CHAPITRE Y

Equation différentielle des lignes de courbure en coordonnées cartésiennes. — Formation de la même équation à l'aide des coordonnées plûckériennes de la normale. — Application à la détermination des lignes de courbure des surfaces définies par l'équation xmy"zi' = C. — Système triple orthogonal dont fait partie cette famille de surfaces. — Détermination des lignes de courbure de la surface lieu des points tels que la somme de leurs distances à deux droites qui se rencontrent à angle droit soit constante. — Formules d'Olinde Rodrigues relatives aux lignes de courbure. — Premières notions sur la méthode de représentation sphérique de Gauss. — Rapports avec la théorie des équations linéaires aux dérivées partielles. — Les lignes de courbure sont les caractéristiques de celle de ces équations qui, en même temps que x, y, z, admet x2 -+- y"1 -+■ z"1 comme solution particulière. — L'inversion conserve les lignes de courbure. — Premier exemple d'équations linéaires admettant des solutions particulières liées par une relation quadratique et homogène. — Système triple formé de surfaces cyclides à trois plans de symétrie. — Démonstration du célèbre théorème de Dupin relatif aux systèmes triples orthogonaux. — Cette démonstration se rattache à la considération d'un système de trois équations linéaires aux dérivées partielles auxquelles satisfont les coordonnées cartésiennes x, y, z, équations dont on peut déterminer simplement les coefficients lorsqu'on a calculé l'expression de l'élément linéaire de l'espace dans le système orthogonal employé.

137. Les propriétés des systèmes orthogonaux et isothermes ne dépendent que de la forme de l'élément linéaire et se conservent quand on déforme la surface sans altération des longueurs des arcs. Il n'en est plus de même pour le système orthogonal qui est formé par les deux familles de lignes de courbure. Mais ce système se distingue de tous les autres par une propriété essentielle; il est à la fois orthogonal et conjugué, il a un rôle extrêmement important dans l'examen d'un grand nombre de problèmes relatifs à la théorie des surfaces et, à tous ces points de vue, il mérite que nous en fassions dès à présent une étude assez détaillée.

Une ligne de courbure peut être, on le sait, définie par cette propriété que les normales à la surface en ses différents points

forment une surface développable. L'arête de rebroussement de cette développable est évidemment une des développées de la ligne de courbure, le point de contact de chaque normale avec l'arête de rebroussement est le centre de courbure principal correspondant à la ligne de courbure considérée. Nous allons indiquer d'abord comment on obtient l'équation différentielle des lignes de courbure.

138. Soient x, y, z les coordonnées rectangulaires d'un point quelconque de la surface considérée, u, r, w des quantités proportionnelles aux cosinus directeurs de la normale en ce point. Les coordonnées X, Y, Z d'un point quelconque de la normale auront pour expressions

(1) X = x-+-u'k, Y=y-+-vl, Z = z -h w\,

\ étant une arbitraire dont la variation donnera tous les points de la normale. Exprimons qu'il existe un déplacement pour lequel ce point décrit une courbe tangente à la normale; nous aurons les

équations

d(x -+- u\) d(y -h çl) d(z -+- w\) u v w

ou, plus simplement, en retranchant dX des trois rapports égaux,

. , dx -+- X du dy -4- X dv dz -+- X dw

(2) 7. =-jL—„ =

L'élimination de Xnous donnera l'équation différentielle

dx du u ( 3 ) dy dv v

dz dw w

qui est celle des lignes de courbure. En la développant on trouve (4) du(v dz — w dy) -+- dç(w dx — u dz) -+- dw{ u dy — v dx) = o.

Cette équation détermine les directions des deux lignes de courbure qui passent en chaque point de la surface; les formules (2) feront connaître la valeur de X relative à chaque ligne de courbure, et le centre de courbure correspondant sera alors défini par les formules (1).

139. On est encore conduit à l'équation (4), si l'on applique une autre méthode qui repose exclusivement sur l'emploi des coordonnées de la normale. On sait que Plucker a considéré la ligne droite comme un élément de l'espace et qu'il l'a définie, comme on le fait pour un point ou un plan, par des coordonnées.

Nous avons déjà rappelé au n° 52 que l'on peut définir une droite par les équations

i b z — cy + a' = o,

(5) l ex — az -f- b' = o, f ay — b x -t- c' = o,

qui représentent ses projections sur les trois plans coordonnés. Les six quantités a, b, c, a', b1, c', qui sont liées par la relation quadratique

(6) ad -\- bb' -h ce' = o,

sont dites les coordonnées homogènes de la ligne droite.

Supposons que ces six coordonnées soient des fonctions données d'un paramètre; la droite engendrera une surface réglée. Pour que cette surface soit développable, il faudra qu'il existe une courbe tangente à toutes les positions de la droite; en d'autres termes, il faudra que l'on puisse déterminer les coordonnées x, y, z d'un point variable vérifiant les équations de la droite et satisfaisant aux

conditions

dx dy dz abc

Si l'on différentie les équations (5) en tenant compte des relations précédentes, on trouvera que les coordonnées x, y, z doivent vérifier les trois équations

I z db — y de ■+■ da' = o ,

( 7 ) ' x de — z da -+- db' = o,

' y da — x db -\- de' = o,

qui ne contiennent pas dx, dy, dz. Si on les ajoute après les avoir multipliées respectivement par da, db, de, on obtient la condition

( 8 ) da da' -+- db db' -+- de de' = o,

à laquelle doivent satisfaire les différentielles des coordonnées. On

démontrera aisément que cette condition, qui est nécessaire, est aussi suffisante; et, quand elle sera remplie, les formules (5) et (7) feront connaître, pour chaque valeur de la variable indépendante, le point de contact de la génératrice avec l'arête de rebroussement.

Dans le cas qui nous occupe, les équations de la normale sont

Par conséquent, les six coordonnées de la normale sont w, e, w et les quantités u', (/, w' définies par les égalités

!vz — wy -h u' = o, wx — uz -+- v' = o, uy — vx ■+■ w' = o.

La condition pour que la normale engendre une surface développable sera donc exprimée par l'équation

( 1 o ) du du' -+- dv dv' -t- dw dw' = o,

que l'on reconnaîtra facilement être équivalente à l'équation (4).

140. Proposons-nous, pour donner une application de la méthode précédente, de déterminer les lignes de courbure de la surface

(u) xmynzP= C,

où m, n, p, G sont des constantes quelconques. L'équation différentielle de la surface sera

dx dy dz

les formules (i) deviendront ici

mX n\ pi

et les équations (2) nous donneront

dz X

Si nous substituons les valeurs de dx, dy, dz dans l'équation différentielle de la surface, nous aurons l'équation du second

degré

ni n p

qui fera connaître les valeurs de X correspondantes aux. deux lignes de courbure.

Au lieu de faire correspondre à chaque racine de cette équation la ligne de courbure dont la direction est définie par les formules (i 2), on peut considérer la ligne de courbure perpendiculaire. En désignant par dx, dy, dz- les différentielles relatives à cette seconde ligne, on aura l'équation

x dx y dy z dz

m ri p

qui, jointe à l'équation différentielle de la surface, déterminerait les rapports de dx, dy, dz. Ainsi, pour obtenir les équations différentielles des deux familles de lignes de courbure, il suffira de remplacer successivement, dans l'équation (i4)> X par les deux racines de l'équation (i3).

Ce point étant admis, l'intégration est facile. Multiplions, en effet, l'équation (izf) par 2 et ajoutons-lui l'équalion (i3) multipliée par dX. Nous obtiendrons ainsi une différentielle exacte

et, en intégrant, nous aurons

u désignant le paramètre de la ligne de courbure. Il faudra, pour obtenir les deux familles, remplacer successivement X parles deux racines de l'équation (i3). Si l'on remarque maintenant que cette équation (i3) s'obtient en égalant à zéro la dérivée de l'équation (i5) par rapport à X, on sera conduit au théorème suivant:

Si, dans V équation (i 5), on considère u comme une constante et X comme un paramètre variable, les enveloppes des surfaces représentées par cette équation, correspondantes aux diverses valeurs de u, coupent la surface proposée suivant ses lignes de courbure.

On voit que ces lignes de courbure seront algébriques toutes les fois que la surface proposée le sera, c'est-à-dire toutes les fois que m, n, p seront commensurables. On reconnaîtra de plus, par un calcul facile, que la famille de surfaces représentée par l'équation (ii), dans laquelle on donne à C toutes les valeurs possibles, et les deux familles d'enveloppes dont il est question dans l'énoncé précédent forment un système triple orthogonal (1).

Supposons, par exemple, que l'on prenne

L'équation (i i) prendra la forme

L'équation (i3) admettra pour racines

il en résultera, pour m, les deux valeurs fournies par les équations suivantes :

(17) \/ûi= v/^+^-W^+.r2,

(') Dans son Mémoire sur les surfaces orthogonales, inséré en 1847 au Journal de Liouville (ire série, t. XII, p. 246), J.-A. Serret, développant une remarque de Bouquet, a montré, le premier, que les surfaces représentées par l'équation (n) constituent une des familles d'un système triple orthogonal et il a indiqué les moyens de déterminer les deux autres familles qui complètent le système. Mais il n'a développé les calculs que dans les deux cas

m = 1 , n = i, jt? = i, et m = 1 , n = 1 , /> = — r ■

La méthode suivie dans le texte est exposée, avec les généralisations qu'elle comporte, dans un Mémoire sur la théorie des coordonnées curvilignes et des systèmes orthogonaux publié par l'Auteur (Annales de l'École Normale supérieure, 2e série, t. VII, 1878, p. 227).

*ï5o LIVRE II. — CHAP. V.

Les surfaces représentées par ces deux dernières équations sont les lieux des points tels que la somme ou la différence de leurs distances à l'axe des x et à l'axe des y, c'est-à-dire à deux droites rectangulaires qui se coupent, soit constante.

Si l'on prenait

les équations des trois familles prendraient la forme

!xyz = G, 3 3 3y/3 \/u' = (a?2-+- w/2+ w2.s2)2-î- (:r2-f- w2 j2 -+- w.g2)2, 3. 3^ 3/3 /«"= (>2 + WJ'2 -f- IOs-Sa)2 — (a?2-|- o)2JK2+ W-S2)2,

(0 désignant une racine cubique imaginaire de l'unité. Ce résultat est dû à Cayley.

Pour l'obtenir rapidement et d'une manière élégante, on procédera comme il suit. On a ici

(a) u = (X+^2)(X+jk2)(X-i-^2).

Si l'on pose

(6) < JK2= a -H w P -1- w2y,

l'expression de u deviendra

« = (Uï)!+ p'+Y3— 3Py(^ + «)-

Eliminant X entre cette équation et sa dérivée par rapport à A

(X-+-a)2-pY = o, on trouve

11 n'y a plus, pour retrouver les formules de Cayley, qu'à remplacer ^ et y par leurs valeurs tirées des formules (6)

Dans le cas où. /??, ;z, ^ ont des valeurs quelconques, on peut remarquer que les trajectoires orthogonales des surfaces de la

famille

xmyn-p— G

sont les courbes du quatrième ordre définies par les équations

- const.,

= const.

141. Revenons à la théorie générale. Les formules (2 ) prennent une forme particulièrement remarquable si l'on suppose que u, p, w, au lieu d'être simplement proportionnels aux cosinus directeurs de la normale, soient égaux à ces cosinus, que nous appellerons c, <?', c" . Alors, les formules (1) prendront la forme

(20) X = x + cR, Y=y-+-c'R, Z = .- + c"R

et définiront un point de la normale situé à la distance R du pied de cette normale; cette dislance R aura, d'ailleurs, un signe : elle devra être portée dans le sens défini par les cosinus c, c', c" si elle est positive, et en sens contraire si elle est négative. Les formules (2) nous donneront les suivantes :

dx -+- R de dy -+- R de' dz -1- R de"

Ajoutons les numérateurs et les dénominateurs après les avoir multipliés respectivement parc, c7, c';, nous trouverons, en tenant compte de l'équation évidente

c dx -+- c' dy -+- c" dz = o,

que la valeur commune de ces rapports est égale à zéro. On peut donc écrire les formules suivantes :

(21) dx + R de = o, dy -t- R de' =0, dz -h R de" = o,

qui sont dues à Olinde Rodrigues et qui jouent un rôle essentiel dans la théorie des lignes de courbure. R désigne le rajon de courbure principal correspondant à la ligne considérée, et les coordonnées du centre de courbure correspondant sont définies par les formules (20).

142. On obtient aussi les équations d'Olinde Rodrigues en faisant usage d'une notion très importante qui est due à Gauss,

celle de la représentation sphérique. Envisageons une portion quelconque d'une surface donnée et attribuons un sens aux normales en tous les points de cette région, en nous attachaut à satisfaire à la condition que les cosinus directeurs c, c', c" de la normale soient des fonctions continues des deux paramètres qui définissent le pied de cette normale. Construisons maintenant le point dont les coordonnées rectangulaires sont c, c', c" '; il appartient évidemment à la sphère de rayon i ayant pour centre l'origine des coordonnées, et l'on voit que nous établissons, point par point, une correspondance entre cette sphère et la surface donnée. A un point M de la surface correspondra un point m delà sphère, à une courbe de la surface une courbe de la sphère, à une région continue de la surface une région également continue de la sphère. Ce mode de correspondance a reçu le nom de représentation sphérique ou d'image sphérique de la surface, et Gauss en a fait usage, nous le verrons plus tard, pour établir et formuler une des propositions les plus importantes de la théorie qui nous occupe.

Si nous considérons un point quelconque M de la surface et son image sphérique m, il résulte de notre définition que le plan tangent à la surface au point M est parallèle au plan tangent de la sphère en m ; les normales aux deux surfaces sont parallèles, et, en ce qui regarde leurs sens, on voit qu'au sens positif de la normale à la surface correspond celui de la normale extérieure à la sphère.

Imaginons que le point M se déplace à partir de sa position initiale sur la surface et décrive un élément de courbe MM', le point m qui lui sert d'image se déplacera à partir de m et décrira un élément de courbe mm'. Cherchons la relation entre ces deux éléments correspondants.

Il est évident d'abord que l'arc mm' mesure en grandeur l'angle des normales en M et M' ou, ce qui est la même chose, l'angle infiniment petit des plans tangents à la surface en ces deux points. C'est là une première propriété très importante de la représentation sphérique : elle permet d'étudier géométriquement la variation du plan tangent.

D'autre part, la tangente mm' de la sphère et la tangente MM' de la surface ont évidemment pour conjuguées des droites qui

sont parallèles, puisque les plans tangents aux points correspondants des deux surfaces le sont toujours. Or, dans la sphère, la conjuguée d'une tangente est perpendiculaire à cette tangente. On peut donc énoncer la proposition suivante :

Uangle des tangentes en m et en M aux deux courbes correspondantes mm' et MM' est complémentaire de V angle formé par la tangente à la surface avec sa conjuguée.

Ou autrement :

A une tangente MT de la surface ayant pour conjuguée MT' correspond une tangente mt de la sphère perpendiculaire à MT'.

Appliquons cette remarque générale aux cas particuliers les plus intéressants.

Supposons d'abord que MT soit une tangente asymptotique : elle coïncidera avec sa conjuguée MT' et sera, par conséquent, perpendiculaire à son image sphérique. On aura donc l'équation différentielle des lignes asymptotiques en écrivant que les déplacements correspondants sur la surface et sur la sphère sont perpendiculaires. On est ainsi conduit à l'équation

dx de -\- dy de' -t- dz de" = o,

cpie l'on déduit, en effet, de la première des formules (24) (n° Ho) en y faisant t = 1 .

Prenons maintenant pourMT une tangente principale : MTsera perpendiculaire à MT' et, par conséquent, parallèle à mt; et, réciproquement, si MT est parallèle à mt, elle sera perpendiculaire à sa conjuguée. Ainsi, les tangentes principales sont caractérisées parla propriété d'être parallèles à leur représentation sphérique. En écrivant les conditions de parallélisme, nous relrouvons les

équations

dx dy dz de de' de"

qui sont celles d'Olindc Rodrigues, d'où l'on aurait éliminé le rayon de courbure R.

Nous aurons fréquemment l'occasion d'employer la représentât ion

sphérique et nous nous contenterons, pour le moment, des remarques élémentaires qui précèdent. Avant de continuer l'étude générale des propriétés des lignes de courbure, nous indiquerons comment on peut former leur équation différentielle dans les oas très variés qui peuvent se présenter.

143. Supposons d'abord que la surface soit considérée comme lieu de points et que les coordonnées rectangulaires x, y, z soient des fonctions données de deux paramètres a, [i. On pourrait employer l'équalion (4)j ^a méthode suivante conduit au résultat d'une manière plus symétrique.

Les équations delà normale au point (#, y, z) seront

\ 0x ,v dy .„ — #)—-+- (Y — y)-f- -+-(Z —

dx v J ' dx K

, dx ,. dv

'dp

l dx dy ^ àz dr \ dx dx dx dx

(aa)

| dx dy dz dr

[ ^ dj~^ d$^~ àj~d$

en posant, pour

abréger,

Exprimons que la normale engendre une surface développable, c'est-à-dire qu'il existe un déplacement pour lequel un point convenablement choisi (X, Y, Z) de celte droite satisfait aux

équations

dx dy

— d\ -h — d\ dx dx

dx dy

-dX+^dY-

Différentions les équations (22) en tenant compte des précédentes ; nous aurons

dx dy dz , dr

X d - v-\ d ^- — hZrf d — = o,

dx dx dx dx

dx d y àz . dr

dz.

dû

L'élimination de X, \, Z entre les formules (22) et (24) nous donnera l'équation différentielle des lignes de courbure sous la forme d'un déterminant

da.

. dx

dz IFx

t dz

et les formules (22) et (24) feront connaître le centre de courbure principal correspondant à chaque ligne de courbure.

Le résultat précédent peut être encore présenté sous la forme suivante. Considérons une équation linéaire aux dérivées partielles de la forme

d'-Q dx d'à

A^+Bd0=O'

et exprimons qu'elle admet les quatre solutions particulières #, y1 z, /'; nous aurons ainsi quatre équations qui détermineront les rapports mutuels de A, B, C, A', B'. L'équation linéaire pourra même s'écrire sous la forme d'un déterminant

à*-iï

àôfi

àxà$

'dxT

daà$

7ft

dx~

dxàfi

dx2

dadB

dâ*

dadS

Il suffit de comparer cette équation au déterminant (25) pour reconnaître que l'équation différentielle des lignes de courbure, ordonnée par rapport à rfa, dfl, pourra s'écrire

A dp — B dx d$ + G dvï= o,

256 LIVRE II. — CIIAP. V.

A, B, C étant les coefficients qui figurent dans l'équation (26). INous pouvons donc énoncer cette première proposition :

Lorsqu'on aura obtenu, par un procédé quelconque, l'équation aux dérivées partielles de la forme (26) à laquelle satisfont à la fois x, y, z et x- + y- + z-, V équation différentielle des lignes de courbure sera donnée par la formule (27). En d'autres termes, les lignes de courbure seront les caractéristiques de cette équation aux dérivées partielles.

C'est la proposition déjà obtenue par une autre voie au n° 115.

1-44. Nous rattacherons au résultat qui précède le théorème suivant :

Etant donnée V équation

doc dp d% d'd

où A, B, C sont des fonctions quelconques de a, (j, si l'on en connaît cinq solutions particulières liées par une équation homogène du second degré à coefficients constants, on pourra obtenir une surface dont on saura déterminer les lignes de courbure.

Soient, en effet, 0(, G2, ..., 9S les cinq solutions satisfaisant à la relation homogène du second degré

<p(0ii 8a, 8,, 64, 6B) = o.

On pourra, en effectuant sur ces solutions une substitution linéaire à coefficients constants, ramener la relation précédente à la forme

Faisons, dans l'équation en 9, la substitution

a- satisfera, comme 0, à une équation linéaire; mais cette équation,

devant admettre la solution <r = i , sera de la forme

= Ai— H-Bi -Ta

et ne contiendra plus le terme en a. Elle admettra les solutions particulières

(29) *=ëT •r=ël' z = ô7 ' =êT

qui sont liées par la relation

Donc, en vertu de la proposition démontrée au numéro précédent, la surface lieu du point (x, y, z) admettra a et (3 pour paramètres de ses lignes de courbure.

145. Pour donner une application du théorème que nous venons d'établir, nous choisirons l'équation

1 [ Op dpi dp opi qui admet la solution particulière

0 = Ay/(p — a)(pi— a),

quelles que soient les constantes A, a. Nous allons prendre pour

ces constantes cinq systèmes de valeurs de la manière suivante.

Posons

f(u) = (u — ai) (u — a2). . .(u — a3).

Les cinq solutions 9/ définies par la formule générale

,s n a , /(ai— p)(a,-— pi) («/ — h)

satisferont à l'identité

Prenons

a?, = 0!, a72=02, ir3=03,

R désignant une constante quelconque; les cinq solutions 37 satisferont à l'identité (28). Les formules (29) nous donneront ici

o4+*V r~%-hih' * — 64-1- »e».:

04+itt3

et définiront une surface rapportée au système de coordonnées curvilignes formé parles lignes de courbure. On peut, d'ailleurs, trouver l'équation de cette surface de la manière suivante : Les équations (32) nous donnent

2R IrT

D'autre part, les fonctions G, satisfont encore à l'identité

en les remplaçant par les quantités qui leur sont proportionnelles, on obtient l'équation cherchée sous la forme

xi-+-yi-+. Z1— R2\ 2 /a»ï-.+-j,2|.s2| R2 -.2

2R / V 2 Ri

On trouvera de même les équations qui déterminent chaque ligne de courbure. En effet, les radicaux 9/ contiennent d'une manière symétrique les trois quantités h, p, p, ; l'équation précédente devra donc être encore vérifiée quand on y remplacera h par p et parpfl. Cette remarque nous conduit immédiatement à la proposition suivante :

Si, dans l'équation (33), on considère h comme un paramètre variable, les surfaces correspondantes à deux valeurs distinctes de h se couperont mutuellement suivant une ligne de courbure commune à ces surfaces.

DU SYSTÈME ORTHOGONAL FORMÉ PAR LES LIGNES DE COURBURE. 25g

Si l'on chasse les dénominateurs dans l'équation (33), on reconnaîtra que, le coefficient de hA étant nul, elle est du troisième degré seulement par rapport à h ; par conséquent, si l'on donne à h toutes les valeurs possibles de manière à obtenir une famille de surfaces, il y aura trois surfaces de cette famille passant par chaque point de l'espace. Ces trois surfaces, devant se couper mutuellement suivant des lignes de courbure communes, seront nécessairement orthogonales. Ainsi, l'équation (33) définit un système triple orthogonal, analogue à celui qui est formé par les surfaces du second degré, el composé de trois familles représentées par la même équation. Si Ton suppose, par exemple, aK , a2-, «3, a.-t réels et rangés par ordre de grandeur, les trois familles correspondront aux valeurs de h comprises entre aK et a2, entre a2 et «3, entre «3 et ah.

Les surfaces représentées par l'équation (33) sont du quatrième ordre et admettent pour ligne double le cercle de l'infini ; elles ont reçu le nom de cyclides.

Ii6. Nous indiquerons maintenant une application d'une autre nature. On sait que Yinversion, ou transformation par rayons vecteurs réciproques, définie, dans le cas le plus simple, par des formules telles que les suivantes :

x'1 -+- y- -\- z- a?2+jK2-t- z- x- -+- y 2-+- z'1

fait correspondre une sphère ou un plan à une sphère ou à un plan, qu'elle conserve les angles et les rapports de similitude des éléments infiniment petits. Nous allons montrer qu'elle conserve aussi les lignes de courbure.

Considérons, en effet, une surface quelconque (S), et soient p, p, les paramètres de ses lignes de courbure. Nous savons que x, y, z satisferont à une équation de la forme

dp dpi dp dpi

et cette équation se distingue de toutes celles qui seraient relatives à d'autres systèmes conjugués par la propriété, déjà signalée, d'admettre aussi comme solution x- -\- y- -\- z'1 . Ces quatre solutions de l'équation (35) s'expriment, au moyen de X, Y, Z, de la

manière suivante :

Si donc on effectue dans l'équation (35) la substitution

l'équation en <y admettra les solutions particulières

et sera, par conséquent, de la forme

d2<7 , dz du

dp dp, dp dp,

D'ailleurs, l'équation (35) admettrait la solution évidente G = r et, par conséquent, l'équation (36) admettra, en même temps que

X, Y, Z, la solution

Il résulte de là que la surface lieu du point (X, Y, Z) aura p, ot pour paramètres de ses lignes de courbure. Ce résultat est précisément celui qu'il s'agissait d'établir.

147. On démontre d'ordinaire la proposition précédente en la rattachant au théorème de Dupiu, relatif aux lignes de courbure des surfaces qui font partie d'un système triple orthogonal. Nous donnerons, en terminant ce Chapitre, une démonstration nouvelle de ce théorème.

Soient

(4o) p=f{x,y,z), pl=f1(x,jr,z), pi=f2(x,y,z)

les équations de trois familles de surfaces qui se coupent mutuellement à angle droit. Si l'on résout ces équations par rapport à x, y, z, les relations

d.r dx dx dx dy dy dz dz

dp dp, dp dpt dp dpx dp dpx

. 1 PI dx dx dx dx dy dy dz dz

\ O dp àp% dp dp2 dp dp2 ' dp dp2

Sdx dx dx dx dy dy dz dz

dp, dp2 ' dpi dp2 dpi dp2 dp, dp2 ~

où nous employons le signe S de Lamé pour indiquer une somme étendue aux trois coordonnées d'un même point, devront avoir lieu identiquement. Si nous différentions la première par rapport à p2, la deuxième par rapport à p(, la troisième par rapport à p, nous aurons

fi dx d-x ri dx à1 x

kj Cpi dp dp2 '

dp dpt dp2

d,r d2.r C\ dx d-x

dp.2 dp dpi H dx. à-x n dx à2x

Sdx dlx r\ dx

dp dpl dp2 O dp-,

Sdx d2x Q dx

dpt dp dp.2 kj dp2 dp dp

■et, par suite,

ri d.r d'2 x ri dx d2 x ri dx

kj dp dpidp* O dpi dp dp2 O dp2 dp dp!

D'après cela, on voit que l'on aura trois systèmes différents de solutions de l'équation en a, e, w

^ dx d-x

dx dy dz

— u -+- -f- v -H — dp dp dp

si l'on prend, soit

soit

soit enfin

dx dp.

dpi

d^ w = -— , dp!

d.r dp 2

dp2

dp] dp 2 ^Pi ^p2 dpyôp%

Ces systèmes ne pouvant être linéairement indépendants, il faut que le dernier soit une combinaison linéaire des deux premiers, c'est-à-dire que x, y, z soient des solutions particulières d'une équation de la forme

d26 r)9 dO

\âo) = m -l- n -

dpi dp, dpi dp2

Les variables p,, p2 définissent donc, sur la surface (p), un système conjugué, et comme, par la nature de la question, ce système est orthogonal, il est nécessairement composé des lignes de cour-

dpi dp2

dp dp»

dp,.

dp.

= nii

diï à~p'

-1- tu

1 dpi

262 LIVUE II. — CHAP. V.

bure. On vérifie, d'ailleurs, aisément que l'équation linéaire (43) admet aussi la solution particulière

148. La démonstration précédente conduit à une nouvelle méthode de recherche des systèmes orthogonaux. Nous venons de voir que les coordonnées x, y, z et la somme x2-ry2-\-z2 satisfont à l'équation (43), et il est clair que ces solutions satisfont à deux autres équations semblables en p, p2 et pi, p. Nous allons montrer, réciproquement, que lorsque trois équations linéaires de la forme

1 dpt dp

admettent trois solutions particulières x, y, z en même temps que la somme de leurs carrés x2-\-y2-Jr z2, le système de coordonnées curvilignes défini par les expressions de x, y, z en fonction de p, p,, p2 est nécessairement orthogonal.

Considérons, en effet, l'une des surfaces coordonnées (p); le système de coordonnées curvilignes (p,, p2), déterminé sur cette surface par les deux autres familles, est formé des lignes de courbure de cette surface ; car x, y, z, considérées comme des fonctions de p,, p2, satisfont, en même temps que x2 + y2 -\- z2 . à la première des équations précédentes. Les surfaces des trois familles, se coupant mutuellement suivant leurs lignes de courbure, seront nécessairement orthogonales.

Ï49. Pour ne pas traiter ce sujet d'une manière incomplète, nous remarquerons qu'on peut obtenir aisément les coefficients m, n. ... quand on connaît l'expression de l'élément linéaire

<r/s2 = H2c/p2+Hf dp]-hUl dpi, dans le système orthogonal. Si l'on différentie, en effet, par rapport

à o, l'équation

ç),*fêH=),-'>

on aura

(M r\ dx d*x

pi Orfp op dpi

et, en remplaçant - — : — par sa valeur déduite de la dernière équar ° àpapi r n

lion (44),

dH r\ /drr\2 n dx dx

- — = »i, \ — +nA — - — = m2H2.

dpi " O \dp ) ' O dp dpi

On a donc

t dH

H dpx

Si l'on substitue cette expression et les valeurs analogues de

n2l m, /?, ... dans les équations (44)? on les obtient sous la

forme

dH i e?H, de i dH2 d6

dp! dp2 Hj dp, dpi H2 dpi dp2'

d2e j dH, ^ i dH d6

dpt dp H2 dp dp2 H dp2 dp

d26 i dH d6 i dHj dG

dp dpi H dpi dp Hj dp dpi

qui. est due à Lamé.

149 bis. Le résultat que nous venons d'obtenir est une simple application d'un principe général qui se montrera fécond et que l'on peut énoncer comme il suit :

Toutes les fois que l'on connaît l'élément linéaire d'une surface rapportée à un système de coordonnées curvilignes formé de lignes conjuguées, on peut former l'équation linéaire à laquelle satisfont les trois coordonnées cartésiennes d'un point de la surface.

Soit en effet

(46) ds*- = E du"- + a F du dv -+- G dv*-

l'expression de l'élément linéaire. Nous savons que les coordonnées cartésiennes jc, y, z satisfont à une équation de la forme

, , . d2 6 dd , dO

' dudv du dv