UUi
'( mn — n0v) (m — nvx)
on déduira des formules précédentes la relation
(i-ht»Pi)*Ç(e)Ç(ei) = (n-u«i)*^(a) #,(«,),
que nous aurions pu écrire a priori, puisque chacun des deux membres doit représenter quatre fois le carré du rajon de courbure principal.
D'autre part, on a
du S dui ô
dv (m0 — n0v)% dvx (m — nvi)'1'
par conséquent, les formules (21) conduisent aux relations suivantes :
( §(u)du^ = Cj(v) dv*-, \ ^i(ui)du\ = Qi(vl)dv\,
et l'on reconnaît ainsi que les équations différentielles (r4) et (16) des lignes de courbure et des lignes asjmptotiques ne subissent aucun changement de forme lorsqu'on effectue la transformation.
200. Nous allons donner une application des résultats précédents en cherchant toutes les surfaces minima qui sont en même temps des hélicoïdes ou des surfaces de révolution. Il suffira évi-
358 LIVRE II f. — CHAP. III.
demment d'exprimer qu'il existe un déplacement hélicoïdal continu dans lequel la surface cherchée ne cesse pas de coïncider avec elle-même. Prenons pour axe des z l'axe de ce déplacement qui est aussi celui de l'hélicoïde. Si l'on fait tourner la surface d'un angle fini 0 autour de cet axe, les formules (18) prendront ici la forme très simple
qui convient à ce déplacement et l'on aura
m = e 2, n = o, mQ= e -, n0— o.
En substituant ces valeurs des constantes dans les formules (ai), on trouvera
(23) Ç(p)=#(«»e-rt)e-"rt, Çi(Pi) = ^i(^ie''G)e2'0,
et ces expressions de Ç(v), (h(<-n) ne seront pas changées si l'on imprime à la surface dans sa nouvelle position la translation parallèle à l'axe des z qui l'amène à coïncider avec sa position primitive. On devra donc avoir
par suite, $(v)i $\(v,) devront satisfaire respectivement aux équations fonctionnelles
et cela pour toutes les valeurs de 9.
Ces équations expriment que les produits v-§{v)t ^^(r,) demeurent invariables c[uand on y remplace p, e, respectivement par çe~l®, o,e'9 et sont, par conséquent, constants. On pourra donc poser
« et a désignant deux constantes qui seront réelles si la surface est réelle.
"Les hélicoïdes qui correspondent à ces valeurs de g (u), $\ (ut) sont ceux qui ont été obtenus par Scherk et dont nous avons donné l'équation au n° 180. Nous les retrouverons plus loin. La
LES SURFACES M INI MA EN COORDONNÉES TANGENTIELLES. 35g.
surface mi ni ma de révolution, qui est la caténoïde déjà étudiée au n° 66, correspond à la valeur o de a; l'hélicoïde gauche à plan
directeur correspond (n° 196) à la valeur - de la même constante.
201. Cherchons encore toutes les surfaces minima qui rentrent dans la classe des surfaces spirales signalées au n° 89 et découvertes par Maurice Lévy. Ces surfaces, nous l'avons vu, jouissent de la propriété de reprendre leur position initiale fi on les fait tourner d'un angle quelconque 9 autour de leur axe et si on les soumet ensuite à une transformation homothélique dont le pôle est sur cet axe et pour laquelle le rapport de similitude est ea9, a désignant une constante. Si l'on a pris pour axe des z l'axe de la surface, il faudra donc que la fonction ^(f) relative à la position nouvelle que prend cette surface, après la rotation d'angle 9, soit
égale à
En appliquant ici les formules (23), on aura l'équation fonctionnelle
Posons î devra avoir Si donc on prend
vm
m = 2 — ai, il viendra
\(v) = X(pe-'9),
et, par conséquent, A(<) sera une constante. On a donc
(25) J((.') = (A + Bi>-2+«'; on trouvera de même
(26) £i(ei)=(A — Bi>72-"'.
Nous laissons au lecteur le soin de vérifier qu'à ces expressions des fonctions J, éF, correspond une surface qui jouit effectivement des propriétés que nous avons recherchées. Si l'on suppose a ■— o,
36o LIVRE III. — CHAP. III.
on retrouve, comme il fallait s'y attendre, les hélicoïdes du numéro précédent.
202. Nous terminerons ce Chapitre en recherchant avec S. Lie les surfaces minima qui peuvent, de plus d'une manière, être considérées comme des surfaces de translation (').
Puisque les surfaces minima sont déjà des surfaces de translation engendrées par des courbes dont les tangentes rencontrent le cercle de l'infini, nous nous trouvons dans le cas, envisagé plus haut aux nos 99 et 100, où le cône du quatrième ordre qui joue un rôle fondamental dans cette théorie se décompose en deux cônes du second degré. Ici l'un de ces cônes est le cône isotrope. Pour ne pas étendre outre mesure cette application, nous nous bornerons à étudier le cas général, celui où les deux cônes du second degré ont quatre génératrices distinctes. Nous savons qu'alors la surface minima cherchée sera la transformée homographique de la surface dont l'équation, donnée au n" 100, est
(27) ex' -+- ey' -+- ez' = 1 .
Nous avons vu que x\ y\ z' peuvent être exprimées en fonction de deux variables par les formules
(28) ex — ) j-^ ;> & = v, ^tî c> e'~ = ) è r>
où a, b, c désignent des constantes quelconques; en sorte que la surface peut être engendrée par la translation de toutes les courbes définies par les équations
(29) x'=Log(a — a), jr'=Log(6 — u), z'=hog(c — u).
Les parallèles aux tangentes de ces courbes menées par l'origine engendrent, pour chaque système de valeurs de a, 6, c, le cône ayant pour équation
(') On pourra consulter à ce sujet, en même temps que l'Ouvrage déjà cité plus haut : Géométrie der Beruhrungstransformationen, différents Mémoires de Lie et, en particulier, celui qui est intitulé : Weitere Untersuchungen ûber M inimalflàchen .
LES SURFACES MINIMA EN COORDONNEES TANGENTIELLES. 36f
Lorsque a, b, c varient, tous ces cônes forment un faisceau, et trois d'entre eux se réduisent à un système de deux plans. Pour a = bj par exemple, on a le système de deux plans
z' ( y' — se') = o.
Dans ce cas, les formules générales (28) doivent être remplacées par les suivantes :
(3i) s'=Loga, ;r'=Log(i — «)-t-Logp, y' = Log(i — u) -+- Log(i — v),
et l'on obtient en donnant, soit à m, soità r, des valeurs constantes, les deux courbes planes associées dont la translation peut engendrer da surface. En permutant x', y', z\ on obtient deux autres systèmes ■qui ne diffèrent du précédent que par les notations.
Pour obtenir maintenant la surface minima cherchée, il n'y aura •qu'à faire une transformation homographique conservant le plan de l'infini et faisant apparaître Je cône isotrope parmi ceux qui sont définis par l'équation (3o). Puisque le faisceau comprendra le cône isotrope, tous les cônes qui le composent auront les mêmes axes de symétrie. Et, si l'on prend pour axes coordonnés ces axes ■de symétrie, l'équation obtenue ne devra contenir que les carrés des nouvelles coordonnées. On verra facilement que cette condition ne sera réalisée que si les équations qui définissent la transformation homographique cherchée ont la forme suivante :
A, B, C, a, t3, y désignant six constantes. Alors l'équation (3o) du faisceau des cônes prendra la forme
/inx (b — c) c — a a — b
(33) -ÂÎ-^+ -B^2+ — ^2= °-
Et, pour que le cône isotrope soit compris dans le faisceau, il faudra que l'on puisse déterminer les constantes «, b, c de manière à obtenir
ce qui ne pourra avoir lieu que si les constantes A, B, C vérifient la condition
Si l'on ne fait pas la distinction entre les surfaces réelles et les surfaces imaginaires, la question peut être considérée comme résolue, et il n'y a qu'à porter dans l'équation (17) les valeurs de x\ y* , z définies par les équations (32). Mais si, comme il est naturel, on recherche les surfaces mini m a réelles, il y aura lieu d'ajouter les remarques suivantes :
Pour toute surface réelle, les valeurs de A, B, C doivent èlre ou
réelles, ou purement imaginaires. S'il en était autrement, si -^j par exemple, était de la forme h -h ki, comme on peut tirer de l'équa-
tion de la surface l'expression de ec, en fonction de eA, eB, on en déduirait, en changeant i en — i, à la fois la valeur de ehz et celle de ezA', ce qui est évidemmentinadmissible. Il faut donc que A2, B2, C2 soient réelles, et comme elles sont liées par la relation (35), que deux d'entre elles soient de même signe, la troisième étant de signe contraire. On verra aisément que la seule hypothèse conduisant à une surface réelle est celle pour laquelle les deux quantités de même signe sont négatives. On peut toujours supposer que ces quantités soient A2 et B2; C2 sera positif. Alors, si l'on écrit l'équation de la surface
(36) i^^J^^+^I^^ et si l'on y change i en — i, elle deviendra
a0, (30, y0 étant les conjuguées de a, [3, y. Éliminons ec entre les deux équations précédentes, nous serons conduit à la relation
Pour que cette équation ait lieu identiquement, il faut que
l,ES SURFACES MINIMA EN COORDONNÉES TANGENTIELLES. 363
l'on ail
a-?o P-°Co T -Tu
d'où l'on déduit que l'on peut prendre
a=B^c' ^=Â+c' ^,^+ÂtF
j;0, 7'oi -^o étant des constantes réelles, qu'on pourra faire disparaître par une simple translation réelle des axes. On est donc conduit à l'équation
à laquelle on peut donner la forme
, „ . eL-+- 1 i -t- eA i -4- eb
et: — j x — eA j — eB
Si maintenant, pour tenir compte de ia relation (35), on pose
„0, i 2 hi hi .
(38) -pr = — 7- , A = — coscr, ti = — sin a, L h 1 -i
l'équation de la surface prendra la forme élégante
(39; — = taug-T— — -tang
b h cosu // sin t
C'est une de celles qui ont été découvertes par Scherk. Les courbes gauches dont la translation engendre la surface seront définies par les équations
, , . } iy (a — u)(e— u)
Elles deviendront mininia si l'on a
(40 c = a cas2 a -1- é sin2 a-.
