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d2 y dy.2 d2z dx2

oT-

doc dp dS2

dx ^ dx

Ces quatre relations ne suffisent pas à déterminer les coefficients A, B, C, D, E. Mais, si nous voulons que les caractéris-

tiques soient confondues, il faudra qu'elles satisfassent à la fois aux deux équations

■2\dp — B dx = o, 2 G dx — B d§ = o.

L'élimination de A, B, C, D, E entre ces deux équations et les quatre précédentes donne l'équation différentielle (25) des asymplotiques, qui sont ainsi définies uniquement par leur propriété d'être leurs propres conjuguées.

Nous pourrions déduire de l'équation (a5) la proposition déjà démontrée (n° 107) relativement aux systèmes conjugués; car la condition nécessaire et suffisante pour que les deux familles de courbes (a), ([3) soient conjuguées, c'est-à-dire pour que les tangentes aux courbes coordonnées qui passent en chaque point de la surface divisent harmoniquement l'angle formé en ce point par les tangentes asymptoliques, est évidemment que le coefficient de drJ. df> soit nul dans l'équation différentielle (25). Nous retrouvons ainsi la condition déjà donnée (n° 106).

117. Réciproquement, toutes les fois que l'on connaîtra sur une surface un système conjugué, on pourra écrire l'équation des lignes asymptoliques sous une forme qui ne contiendra plus le rectangle dzdfi.

Ici se présente une nouvelle occasion d'appliquer la proposition de M. Kcenigs ; car, si l'on suppose que la droite D qui figure clans l'énoncé de cette proposition s'éloigne à l'infini parallèlement à un plan fixe, on reconnaîtra que les sections planes, parallèles à ce plan fixe, ont pour conjuguées les courbes de contact des cylindres circonscrits à la surface dont les génératrices rectilignes sont parallèles aux diverses droites de ce plan. Si l'on rapporte les points de la surface à ce système conjugué, l'équation des lignes asymptotiques ne devra contenir que les carrés des différentielles.

Prenons, en effet, un système de coordonnées cartésiennes x: y, z et soient /?, q les dérivées de z considérée comme fonction de x etde^. En supposant que le plan fixe ait été choisi pour plan des yz, les variables qu'il faudra adopter seront les suivantes :

De l'équation

dz = p dx -+- g dy

on déduit

d(z — qy) = p dr — y dq = p dx — y d$.

Par conséquent, si l'on pose

(27) z — gy = z',

et si l'on exprime g' en fonction de a et de (3, l'équation précédente nous donnera évidemment

As'

ou encore

p' et q' désignant les dérivées de z' par rapport à a et à (3. L'équation différentielle des lignes asymptotiques

dp dx -+- dq dy = o deviendra donc, avec les variables a et (3,

(29) dp' di. — dq' d° — o,

et, si l'on remplace />', q' par leurs expressions r' do. -f- s'd[i, s'do.-\- t'dfi, en fonction des dérivées secondes /■', s', t' de z' 1 elle prendra la forme

qui, comme nous l'avions prévu, ne contient plus le terme en do.dfl.

La forme si simple de cette équation permet d'obtenir un grand nombre de surfaces dont on pourra déterminer en termes finis les lignes asymptotiques.

En effet, considérons à la fois une équation différentielle

<3'> ag = »(«.«

et l'équation aux dérivées partielles

Si l'on sait trouver une fonction z' satisfaisant à cette dernière

équation, ou en déduira une surface en remonlant à x, y, z par les formules

x = u, y = — q\ z = qy + z'=z'—$q'.

Or, les lignes asymptotiques de cette surface seraient déterminées par l'équation

>' dy.-— t' d$-= o,

et, en remplaçant -, par sa valeur déduite de l'équation (32), on

retrouvera l'équation (3i). Toutes les fois que l'on saura intégrer cette équation différentielle en même temps que l'équation aux dérivées partielles (3a), on aura donc des surfaces dont on connaîtra les lignes asymptotiques.

Supposons^ par exemple, que l'on prenne pour la fonction o une constante k2. Les équations finies des deux systèmes de lignes asymptotiques seront