CM

cv\ -+- h',

c, A, h' désignant des constantes.

Dans le cas de la sphère, si l'on introduit la latitude X, la longitude /, les formules (4i) peuvent s'écrire

tans;

c(l-lo),

/0 et ).0 étant les coordonnées géographiques du point de la sphère qui correspond au milieu de AA'.

Quant à c, c'est une constante arbitraire à laquelle on a donné le nom d'exposant de la projection.

136. Revenons aux deux solutions que nous avons obtenues par l'emploi de différentes transformations successives. Dans le cas de la sphère, la seconde, par exemple, peut s'énoncer de la manière suivante :

i° On effectue, en prenant le pôle comme point de vue, une projection stéréographique sur le plan de l'équateur; cette projection donne une première carte de la surface que nous appellerons la carte C ;

2° On soumet la carte C à une transformation de Lambert, c'est-à-dire à une transformation définie par les équations

où p, co; p', lu' désignent les coordonnées polaires des deux points correspondants, rapportées au centre de la sphère comme pôle; cela donne une seconde carte que nous appellerons la carte D;

3° On soumet la carte D à une inversion quelconque dont le pôle est dans le plan de cette carte, ce qui donne la carte définitive E.

La constante c est appelée, nous l'avons dit, l'exposant de la projection .

Dans les Mémoires que nous avons cités, Lagrange se propose le problème suivant : Etant, donnés trois points sur la sphère, peuton faire une carte d'exposant donné, de telle manière qu'ils soient représentés par trois points, arbitrairement choisis sur la carte ?

« Ce problème, dit Lagrange, me paraît assez difficile à résoudre par la Géométrie; et quant à la solution algébrique, je ne l'ai pas tentée, soit pour ne pas trop m'écarter de mon sujet, soit aussi parce qu'il me semble qu'elle ne serait d'aucun usage, à moins que l'on ne put ensuite la ramener à une solution aisée. »

Les progrès de nos méthodes géométriques nous permettent de résoudre aisément, et avec élégance ce problème que Lagrange n'a fait qu'énoncer. En effet, puisque l'exposant delà carte est donné,, il n'y a d'arbitraire dans la solution donnée plus haut, que le passage de la carte D à la carte E. Le problème posé par Lagrange se transforme en celui-ci :

Étant donné dans le plan un triangle ABC, y a-t-il une D. — I. 16

inversion qui le transforme en un triangle égal à un autre triangle donné A0B0C0?

Et ce problème se résout et se discute facilement.

Soit, en effet, 0 le pôle de l'inversion cherchée, pôle situé dans le plan de ABC. Cette inversion transformera le triangle ABC en un triangle A,B, C)5 qu'on appelle le triangle invariable du quadrilatère OABC, et qui ne changerait pas de forme si, au lieu de soumettre le quadrilatère à une inversion de pôle O, on le soumettait à une inversion ayant pour pôle l'un quelconque des points A, B, C. Cette propriété fondamentale nous conduit à la construction suivante :

On fait une inversion de pôle A, et de module AB.AC par exemple, qui transforme le point B en un point C et le point G en un point B' (fig. 8). Puis sur B'C, on construit un triangle A'B'C

Fig. 8.

semblable au triangle donné A0B0C0- L'bomologue O de A' dans l'inversion considérée sera le pôle de l'inversion cherchée. Quant au module de cette inversion, il se définira par la condition que la distance des deux points qui dérivent de B, C, par exemple, soit égale à B0C0.

On a ainsi la solution complète du problème. Comme il y a deux positions pour A', symétriques l'une de l'autre par rapport à B'C, il y a deux inversions distinctes, toutes deux réelles.

On aurait pu recourir à une autre construction géométrique, en remarquant que les angles du triangle donné A0B0C0 doivent être égaux aux différences des angles BOC et BAC, COA et CBA, AOB et ACB, et que, par suite, on connaît les angles sous lesquels

on voit du point O les côtés du triangle ABC. On aurait été ainsi ramené au problème de Pothenot, mais cette solution nous a paru moins nette que celle à laquelle nous nous sommes arrêté.

Notre première méthode s'appliquerait sans difficulté si l'on supposait que le pôle O de l'inversion cherchée n'est pas dans le plan du triangle ABC.

244 LIVIΠII. CIIAP. Y.