CHAPITRE IV

Élément linéaire de la surface miuima et de sa représentation sphérique. — La représentation sphérique réalise un tracé géographique de la surface minima sur la sphère. — Cette propriété est caractéristique, et, si l'on fait abstraction de la sphère, pour laquelle elle est évidente, elle appartient aux seules surfaces minima. — En laissant de côté encore la sphère, les surfaces minima sont les seules pour lesquelles un système orthogonal, tracé sur la surface et différent de celui qui est formé par les lignes de courbure, ait pour représentation sphérique un s}rstème orthogonal. — Problème de Minding; extension à une surface quelconque de la définition des méridiens et des parallèles. Les méridiens sont les courbes pour lesquelles la normale est parallèle à un plan vertical; les parallèles sont les courbes pour lesquelles la normale fait un angle constant avec la verticale. — Recherche des surfaces pour lesquelles les méridiens et les parallèles forment un système orthogonal. Ce sont, ou bien des surfaces moulures, ou bien des surfaces minima.

Représentations conformes obtenues par Riemann de la surface minima sur le plan. Elles font correspondre aux lignes de courbure de la surface deux systèmes de droites rectangulaires dans le plan. — Dans le tracé géographique sur la sphère, les lignes de courbure qui forment sur la surface un système isotherme admettent nécessairement pour représentation sphérique un système isotherme. — Théorème de Bour. — Recherche des surfaces minima à lignes de courbure planes. — Si l'une des familles est composée de courbes planes, il en est de même de l'autre. — Surface transcendante d'Ossian Bonnet. — Surface algébrique d'Enneper. Sa construction et ses propriétés principales.

Autres représentations conformes sur le plan indiquées par Riemann et dans lesquelles une famille de sections de la surface par des plans parallèles est représentée par une famille de droites parallèles.

203. Les résultats obtenus dans les Chapitres précédents conduisent à un grand nombre de conséquences. Nous allons développer d'abord celles qui concernent les différentes représentations conformes de la surface.

Les formules (î1-) (n° 188) nous donnent d'abord pour l'élément linéaire delà surface l'expression suivante :

(i) ds- = (i -i- Mi] )-$ (u ) &i(iii) du diii,

à laquelle nous joindrons celle qui détermine l'élément linéaire de la représentation sphérique

, .„ , ... 4 du duv

( 2 ) a<r2 = de2 -+- de - h- de 2 = ; •

(l+ UUi)2

La comparaison de ces formules met en évidence une proposition du plus haut intérêt, due à O. Bonnet: La représentation sphérique de la surface minima réalise une représentation conforme, un tracé géographique de la surface sur la sphère.

Il est aisé de démontrer que cette propriété caractérise les surfaces minima : Toute surface autre que la sphère, pour laquelle V angle de deux courbes est égal à celui de leurs représentations sphériques, est nécessairement une surface minima. Cela résulte immédiatement de la proposition énoncée au n° 142. JNous avons vu que, si l'on considère une courbe passant en un point M de la surface et y admettant une tangente MT, elle a pour représentation sphérique une courbe qui passe au point m, image de M, en y admettant pour tangente une droite perpendiculaire à la tangente conjuguée de MT. Il suit de là que, si deux courbes issues du point M y admettent les deux tangentes MT, MT', l'angle de leurs représentations sphériques en m sera égal à celui des tangentes MU, MU' conjuguées de MT, MT;. L'indicatrice de la surface cherchée doit donc être une courbe telle que l'angle de deux quelconques de ses diamètres soit égal à celui des diamètres conjugués. Cette propriété n'appartient qu'au cercle et à l'hyperbole équilatère ; la surface cherchée ne peut donc être qu'une sphère ou une surface minima.

Plus généralement, s'il existe sur une surface un système orthogonal admettant pour représentation sphérique un système orthogonal et ne se confondant pas avec celui qui est formé par les lignes de courbure, on arrivera à la même conclusion. Car l'hyperbole équilatère est la seule conique pour laquelle deux diamètres rectangulaires ne se confondant pas avec les axes puissent admettre comme conjugués deux diamètres rectangulaires.

Imaginons, d'après cela, qu'étant donné un système orthogonal (S) quelconque tracé sur la sphère de rayon i, on propose de trouver toutes les surfaces (S) telles que, si l'on effectue leur

représentation sphérique sur la sphère précédente, les courbes de la surface qui correspondent à celles du système sphérique orthogonal (S) forment un système (S') également orthogonal. Le problème ainsi posé sera susceptible d'une double solution : ou bien le système ( S') sera formé des lignes de courbure de la surface et alors la question sera ramenée à la suivante sur laquelle nous avons déjà donné quelques indications (n°162): Trouver les surfaces dont les lignes de courbure admettent pour image sphérique les courbes d'un système orthogonal donné; ou bien le système (S) ne sera pas formé des lignes de courbure et, dans ce cas, la surface devra être une surface minima, qui sera, d'ailleurs, quelconque.

Les remarques précédentes expliquent certains résultats obtenus par Minding dans un travail (*) publié en 1802. Ce savant géomètre commence par généraliser et étendre à une surface quelconque la notion des méridiens et des parallèles. Les méridiens sont les courbes pour lesquelles la normale à la surface est parallèle à un plan vertical fixe; les parallèles sont les courbes pour lesquelles le plan tangent fait un angle constant avec le plan horizontal. En d'autres termes, dans la représentation sphérique de la surface, les méridiens et les parallèles de la surface, tels que nous venons de les définir, correspondent aux méridiens et aux parallèles de la sphère. Minding se propose de rechercher toutes les surfaces sur lesquelles les méridiens et les parallèles forment un système orthogonal, et il obtient deux classes bien distinctes de surfaces satisfaisant aux conditions posées. Les unes sont les surfaces moulures déjà étudiées par Monge, les autres sont les surfaces minima. Ces résultats sont une conséquence directe des remarques qui précèdent; et nous pouvons ajouter que, sur toute surface minima, le réseau formé parles méridiens et les parallèles sera toujours isotherme, car il correspond à un système isotherme de la sphère. C'est ce que les formules (2) (n° 193) nous permettent d'ailleurs de vérifier. Les parallèles seront définis par l'équation

c"=const. ou Mi4[ = const.,

(') Minding, Ueber einige Grundformeln cler Geodàsie {Journal de Crelle, t. XLIV, i85a, p. 66).

et les méridiens par l'équation

— = const. ou — = const.

Si donc on fait

u=pe'M, ui= pe-'M,

l'élément linéaire de la surface aura pour expression

ds'- = (i -f- p2 ) £( p e'« ) §i ( p e-'« ) ( dp2 H- p2 dta* ) .

Les courbes o = const. sont les parallèles ; les courbes co = const. sont les méridiens de la surface, et l'expression de l'élément linéaire montre bien que ces deux familles de courbes constituent un système isotherme.

En particulier, si l'on a

l'élément linéaire deviendra

dsn- = AAjO-h p2)p2'«[^p2-i- p2o?w2];

la surface sera applicable sur une surface de révolution, les méridiens et les parallèles se correspondant respectivement sur les deux surfaces.

204. Nous allons maintenant faire connaître d'autres représentations conformes de la surface minima qui ont été indiquées parRiemann dans un Mémoire important sur lequel nous aurons à revenir ( ' ).

Faisons correspondre au point («, m,) de la surface le point d'un plan dont les coordonnées rectangulaires X\, yt sont déterminées par les formules

a?i H- ij/*! = / y 2 § (u) du,

(') Riemann, Ueber die F lâche vom kleinslen lnhalt bel gegebener Begrenzung (Œuvres complètes, traduction Laugel, 'p. 3o5, et t. XIII des Mémoires de la Société Royale de Gœttingue, 1867).

Il résulte immédiatement des formules (22), établies au ri" 199, que cette correspondance est indépendante de l'orientation de la surface. C'est ce que mettront, d'ailleurs, en évidence les propositions que nous allons obtenir.

L'élément linéaire de la surface, déterminé par la formule (1), prendra la forme

(4) ds- = -( 1 — iiui)-\/j(u) rJi(iii) ( d.r'l -+- dy\) = K{dx\ -t- dy\ ),

Pi désignant le rayon de courbure principal déterminé par la première formule (i5) (p. 3o2). L'élément linéaire di de la représentation sphérique aura de même pour expression

(5) da*= - (dx\ + dy\).

La première de ces deux formules démontre la propriété que nous avons annoncée. La représentation delà surface minima sur le plan constitue un tracé géographique de la surface, et, si nous nous reportons aux équations (i4) et (16) du Chapitre précédent (n° 197). nous reconnaissons immédiatement que. dans ce tracé géographique de la surface minima, les lignes de courbure sont représentées par les droites

X\ = const., jKi = const.,

parallèles aux axes, et les lignes asymptotiques par les droites

x{ -+- yi = const., xx — y\= const.,

parallèles aux bissectrices de ces axes.

Les formules (4) et (5) mettent encore en évidence une proposition intéressante, que l'on peut d'ailleurs rattacher à celles qui concernent le tracé géographique de la surface minima sur la sphère : Les lignes de courbure qui forment, sur la surface, un système isotherme, admettent pour représentation sphérique un système qui est aussi isotherme. Mais cette propriété, prise dans son énoncé le plus général, ne caractérise nullement les surfaces minima, elle appartient aussi, par exemple, aux surfaces de révolution et aux surfaces du second degré (n° 123).

20o. On obtient d'autres propositions qui méritent d'être signalées en introduisant dans les formules les deux fonctions

On aura alors

/ M = cp(a) = A, Ml = «J<(P) = B,

(7) |^(W) = ^' ^fB>> = ï5T'

A', B' désignant les dérivées des fonctions A et B; et les éléments linéaires ds et do- auront pour expressions nouvelles

(i + AB)!rfarfB , „ 4A'B'rfarfB

(8> *'=' 4A'B' . ' ^ = (ih-AB). '

De là résulte le théorème suivant :

Si Von a mis, d'une manière quelconque, l'élément linéaire de la sphère sous la forme

da2 = \d-j. û?8, l'élément. Une aire

ds% = y dot. dfi

sera celui d'une surface minima pour laquelle a -+- [i et a — [i seront les paramètres des lignes de courbure,

qui a été énoncé, pour la première fois, parBour (') et qui résulte aussi des belles recherches de Weingarlen, sur lesquelles nous aurons à revenir, pour les exposer dans tous leurs détails.

Introduisons, dans les formules de Weierstrass, les notations nouvelles définies par les équations (6) et (7); ces formules se changeront dans les suivantes :

(9) )y = lJ—-r-d«-lj^rdï,

\*= fik'da - fé'd^

(l) Bour, Théorie de la déformation des surfaces (Journal de l'École Polytechnique, XXXIX0 Cahier, 18C2, p. 118-119).

qui, sous cetle forme, ont été données par Enneper en 1864, dans l'Article cité plus haut ('). Si on les rapproche du théorème de Bour, elles permettent de déterminer les surfaces minima qui admettent pour représentation sphérique de leurs lignes de courbure un système isotherme donné de la sphère. En effet, si ce système isotherme est donné de forme et de position, on connaîtra les fonctions A et B et les formules précédentes donneront la surface minima cherchée. Les surfaces homothétiques s'obtiendront en remplaçant a et [3 par ma et m (3, m étant une constante.

206. Proposons-nous, par exemple, de trouver les surfaces zninima admettant pour représentation sphérique les systèmes isothermes composés de deux familles de cercles. Le plus général de ces systèmes, dans lequel les cercles de chaque famille passent par deux points distincts, correspond, avec un choix convenable des axes, aux valeurs suivantes de A et de B :

-7 tangi-,

h désignant une constante réelle inférieure à 1 . Les formules précédentes nous donneront alors

x = l h(z -4- B') -4- sin a. -4- sin fil.

(10) ' y = — [a — S -4- A(sina — sin 8],

f z — [cosa -4- cos SI.

L'élément linéaire de la surface sera déterminé par la formule

as2 = — cos -4- h cos L «a dp.

Si l'on pose

a = X -4- i \x, fi = À — i [jl,

\ et u seront les paramètres des lignes de courbure. Multiplions

(1-) Elles se trouvent aussi, sous une forme légèrement différente, dans le Mémoire de Riernann (Œuvres complètes, traduction Laugel, p. 317).

par y/T— - h'2 ; les expressions des coordonnées prendront la forme

Îx = A X -+- si n X cos t [ji, j' = — jj. -h //i sin i v. cosX, ^ = y/ I — /t'2 COSX COS [Jl /,

et l'élément linéaire aura pour valeur

(12) ds- = [cosî jj. -+- A cosX]2(cfX2-i- d\x'2).

Ces formules ont été données par O. Bonnet (').

La surface précédente n'a pas encore été étudiée, croyons-nous. Parmi ses propriétés, nous signalerons les suivantes :

La section par le plan des xy se compose d'un nombre illimité de chaînettes toutes égales, ayant leurs bases parallèles à l'axe des y. Ceschaîneltes sont des lignes de courbure planes delà surface. Par cette propriété d'avoir pour ligne de courbure une chaînette, propriété qui suffirait, nous le verrons, à la délerminer, la surface se rapproche de la calénoïde, qui correspond à l'hypothèse h = o. Mais le plan de la chaînette n'est pas un plan de symétrie de la surface; il la coupe sous un angle constant, dont le cosinus est égal à h.

Les lignes de courbure ^u = const. sont des courbes analogues à la cycloïde et dont on obtiendra la forme en projetant une cycloïde allongée sur un plan parallèle à la base de cette courbe. Elles sont définies dans leur plan par deux équations de la forme

x = h\ -f- a sinX, y = y/a2 — A2cosX,

où A est le paramètre variable, et elles sont rectifiables.

207. L'application que nous venons de faire nous donne l'occasion d'examiner et de résoudre le problème suivant: Déterminer toutes les surfaces minima pour lesquelles Vune au moins des deux familles de lignes de courbure est composée de courbes planes. Sur une surface quelconque, une ligne de courbure plane est caractérisée, nous le verrons, par la propriété d'admettre

(') Comptes rendus, t. XLI, i855, p. 1057.

REPRÉSENTATIONS CONFORMES DES SURFACES MINIM\. 3j3

comme représentation sphérique un cercle de la sphère. Pour les surfaces cherchées, le système sphérique isotherme qui sert de représenlation sphérique aux lignes de courbure de la surface devra donc comprendre une famille de cercles. Or, la proposition démontrée au n° 127 relativement aux systèmes plans dont une famille est composée de cercles s'étend, par une simple inversion, aux systèmes sphériques ; car, lorsque deux surfaces se correspondent point par point avec conservalion des angles, à tout système isotherme de l'une correspond un syslème isotherme de l'autre. Nous pouvons donc conclure qu'il n'existe pas sur la sphère de système isotherme dont une seule famille soit formée de cercles. Par suite, toute surface minima admettant une famille de lignes de courbure planes devra avoir son autre famille de lignes de courbure composée de courbes planes. Et la représentation sphérique des lignes de courbure devra être un système isolherme exclusivement composé de cercles. Or, nous l'avons vu, il y a seulement deux systèmes isothermes composés de cercles, celui que nous avons considéré au numéro précédent et qui nous a conduit aux surfaces minima à lignes de courbure planes découvertes par O. Bonnet, et celui dans lequel les cercles de chaque famille, au lieu de passer par deux points distincts, sont tous tangents en un même point et ont pour projection stéréographique deux systèmes de droites rectangulaires. La surface correspondante sera donc, avec la précédente dans laquelle elle est comprise comme cas limite, la seule surface minima à lignes de courbure planes. Signalée en 1864 par Enneper('), elle présente les propriétés les plus intéressantes et mérite une étude détaillée. Dans ce cas, il faudra faire

ou, ce qui est la même chose, remplacer dans les formules de Weierstrass s'(u), <-.?,(«,) par une même constante. Prenons cette constante égale à 3. Nous aurons

(i3) x = 8V (3k — u3), y — Sii(o u -4- m3), z = SK.Zu'1,

(!) A. Exxeper, Analytisch-geometrische Untersuchungen (Zeitschrift fur Mathematik und Physik, t. IX, 1864, p. 108).

3j4 LIVRE III. — CHAP. IV.

et si l'on pose

a et [3 seront les paramètres des lignes de courbure.

On a d'abord, en développant les expressions des coordonnées,

(x = 3a -+- 3af32- . y = 3

La surface est algébrique et unicursale. Dans le tracé géographique sur le plan décrit par le point (a, (3), les sections planes sont représentées par des courbes du troisième degré qui n'ont aucun point commun et, par conséquent, la surface est du neuvième degré.

Les plans des lignes de courbure ont respectivement pour équations

x -\- <xz — 3a — 2a3=o,

1 y — fiz — 3(3 — ap3=o.

Nous verrons comment on peut les construire géométriquement. Il résulte d'ailleurs des formules (i4) (|ue 'es l'ones de courbure sont des courbes unicursales du troisième ordre; et nous allons montrer qu'elles sont rectifiables.

En effet, le calcul de l'élément linéaire de la surface nous donne

ds* = 9 [[ + a2 -+- [S2]2 (rfa2 -+- d[32)

et si l'on fait, par exemple, j3 = const., on aura

ds= 3(i + a2-f-[32)rfx, et, en intégrant,

Laissant au lecteur le soin de démontrer que les lignes asjmptotiques sont à la fois des hélices et des cubiques gauches reclifiables, nous allons chercher ce que devient ici la génération que nous avons donnée au n° 113 pour toutes les surfaces à lignes de courbure planes.

L'équation du plan tangent au point de paramètres a, j3 prend ici la forme

(16) 7.9.x — 2pjK + (a2+ p2,)^ + 3p2— 3a*-hp* — a*=o.

REPRÉSENTATIONS CONFORMES DES SURFACES MIN1MA. 'iy5

Si, conformément aux méthodes du n° 113, on l'écrit de la manière suivante :

(j. 4 a)2 + 72 -t- ( s — i a* ■+■ i)2 — (y — 4 P)2 - ^ — ( - + i p2 - i)2 = o, on voit qu'il est le plan radical des deux sphères de rayon nul

^'2 + (jK — 4P)2+(- -+- 2Î22 — i)2= o,

dont les centres décrivent deux paraboles qui sont focales l'une de l'autre. L'application du théorème du numéro rappelé nous donne donc la génération suivante de la surface d'Enneper :

Fig. ii.

SURFACE MINIMA D ENNEPER.

( D'après le modèle construit par M. G. Herting et faisant partie de la collection de M. L. Brill, à Darmstadt.)

Le réseau rectangulaire figuré sur la surface est composé de lignes de courbure; les courbes en diagonale sont des lignes asymptotiques.

Considérons dans l'espace deux paraboles qui sont focales V une de Vautre. La surf ace est V enveloppe des plans élevés

perpendiculairement sur les milieux des cordes qui joignent les points de Vune des courbes aux points de l'autre. Les plans normaux aux deux paraboles aux extrémités de Vune de ces cordes sont les plans des lignes de courbure qui passent par le point de contact de la surface et du plan perpendiculaire sur le milieu de la corde. La surface (fig- 1 1 ) est ainsi construite par plans et par points.

L'équation du plan tangent nous montre d'ailleurs que, dans le tracé géographique de la surface, les courbes de contact des cônes circonscrits à la surface sont représentées par des courbes du quatrième ordre ayant, on le reconnaîtra aisément, 10 points communs à l'infini. La classe de la surface sera donc égale à 42 — 10 ou 6.

208. L'application du théorème de Bour conduit, pour l'élément linéaire des surfaces m mima, à diverses formes que l'on rencontre dans les applications et qu'il est bon de connaître. Nous allons les signaler rapidement.

Prenons d'abord l'élément linéaire de la sphère sous la forme

d;*= idxdy ^ {x—y)*

Si l'on remplace x el y par des fonctions A et B de a et de [3, on

aura

, . 4A'B'darfQ

Par suite, on trouvera, pour l'élément linéaire de la surface mini ma, la forme

ds* = (A/~?,)' dv. dG>. 4A.B r

En substituant à a et à 3 les variables

r da ., r d$

on aura

(17) ds^—(A1—Biydaldpi.

Cette forme a été obtenue parO. Bonnet et par Bour.

Si l'on emploie la forme

( 1 -+- xy )2

pour l'élément linéaire de la sphère, on sera conduit de même à l'expression suivante de l'élément linéaire de la surface minima :

(18) ds^=(i-{-A1B1yd<xid^1,

qui a été donnée par Lie.

209. Nous terminerons ce Chapitre en signalant d'autres tracés géographiques de la surface sur lesquels Riemann et Beltrami (') ont appelé l'attention.

Ils reposent sur la propriété suivante : Les sections de toute surface minima par une série de plans parallèles constituent une famille de courbes isothermes de la surface.

Employons-, par exemple, les formules de Weierstrass. Toute fonction linéaire des coordonnées x, y, z d'un point de la surface sera de la forme

ax ■+- by -+- cz = <£(«) -+- «Êi («1).

Par conséquent, les sections de la surface par les plans parallèles

ax -+- by -+- cz = const.

constituent une des deux familles du système défini par les équations

<ï>(m) -f- «Ï>i(ki) = const.,

<&(«) — <&] ( ux) = const.,

système qui esta la fois isotherme et orthogonal. Si l'on oriente la surface de manière que les plans sécants soient horizontaux, les trajectoires orthogonales deviennent les lignes de plus grande pente de la surface.

Il résulte des remarques développées au Chapitre II que l'on peut, si la surface est donnée, obtenir par des différentiations et

(') B. Riemann, Ueber die Flâcke vont klelnsten Inhalt bel gegebener Begrenzung {Œuvres complètes, traduction Laugel, p. 3o5).

E. Beltrami, Sulle propriété generall délie superficie d'area minima (Mémoires de l'Académie des Sciences de Bologne, 2e série, t. VII, 1868).

des éliminations les fonctions ®(u), $>t(u{). On pourra donc toujours déterminer, sans aucune quadrature, les lignes de plus grande pente de toute surface minima donnée.

Si l'on fait correspondre au point (u, u{) de la surface le point d'un plan dont les coordonnées rectangulaires x0,y0 sont données par les relations

on aura les tracés géographiques dont nous voulions parler, et pour lesquels une série de sections parallèles de la surface est représentée, sur la carte, parles droites parallèles à l'axe des y, tandis que les droites parallèles à l'axe des x représentent les lignes de plus grande pente de la surface.

Il existe évidemment une infinité de tracés géographiques de ce genre, puisque l'on peut choisir arbitrairement la direction des sections parallèles.

LA SURFACE ADJOINTE d'o. BONNET. 079