X -+- i Y = x -t- ïjk -+- w (1 + j«<! ) y J ( m) ^1 ( Mj
x, y, z étant les coordonnées rectangulaires du point de la surface.
L'équation différentielle des lignes asymptoliques s'obtient également sans difficulté, soit avec les coordonnées ponctuelles, soit avec les coordonnées langentielles. Si l'on emploie, par exemple, l'équation (35) que nous avons donnée (n° 165) relativement au système (u. ut, £)
(i-f- un i)( ' r du- -+- 25 du du i -+- t du\) -+- i du du i (£ — pu — qux ) — o,
le coefficient de dudut sera nul en vertu de l'équation aux dérivées partielles de la surface, et il restera
0 (u) du'2-\- d'i( Ui ) du\ = o.
On voit que les lignes asymptotiques se déterminent encore par des quadratures ('). On a, pour leur équation en termes finis,
(16) / \$ (u ) du ± i s/^\(i(\) dii\ = const.,
et les quadratures sont celles qui figurent déjà dans V équation des lignes de courbure.
Pour obtenir des surfaces minima algébriques dont les lignes de courbure et les lignes asymptotiques soient algébriques, il suffira donc de connaître deux fonctions algébriques f{u), j \ («)), telles que les quadratures suivantes :
I \/f" (u)du, j Jfl (ui)dut
soient aussi algébriques.
Lorsque la surface est réelle, les équations des lignes de courbure peuvent s'écrire
oR. / \§(u)du = const., Sli I \ $ (u) du — const.,
( ' ) La détermination des lignes de courbure et des lignes asymptotiques est due à Michael Roberts qui l'a donnée dans un Mémoire Sur la surface dont les rayons de courbure sont égaux, mais dirigés en sens opposés, inséré en i8^6 au Journal de Liouville, t. XI, iro série, p. 3oo. Ce beau travail contient aussi des recherches sur l'aire de la surface ainsi que sur la surface minima réglée la plus générale.
et celles des lignes asvmptotiques
/ yi$(u) du = const., iK f y — i§(u) du = const.
198. Les formules relatives aux coordonnées tangentielles permettent de résoudre simplement une question essentielle et de reconnaître comment se transforment les fonctions/^ u), f\ ( at ), Jl«), J|(h() quand on effectue un changement de coordonnées ou, ce qui est la même chose, quand on déplace la surface en conservant les axes.
Supposons d'abord que Ion soumette la surface à une translation dont les composantes soient A, u., y. L'équation du plan tancent
(u 4- Uy) X ■+- i(ui — u) Y -h (uui — i) Z 4- \
deviendra
(u -T- ui)X. -+- i(u1 — u) Y -+- (uu\ — i)Z -+- \' = o,
; avant pour valeur (n° 167)
£' = lj — A ( u H- ut ) — i fi. ( U\ — u ) — v(uu\ — i ) .
On obtiendra cette nouvelle valeur de £' en substituant aux fonctions f{ m), fK ( U\ ) les suivantes :
/ o^z/i i =f1(uï) — 7(i— u\) -+- -r(.i + »?) >
qui sont imaginaires conjuguées si /(u)-, fi ( uK ) le sont aussi. Les valeurs des fondions 3 ( m), J, (m, ) ne seront pas changées, comme cela était évident a priori.
Imaginons maintenant que l'on imprime à la surface une rotation quelconque autour de l'origine des coordonnées. Un point quelconque M de la surface viendra occuper une certaine position M'. Soit
( v -+- vx ) X -i- i( Vi — v ) Y -f- ( Wx — i)Z -+- £' = o
l'équation du plan tangent en M'. On aura (n° 167)
m0 — «0 v m — nv\
(m — nvi )(m0 — n0y)
Si l'on désigne par g(v), gi(vi)les fonctions analogues à f(u)7 f{ (m, ) et relatives à la surface déplacée, £' aura pour expression
et l'on aura à déterminer g (V), gK (v{ ) par la condition
2m,/(m +2m/,(m1;-(i + h«1)[/(h) + /i(«i)]^ mm ,„„
Pour déduire de cette équation les expressions des fonctions g(v), g*{v*)i on pourrait appliquer la méthode générale du n° 196 ; mais, avec quelque attention, on aperçoit la solution suivante :
t ^ f(uh v>
g(v)= •-j—{mKt—n0vy-,
où B désigne le déterminant de la substitution
0 = mm0+ nnQ,
et que l'on vérifiera aisément. Si l'on remplace u et U\ par leurs expressions en e, pl5 on aura
(m — nv1)z . I m0Vi
199. La question que nous nous étions proposée est ainsi complètement résolue ; car, pour obtenir les résultats relatifs au déplacement le plus général, il suffira de considérer ce déplacement comme résultant d'une translation quelconque et d'une rotation autour de l'origine des coordonnées, et d'appliquer successivement les formules (17) et (20). 11 nous reste seulement
à examiner ce que deviennent les fonctions #(w), §x («,) après le déplacement le plus général et, pour cela, il suffira de difierentier trois fois par rapport à v ou à v{ les équations précédentes (20). On obtient ainsi, en désignant par £(?), Çy(?i) les dérivées g"'{v), gl{v\)i les équations suivantes :
Or \ ^2 tri n °2 j [ mv ->r- n
CJ ( p ) = ; rr ^ O ) = ; $ I
&(pl> = /— û^i(«t)=> '- rJi
{m—nvif (m — ftPi)* \ m — nt>i
qui font connaître de la manière la plus simple la forme nouvelle des fonctions #(«), #i(w(). Il est aisé d'en déduire quelques relations qui serviront de vérification à nos calculs. Si l'on tient compte de l'identité
S ("i — t— Wi)
