

dp dpi

sa forme nouvelle.

On aura

dp ôpi

dx dx

dp dp.

et les équations analogues en y et z. Si l'on exprime maintenant

t . . ,, ,,. d-x à- y diz

que 2 en est une solution, et si Ion élimine- — : — ■> , , > - — — 1 ' dpdpi dpàpx dpdp!

au moyen des équations précédentes, on trouvera

d2cp dx dx d-'i t dx dy dy dx\ d-o dz dz

dx- dp dp y dxdy\do dpi ' dp dpi) dz'2 dp dpv

C est une relation à laquelle devront satisfaire, en chaque point de la surface, les Langentes aux deux familles conjuguées. Si l'on prend, par exemple, la valeur suivante de o :

on a

dx dx dy dy dz dz dp dp{ ' dp do\ dp d0[

le système conjugué est orthogonal, c'est-à-dire qu'il est formé desdeux systèmes de lignes de courbure, ce qui nous conduit au théorème suivant :

L'équation de la forme

doc2 du dp dp2 d-x dp

dont les coefficients sont déterminés par la condition qu'elle admette comme solutions particulières

x, y, z, x*-[-y*-hzZ,

x, y, z désignant les coordonnées cartésiennes rectangulaires d'un point de la surface exprimées en fonction de deux variables quelconques a et (3, admet pour caractéristiques les deux familles de lignes de courbure de la surface.

L'application suivante, qui est très simple, fournit une vérification de cette proposition. Prenons comme variables indépendantes deux des coordonnées x ety. L'équation

d2B d-io rd*Q nce de

dx2 d.v dy à y'1 dx dy

devant admettre les solutions particulières x ety, on aura d'abord

si l'on exprime ensuite qu'elle admet également les deux solutions

on obtiendra les deux relations

A/' + Bs + C/ = o, A(i^-p2) ■+■ Bpq -t- G(i + ^2) = o,

où p, q, r, s, t désignent les dérivées de z, et qui déterminent les rapports de A, B, C. L'équation cherchée est donc

[s(i-hq*-) — tpg] —

-[r(H-y«)-*(i+Jp»)]^^ + [W-.fi+Jp»)]^ = o>

et l'équation différentielle de ces caractéristiques fournit l'équation bien connue des lignes de courbure.

On peut encore prendre pour co la valeur suivante :

où f{x, y-, s) désigne un polynôme du second degré. Alors l'équation (22) deviendra

d\f d.r d.r d\f / dx c^ dy àx\

dx2 dp dpl d.vdj\àp dpi dp àpt /

j fdf àr ^ df dy df àz\ fdf àx df dy df àz\

if \àx dp ' dy dp àz dp) \dx dp{ dy dpi dz dp\j

elle exprime que le système conjugué formé parles caractéristiques de l'équation linéaire est tel que les deux tangentes aux courbes coordonnées passant par chaque point M de la surface soient conjuguées par rapport au cône de sommet M circonscrit à la quadrique définie par l'équation

Ces caractéristiques sont les lignes de courbure de la surface lorsqu'on substitue, comme il arrive dans la Géométrie Cayleyenne, une quadrique quelconque au cercle de l'infini (1).

116. La théorie des lignes asymptotiques d'une surface se rattache par les liens les plus étroits à celle des systèmes conjugués. Si l'on groupe ces lignes en deux familles distinctes, comme on le fait pour les lignes de courbure, on peut dire que chacune des deux familles ainsi obtenues est conjuguée à elle-même. Par conséquent, les lignes asymptotiques se conservent lorsqu'on soumet la surface, soit à une transformation homographique, soit à une transformation par polaires réciproques. Le calcul suivant met d'ailleurs ces résultats en évidence.

Conservons toutes les notations du n° 106. Soient toujours w, v, w, p les coordonnées du plan tangent; x, y, s, t celles du point

(l ) Voir l'Ouvrage de l'Auteur : Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques et sur la théorie des imaginaires, p. 177 et 2i>2.

de contact. On aura, nous l'avons vu, les égalités

-+- vy

pt —

u dx

-4- v dy

w dz

p dt =

x du

+ydv

z dw

t dp =

qui se rapportent à un déplacement quelconque effectué sur la surface.

Cherchons l'équation différentielle des lignes asymptotiques. Il faudra écrire que le plan oscillateur de ces lignés coïncide avec le plan tangent, c'est-à-dire que le point dont les coordonnées sont

-d'-x, y-+-dy-+--d*y,

se trouve dans le plan tangent. On est ainsi conduit, en tenant compte des égalités précédentes, à l'équation

Lesidenlités que l'on obtient en différentiant les deux dernières équations (22) nous permettent de remplacer l'équation précédente par une des deux suivantes :

du dx -t- dv dy -t- dw dz h- dp dt = o, / x d2 u -h y d'1 v -+- z d- w -+■ t d"-p = o,

qui lui sont équivalentes.

La première de ces deux formules donne immédiatement l'équation différentielle des lignes asymptotiques quand la surface est définie par son équation, soit en coordonnées ponctuelles, soit en coordonnées tangentielles ; mais les formules précédentes (24) et (24') permettent aussi d'écrire cette équation différentielle si l'on suppose que les coordonnées soient exprimées en fonction de deux variables a et [3. Par exemple, si l'on élimine u, p, w: p entre la première équation (2.3), les deux équations (i3) du n° 106 et l'équation (24), on sera conduit à la relation

dy.

dfi

àz

drj.

djî

qui constitue l'équation différentielle cherchée. Si l'on développe et si l'on ordonne par rapport à c/a, <r/3, on trouvera

dx dx d2 x

dx d|3 da-

\y dy d'2 y

doc d3 doc'2

âz dz à2 s

doc dj3 dx2

dt dt à"- t

doc d«3 doc'2

dx dx

y a~. aq

du*

à- x dû d3 dv. d$

dy dy à- r

Te !$ doTdJ

àz dz d2z d~3

doc

dt dt

doc d

àH

doc dB dy. d3

dx d$

dx dx d- x

T d$ ~djï

dy dy à-y

Ta dp ~dp

dz dz à2z

T. T, 'dj2

dt dt dît

Tx Ti djï2

L'équation en coordonnées tangentielles est toute semblable et s'obtiendra en remplaçant dans la précédente x, y, s, t par u, v ,

On peut encore obtenir l'équation des lignes asymptotiques par le procédé suivant. Considérons toutes les équations

. d2o d^e d^o de ^de

doc2 dy. dp dp2 doc dp

dont x, j", s, £ sont des solutions particulières. On aura nécessairement