CHAPITRE

LES COORDONNÉES PENTASPHERIQUES.

Equation d'une sphère mise sous une forme qui permet d'affecter un signe au rayon. — S3rstème de cinq sphères deux à deux orthogonales. — Leur théorie se ramène à celle d'une substitution linéaire orthogonale à cinq variables. — Relations entre les puissances d'un point par rapport à cinq sphères orthogonales. — Coordonnées pentasphériques. — Distance de deux points, élément linéaire de l'espace, relations d'orthogonalité exprimées avec ce système de coordonnées. — Equation linéaire du second ordre à laquelle satisfont les cinq coordonnées pentasphériques. — Ses caractéristiques sont les lignes de courbure. — Système triple orthogonal formé avec les cyclides les plus générales. — De même que les coordonnées homogènes d'un point ou d'un plan ne changent pas quand on soumet la figure à une homographie, de même les coordonnées pentasphériques ne changent pas lorsqu'on effectue une inversion. "

Formules principales relatives à la sphère. — Les six coordonnées homogènes de la sphère. — La transformation de Lie qui fait correspondre une sphère à une ligne droite. — Deux définitions de cette transformation.

loO. Dans l'étude des systèmes conjugués, nous avons vu que l'emploi des coordonnées homogènes et tangentielles met en évidence les propriétés projectives et dualisliques qui appartiennent à ces systèmes. Si l'on veut, de même, donner une exposition satisfaisante de la théorie analytique des lignes de courbure, oh est conduit à introduire un système particulier de coordonnées auxquelles nous avons donné le nom de coordonnées pentasphériques. Nous nous proposons de définir, dans ce Chapitre, ce système de coordonnées et d'indiquer son rôle dans la théorie des lignes de courbure.

Considérons une sphère quelconque rapportée à des axes rectangulaires

K(x2-t-jK2-^- -2)-+-2Ax^-2BjK-t-2C^-+-D = o.

Son rayon p sera donné par la formule

A2+B2+C2- DK p"= bP

266 LIVRE II. — CHAP. Vf.

La forme quadratique qui figure au numérateur joue un rôle fondamental dans la théorie de la sphère. Il est naturel de la ramènera une somme de carrés; et, dans ce but, nous écrivons l'équation de la sphère sous la forme

^.r2-^ y2 -4- s2 — R2 . .r2 -t- ) 2 -4- ~2 -+- R2 (l) 9.01.X -+- iç> y -+- ■!'! Z -+- 0 : hi£ '■ 5 = o.

Si l'on désigne par p le rayon et par x0, r0, ~:o les coordonnées du centre de cette sphère, on obtiendra les expressions suivantes de ces quantités :

Ry/a2+P2+T2+82+£2 r>+yl + sl pl__Rl

Si la sphère n'est pas réduite à un point, on pourra toujours supposer que l'on ait

(3) Jî+Pî4-f+o2+£!=Ii

et l'expression du rayon prendra la forme simple